高考數(shù)學(xué)七大熱點考點題型探析分類專題由基礎(chǔ)鞏固到綜合拔高附有試題題題詳解

1、2010高考數(shù)學(xué)七大熱點考點題型探析（分類專題由基礎(chǔ)鞏固到綜合拔高附有試題題題詳解）一 正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練.在 AABC 中，若 sin2A =sin2B ,則 AABC 一一定是（）A、等腰三角形已直角三角形 C等腰直角三角形H等腰或直角三角形解析：D sin2A sin2B =Ncos（ AB）sin（ A B） =0,，A|B/，或 A = B.在AABC中，A =60,且最大邊長和最小邊長是方程x2 7x + 11 =0的兩個根，則 TOC o 1-5 h z 第三邊的長為（）A. 2 B:C A=600,且最大邊長和最小邊長是方程x2 -7xHn =0的兩個根，則第三邊為

2、 a, b +c =7,bc = 11, sin 2A -a =，b2 +c2 -2bccosA Jjb2|-c-2bccos- 33=(b c)2 -3bc 二斤-3 11 =4.在Rt ABC中，C=,則sin Asin B的最大值是2nn解析在Rt ABC43, C=,sin Asin B =sin Asin( A) = sin AcosA HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 2211=-sin2A,0 A 一,. 0 2A k , A =一時，sin Asin B取得最大值 一。 HYPERLINK l bookmark171 o Cur

3、rent Document 2242.若AABC中，tan A = 1, cos B = ”1 則角C的大小是 210解析13v10101,tan A 二 一 ,cos B =, t O ； B ； , sin B =, tan B 二 一210103tan A tan B 3. tanC =tan(二-A-B) =-tan(A B)1,O ：C ：二.C 二tan A tan B -14115.在ABC中，a、b、c分別是角 A、B C的對邊，a = 2,b=3, cosC =-,則其外接3圓的半徑為.1 1111解析. c2 =a2 +b2 -2abcosC =4+9 2父2黑3M =9.

4、 c = 332sin C39,24 .2 一 81 一 一 一 一 一,cosC ,0 ： C ：二180； sin C = 3206.在 ABC中，已知 AB =102 , A= 45 , BC= 5/3 ,求角 C。3 , 解：由正弦定理得sinC = ABSin A =也,又BC=空6時，故sinC =；BC BC32AB *sin45BC /3 , a - b=2, 1. c2=a2+b2 2a - bcosC=(a+b) 23ab=126=6,11331- c=6 ,Sabc = absinC =% 乂2乂%=-。22229.在 ABC中，若 sin A+ sin B =sinC(

5、cosA + cosB )判斷 ABC的形狀；(2)在上述 ABC中，若角C的對邊c =1 ,求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍。解：(1)由 sin A+sin B =sinC(cosA + cosB)2 C可得 2sin2=1 J.cosC=0 即 C= 902二 ABC是以C為直角頂點得直角三角形1.(2)內(nèi)切圓半徑 r = a b - c21 .一 .一, =一 sin A sin B -12sin A 二. .2-1二 2,內(nèi)切圓半徑的取值范圍是10.（汕頭金山中學(xué) 09屆高三11月考）在4ABC中，內(nèi)角A, B, C對邊的邊長分別是a, b, c ,已知 c =2 , C =-.3(I

6、)若 ABC的面積等于 技求a, b；()若sinC +sin(B -A) =2sin 2A,求 AABC 的面積.由余弦定理及已知條件得，a2 +b2-ab=4,又因為4ABC的面積等于 J3,所以labsinC = J3,得ab=4 .2； 2.2.a ，b - ab = 4. 一聯(lián)立方程組a b 4解得a =2, b=2.ab -4,(n)由題意得 sin( B+A)+sin(B - A) =4sin AcosA,即 sin B cos A =2sin Acos A ,當(dāng) cosA = 0 時，A =2，jiB =一6當(dāng)cosA #0時，得sin B =2sin A ,由正弦定理得 b

7、= 2a,a2 b2 聯(lián)立方程組a bb=2a,-ab=4,加/日2.3，4.3解得 a=二一, b所以 ABC的面積S =23absin C =元二次不等式及其解法考點1一元二次不等式的解法題型1.解一元二次不等式例1不等式X2 A X的解集是（）A . (-0,0 )B. 0,1C. 1,二D. -二,0 U 1,二【解題思路】嚴(yán)格按解題步驟進行解析由X2 AX得X（X -1） A0 ,所以解集為（一00,0 ）U（1,+8 ）,故選D;別解：抓住選擇題的特點，顯然當(dāng)x = 2時滿足不等式，故選D.【名師指引】解一元二次不等式的關(guān)鍵在于求出相應(yīng)的一元二次方程的根題型2.已知一元二次不等式的

8、解集求系數(shù).2112例2已知關(guān)于x的不等式ax +2x+c0的解集為(一一，一)，求cx +2x a0的解3 2集.【解題思路】由韋達定理求系數(shù)一一 .2 一 一1 1-1 12 一 一斛析由ax +2x +c 0的解集為(一一，一)知a 0 即3 2a3 2 a22x -2x-120,其解集為(-2,3).【名師指引】已知一元二次不等式的解集求系數(shù)的基本思路是，由不等式的解集求出根，再由韋達定理求系數(shù)【新題導(dǎo)練】.不等式(a 2) x2+2(a 2) -4 0,對一切xcr恒成立，則a的取值范圍是()A. (-8,2B. (-2,2C.(-2,2 )D. (-8,2)解析：可推知-2 vav

9、2,另a=2時，原式化為-4 v 0,恒成立，.-.-2 a2.選A 0,若此不等式的解集為 x|vx0B.0m _一 對口d. m v 02n科七須*懈岫網(wǎng)V解析：由不等式的解集形式知，-m0.答案：D考點2含參數(shù)不等式的解法題型1:解含參數(shù)有理不等式例1：解關(guān)于x的一元二次不等式 x2(3 + a)x+3a0J i J d當(dāng)a 3時,x3,不等式解集為x x3；2當(dāng)a =3時，不等式為(x3) 0,解集為x xw R且x#3；當(dāng)a 3寸,x a ,不等式解集為x x al【名師指引】解含參數(shù)的有理不等式時分以下幾種情況討論：根據(jù)二次項系數(shù)(大于0,小于0,等于0);根據(jù)根的判別式討論( 0

10、, = 0,A 1 (a0,a=1) x【解題思路】借助于單調(diào)性進行分類討論解析(1)當(dāng)a1時，原不等式等價于不等式組1-1 x1-1 x由此得1 a.因為1 av 0,所以x 0,x1- x 1或xv 0,由得0 V x V一 1 1vxv1 一 ax0,當(dāng)0va1時，不等式的解集 TOC o 1-5 h z 、,一1 一為x|1 x .1 - a【名師指引】解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式通常是由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般 的不等式(組)來求解，當(dāng)?shù)讛?shù)含參數(shù)時要進行分類討論.【新題導(dǎo)練】3.關(guān)于x的不等式63x2 -2mx-m2 0的解集為()“/ m m、，m m、, m m 、 一

11、,A. (,)B. (-,) C. (-00, )U( 一,)D.以上答案都不對9 77997解析：原不等式可化為(x+m)(x-m) 0,需對m分三種情況討論，即不等式的解集與 m有97關(guān).解關(guān)于x的不等式：ax2 -2(a +1)x +4 0解析：(ax -2)(x -2) 0二x|2x , a當(dāng) a ：:0= (-ax 2)(x -2) .0= x|a =0= x 2;a =1= x：=。.考點3分式不等式及高次不等式的解法例 5解不等式：(x2 -1)(x2 -6x +8)之 0【解題思路】先分解因式，再標(biāo)根求解【名師指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根軸法 對應(yīng)的方程的根的關(guān)系.

12、【新題導(dǎo)練】解析原不等式 w (x-1)(x +1)(x-2)(x-4) 0,各因式根依次為-1,1,2,4,在數(shù)軸上標(biāo) 根如下：,要注意不等式的解集與不等式5.若關(guān)于x的不等式 一xa一 A0的解集是(3,1)U(2,+g),則a的值為 (x 3)(x 1)解析：原不等式u (x+a)(x + 3)(x+1) 0 ,結(jié)合題意畫出圖可知 a =-2 .6.解關(guān)于x的不等式2(a 1)x -1x(a 0)ax 1解：若0 ；： a :二二2，則原不等式的解集為一個川尸內(nèi),十叼；若3字,則原不等式的解集為(9呼1、 J5、)(，.二)a 25 1 一，.1-5x 2 , 1 x4 -2xcx(-)

13、. 2.2若a 2則原不等式的解集為(27.(廣東省深圳中學(xué)2008-2009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)解不等式.解析：- 2x 2 (1)4 -2212x 2 22x - 22一 55即2 / 22得x 5所以原不等式的解集為x|x 566考點4簡單的恒成立問題題型1:由二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍例1.若關(guān)于x的不等式ax2 +2x+20在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解題思路】結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解解析當(dāng)a=0時，不等式2x+20解集不為R,故a = 0不滿足題意； TOC o 1-5 h z , 一,a 01當(dāng)a r 0時，要使原不等式解集為 R ,只需 ，解得a -22 -4 2

14、a 二 02綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為(1, 十比)a=0八 HYPERLINK l bookmark173 o Current Document 2.a 0【名師指引】不等式 ax +bx+cA0對一切xR恒成立u b=0或1 2b - 4ac 二 0c 0a = 02a :二 0不等式ax +bx+c0對任意xWR恒成立。b=0或4 2A =b 4ac 0g 2x + m 在-1,刀恒成立，即 m 12x2對一切xR恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是,22解析:不等式ax +4x+a12x對一切x= R恒成立，2即(a+2)x +4x+a-10 對一切 x= R恒成立若a + 2 =0,顯然

15、不成立若a + 2 #0,則，a+20，,a2& 0對于一切xw (0, 1)成立，則a的取值范圍是2c. a202D. -3解析：設(shè)f (x) = x2 + ax+ 1,則對稱軸為x= a，若一 a之;，即aE 1時，則f (x)在0,1上是減函數(shù)，應(yīng)有 f (2)9=今0恒成立，故a0a .aP1 =1之0恒成立,24 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 22若 0 - -,即1 a0,則應(yīng)有 f ( a )一 一 5故1芻4.綜上，有一玄，故選C .2基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練.不等式x2+5x+6 A0的解集是解析：將不等式轉(zhuǎn)化成 x2 -5x -6

16、0,即(x+1 Xx 6 )0.若不等式x2 ax b 0的解集為x |2x0的解集為.解析：先由方程x2 ax b =0的兩根為 2和3求得a,b后再解不等式 bx2ax1a0.得1 11 )一，一I 23J3.(廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)若關(guān)于x的不等式g(x)之a(chǎn)2+a+1(xw R)的解 集為空集，則實數(shù) a的取值范圍是 .解析： g(x)之 a2+a+1(x w R)的解集為空集，就是 1= g(x)max a2+a + 1所以 a (-二，一勤-(0,二)1 、4(08梅州)設(shè)命題 P：函數(shù)f(x) = lg(ax2 -x a)的定義域為 R；命題 q：不等式J1 + 2

17、x 0對任意實數(shù)x均成立=a =0時x 0解集為R,或16a 011 2 cUa2命題P為真命題u a 2- a 045.解關(guān)于 x 的不等式 k1一x) +1 0, kw 1).原不等式即（1 k）X *k -2 M0, x -21 若k=0,原不等式的解集為空集；_一、一 一、一 .2 k、，2右1 k0,即0k1時，原不等式等價于 （x）（x-2） 0,1-k 1 -k-k.右0k1,由原不等式的解集為 x|2x ;-k4r，一 2 k、， 八3。若1 k1時，原不等式等價于（x）（x-2） 0,1 -k.2 -k 2- k此時恒有2,所以原不等式的解集為x|x2.1 -k1 -k綜合拔

18、高訓(xùn)練知a 0 ,且a w 1 ,解關(guān)于x的不等式j(luò)1-10g 2（ax -1） MlogJ4 -ax）.2解：原不等式等價于 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark185 o Current Document v 11og2（ax -1） -1og2（4 -ax）,1 21og 2（ax -1） log 2（4 - ax） HYPERLINK l bookmark67 o Current Document 210g2（ax -1）2 2 M1og2（4-ax）ax -10（1）原不等式同解于4 -ax 0（2）7分2（ax -1）2 4-ax（3） I由得lv

19、ax4.1由得 2（ax）2 -3ax -2 0, ax 1時，原不等式解為 x|0 xloga2 當(dāng)0 V a V 1時，原不等式解為 x I log a2x0）萬人進企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均收入有望提高2x%而進入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均收入為3000a元（a0）。（I ）在建立加工企業(yè)后， 要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入，試求 x的取值范圍；（II ）在（I）的條件下，當(dāng)?shù)卣畱?yīng)該如何引導(dǎo)農(nóng)民（即 x多大時），能使這100萬農(nóng) 民的人均年收入達到最大。解：(I)由題意得(100-x) 3000 ( 1+2x%) 100X3000, 2即

20、 x50 xW0,解得 0WxW50,又.x0.-.0 x50;(II )設(shè)這100萬農(nóng)民的人均年收入為y元，則y=(100 x)x3000 x (1+2x%)+3000ax-60 x2+3000(a+1)x+300000100100= -|x-25(a+1) 2+3000+475( a+1)2 (0 x50) 5(i )當(dāng) 025(a+1)W50,即 0a50,即a 1,函數(shù)y在(0,50單調(diào)遞增，當(dāng)x=50時，y取最大值 答：在0vawi時，安排25( a +1)萬人進入企業(yè)工作，在 a1時安排50萬人進入企業(yè)工 作，才能使這100萬人的人均年收入最大7.已知二次函數(shù)f(x)=ax2 +b

21、x+c,(a,b,cw R)滿足：對任意實數(shù)x,者B有f (x) x,且2當(dāng) xw (1, 3)時，有 f (x) W(x+2)2 成立。8(1)證明：f (2) =2;(2)若 f(-2) =0, f (x)的表達式； TOC o 1-5 h z m1 HYPERLINK l bookmark115 o Current Document (3)設(shè)g(x) = f(x)mx , xw0,y),若g(x)圖上的點都位于直線 y= 1的上方，求 24實數(shù)m的取值范圍。解析：(1)由條件知 f (2) =4a+2b+c 之2恒成立一什-，一12 八又取 x=2 時，f (2) =4a+2b+c W

22、(2+2) =2與恒成立，8f (2) =2.，14a + c = 2b = 1, b =一 , 2Za+2b+c=2(2)=4a -2b +c =0又f(x)之x恒成立，即ax +(b1)x+c之0恒成立.1.、2 一 、一 a 0,A I -1)2 -4a(1 -4a) 0在x w 0,y)恒成立. HYPERLINK l bookmark138 o Current Document 2220,即4(1 m) 80,解得：1Jm1+;：-02(1 -m) 0解出:f(0) =2 0m1 2總之，m (-二,1 ).2導(dǎo)數(shù)的概念及運算基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1 3.（廣東省K校 2009屆局二第二次聯(lián)考

23、試卷 ）f （x）是f（x） = x +2x+1的導(dǎo)函數(shù)，則 3f (1)的值是解析：f(x) =x2+2故 f(一1)=33T.（廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考）y=xcosx在x=-處的導(dǎo)數(shù)值是 3 TOC o 1-5 h z 1,- 3解析：y =cosxxsin x故填一 一打26.已知直線x+2y 4=0與拋物線y2=4x相交于A、B兩點，O是坐標(biāo)原點，P是拋物線的弧上求一點P,當(dāng) PAB積最大時，P點坐標(biāo)為解析：|AB為定值， 平行于AB的切線的切點，設(shè)PAB面積最大，只要 P到AB的距離最大，只要點 P是拋物線的 P (x, y).由圖可知，點 P在x軸下方的圖象上y= 一 2

24、Jx ,y =2，x=4，代入 y =4x(y0)得 y=4.P(4, - 4).(廣東省深圳市2008年高三年級第一次調(diào)研考試 )已知f(x)=lnx, g(x)=1x2+mx+Z22(m 0。設(shè)兩2曲線y = f (x), y = g(x)有公共點，且在公共點處的切線相同。(1)若a=1,求b的值；(2)用a表示b ,并求b的最大值。解：(1)設(shè)y = f (x)與y = g(x)(x 0)在公共點(x0, y0)處的切線相同_3f (x) =x 2,g (x)= 一x2一刈 +2x0 =3ln X0 + b 一 2由題息知 f(x0)=g(x0), f (x) = g (%) ,% 2

25、一X03由 X0 +2 = 得， =1 ,或 X0 = -3 (舍去)X05即有b = 52(2)設(shè)y = f (x)與y =g(x)(x 0)在公共點(x。)。)處的切線相同3a2f (x) =x 2a, g (x)=一 x TOC o 1-5 h z 12 , cc 2 ,-x0 +2ax0 = 3a lnx0 + b，一一一2由題息知 f (x0) =g(x0), f(xo) = 9(%) , .2c 3a凡 2a =x0由x-2a=虻得, xx0 = a ,或址=-3a (舍去)即有 b=1a2 2a23a2 In a = 5a23a2ln a 225 22令 h(t)= t -3t

26、lnt(t 0),則 h(t)=2t(13lnt),于是 2i當(dāng) 2t(1-3ln t)0,即 0 t 0 ；1當(dāng) 2t(13lnt)c0,即 tAe 時，h(t)0 TOC o 1-5 h z 13 2.故h(t)在(0, )的最大值為h(e3)= e3,故b的最大值為28.設(shè)三次函數(shù)f (x) =ax3+bx2+cx + d(a b c),在x = 1處取得極值，其圖象在x=m處的切線的斜率為 -3a。求證：0 W b 1 ；a解：(I)方法一、f(x) =3ax2+2bx+c .由題設(shè)，得 f(1) = 3a + 2b + c=0 (2f (m) =3am +2bm+c = -3a a

27、b c , /. 6a 3a +2b +c 6c , /. a 0。由代入得 3am2 +2bm-2b =0 , /. =4b2 +24ab 之0 ,b、2 6b - b .c3b -得(一)十一之0,二 一 W6或一之0 aa a a將 c = -3 a 一 2b 代入 abc 中，得一1b1 a、,口 3a+2b+c =0( 1) a方法二、同上可得：a 2將(1)變?yōu)椋?a = 2b c代入(2)3m a +2bm+3a +c =0(2)可得：2b22-m c-m cm2 -m 1/1、2 3(m -)-240 ,所以 a b 0,則 0- 0,所以 mw ( 一,1), 3ab 3m2

28、即 m 0 ,由 abc 得:a 1 - m”：1 a解三角形應(yīng)用舉例基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A. 0.5小時時B. 1小時 C , 1.5小時解析：設(shè)A地東北方向上點 P到B的距離為30千米，AP= x,在 ABP 中P-= AF2 + A32AP- AB- cosA, 即 302=x2+ 4022x 40cos45 D. 2小化簡得 x2 -40.2x 700 =0I x1-x2 I 2= (x1 + x2)2-4x1x2=400,|x 1 x2| =2

29、0,即 CD= 20 CD 20彳故 t = = 一 =1v 202.在AABC中，A:B=1:2, C的平分線CD把三角形面積分成 3: 2兩部分，則cosA =( )1A 3解析：:C的平分線CD把三角形面積分成AC: BC =3: 2BC _ ACsin A sin BACsin 2A3: 2兩部分,2sin A 2sin AcosBcosA=343.如圖，在斜度一定的山坡上的一點A測得山頂上一建筑物頂端C對于山坡的斜度為15BCsin15在DBC, CD= 50m ,dCBD= 45 , ZCDB= 90 + u由正弦定理:50200sin15sin 45 sin(901)=cos t

30、1 = .3-1 .向山頂前進100m后，又從點B測得斜度為45。，假設(shè)建筑物高50m,設(shè)山對于地平面的斜度M 貝U cos 丁解析在AB8, AB= 100m ,ZCAB= 15 : 2ACB= 45 15 口 = 30 電100由正弦JE理：sin 30. BC= 200sin15r的平方成反.如右圖，在半徑為 R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角0的正弦成正比，角和這一點到光源的距離比，即I=k- 邛，其中k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么電燈 r懸掛的高度h=,才能使桌子邊緣處最亮解 R=rcos。，由此得1 )00-, TOC o

31、1-5 h z r R2 HYPERLINK l bookmark213 o Current Document sin 口 sin cos2 k .2 -、I 二 k 2 二 k2 = -2 (sin cos -)rR R2/k2222k2/23 HYPERLINK l bookmark219 o Current Document 2I =( 2) 2sin 。(1-sin -)(1 -sin 1)-( 2)() RR 3 HYPERLINK l bookmark221 o Current Document 由此得I工占,2 J3,等號在sin =蟲時成立，此時h = Rtan = - R R

32、2 932. (08年韶關(guān)市二模)某市電力部門在今年的抗雪救災(zāi)的某項重建工程中，需要在 A、B兩地之間架設(shè)高壓電線， 因地理條件限制，不能直接測量A、B兩地距離.現(xiàn)測量人員在相距 、/3 km的C、D兩地(假設(shè) A、B、C、D在同一平面上)，測得/ ACB = 750 , /BCD =45, /ADC =30, /ADB = 45 (如圖)，假如考慮到電線的自然下垂和施工, -_ 一， 4損耗等原因，實際所須電線長度大約應(yīng)該是A、B距離的一倍，問施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備3多長的電線？解：在MCD中，由已知可得,.CAD =30所以，AC=J3km在ABCD中，由已知可得， NCBD =60 TOC

33、 o 1-5 h z :.6.2sin 75 =sin(45* 30J 4cc 3sin 75，: 6 2由正弦定理,BC =-二 HYPERLINK l bookmark211 o Current Document sin 602:-|; 6 - 2cos75 =cos(45，30)=4在 MBC 中，由余弦定理 AB2 =AC2+BC2 AC BCcos/BCA，32 (-)2-2.3cos75；22所以，ab=J5 施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線長4J5.3答：施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線長4 5 km.3綜合拔高訓(xùn)練6.在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P,上午11時，測得一輪 TOC

34、o 1-5 h z 船在島北30東，俯角為30的B處，到11時10分又測得P.，北該船在島北60西、俯角為60。的C處。1/(1)求船的航行速度是每小時多少千米；/ BC(2)又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處， 西 C LZJ問此時船距島A有多遠?解(1)在 RtPAB中，Z APB=60 PA=1,，AB=J0 (千米)在 RtAPAC, / APC=30 ,AG=色(千米)3在AC*, / CAB=30 +60 =90: bc = Jac2 +ab2 = j*)2 +(j)2 =詈出子1 =2*；而(千米/時) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmar

35、k187 o Current Document 36(2) /DAC90 -60 =30AB . 33sin DCAsin(180-Z ACB=sin ACB=、=，聞BC . 30103sin CDAsin( Z ACB- 30 )=sin ACB cos30 cosACB sin30 =_34而10心 32 J3、3)022,1020在ACD,據(jù)正弦定理得AD ACsin DCA sin CDA AD,3 3., 10AC sin DCA _ 1093一 sinCDA -(3.3-1) .10 1320, 一一， ,9 . 3 一，答此時船距島A為9-千米137.在正三角形ABC勺邊AB

36、AC上分別取 D E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使 AD最小，求AD： AB的值解按題意，設(shè)折疊后 A點落在邊BC上改稱P點，顯然A P兩點關(guān)于折線 DE對稱，又設(shè)ZBAF=0 , . . / DPAfQ , /BDP=2。， 再設(shè) AB=a, AD=x, . . DP=x 在ABC43, ZAPB=180 -Z ABP- / BAP=120 0 .!由正弦定理知BP AB . ”as= B? -sin BAP sin APBsin(120 -1)在 PBD43,DP BPx sinhe asin 二-，所以BP -,從而-sinDBP sin B

37、DPsin60 sin(120 -3)xsin21sin60asin sin(120 一” 2sin(602,3,-0 0 60 ,60 60 +2 0當(dāng) 60 +2 0 =90 ,即 0 =15 時，180 ,sin(60+2 0 ）=1 ,此時x取得最小值_l3a(2,3 -3) a,即 AD最小, 2 ,3 .AD： DE=2 -38.在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15。角，速度為2.5km/h ,同時岸邊有一人，從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h,在水中游的速度為 2km/h.問此人能否追上小船.若

38、小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少?解析：設(shè)船速為v,顯然v之4km/ h時人是不可能追上小船，當(dāng)岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船,0 v 2km/h時，人不必在因此只要考慮2v4的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度， 人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕， 當(dāng) 人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船.設(shè)船速為V,人追上船所用時間為t,人在岸上跑的時間為 kt（0 k 1）,則人在水中游的時間為（1-k）t,人要追上小船，則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形.；|OA|=4kt,| AB |=2(1 -k)t,|

39、 OB |=vt,由余弦是理得| AB 1230A |2 | OB |2 -2 |OA| | OB | cos15 ,即 4(1k)2t2 =(4kt)2 (vt)2 -2 4kt vt 4要使上式在（0, 1）范圍內(nèi)有實數(shù)解,整理得 12k2 -2( .6 . 2)v -8k v2 -4 =0 ,則有0斤由且 . -： =2(- 6 - 2)v -82 -4 12 (v2 12解得 2 v2 2,即 vmax =2 2km/h，船能使人追故當(dāng)船速在（2,24萬內(nèi)時，人船運動路線可構(gòu)成三角形，即人能追上小船, 上的最大速度為2U2km/h,由此可見當(dāng)船速為 2.5 km/h時人可以追上小船.次

40、不等式（組）與簡單線性規(guī)劃問題熱點考點題型探析考點1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域 題型1.求約束條件及平面區(qū)域的面積例1 .雙曲線x2 -y2 =4的兩條漸近線與直線x=3圍成一個三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是()x -y _0 x -y _0A. x y _0 B. x y _0 0 MxM30 MxM3【解題思路】依據(jù)平面區(qū)域的畫法求解|x -y 三0 x y _0 0 Mx 3x - y 0 x y _0 0MxM 3解析雙曲線x2 y2 =4的兩條漸近線方程為y=x,兩者與直線x =3圍成一個三角形區(qū)x -y _0域時有0表示的平面區(qū)域的面積為 x _0【解題思路】作出平面區(qū)域，

41、再由平面幾何知識求面積.解析不等式x -y +5至0表示直線x-y+5 = 0上及右上方的平面區(qū)域線x + y = 0上及右上方的平面區(qū)域，x E3表示直線x =3上及左邊的平面區(qū)域:所以原不等式表示的平面區(qū)域如圖8-3-1中的陰影部分 AABC,其中.,5 5、%-2,2), B(3,-3),C(3,8)，故所求面積 Sbc【名師指引】準(zhǔn)確無誤作出平面區(qū)域是解這類題的關(guān)鍵111 121=II -=，題型2.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值x-y 2-0例 3.已知 x + y4 之0 ,求：(1) z = x2 +y2 10y+25 的最小值；(2)2x -y -5 02x +3y6 02x+

42、3y-6 0C.了D.|x - y -1 - 0 x-2y 2 0解析：用原點作檢驗.選C2.如果直線y = kx +1與圓x2()表示的平面區(qū)域. + y -1 0 x-y-1 . 0 x -2y 2 :二 0 + y -1 02x +3y-6 0 x - y -1 ： 0 x-2y 2 .0+ y2+kx + my4=0 相交于M、N兩點，且點M、N關(guān)工 kx - y 1-0于直線x + y=0對稱，則不等式組 也x-myE0所表示的平面區(qū)域的面積為y -0解析：因為M N兩點關(guān)于直線x +y =0對稱，所以直線 y =kx +1的斜率k =1 , TOC o 1-5 h z 221 m一

43、 一.而圓x +y +kx+my-4 =0的圓心（一一，一一）在直線x + y=0上，所以m=-1 則不22x-y 1-0.1等式組4x+yE0 表示的平面區(qū)域就是一個斜邊長為1的等腰直角三角形，面積為.y-04x - y 2-03.已知變量x, y滿足約束條件 x之1,則2的取值范圍是xx y - 7 0解析:咔拳；二0得嚕2卜由 jx+y-7 =0得 b（1,6） . koB =6=6I x =11 y表示過可行域內(nèi)一點（x, y ）及原點的直線的斜率 x由約束條件畫出可行域（如圖），則的取值范圍為【kOAkoB】，即J-,6； x.5考點2線性規(guī)劃中求目標(biāo)函數(shù)的最值問題 題型：求目標(biāo)函數(shù)

44、的最值x-4y - -3I例1.設(shè)z=2x + y,式中變量x, y滿足條件3x+5yW25,求z的最大值和最小值x . 1【解題思路】按解題步驟求解解析作出可行域如圖8-3-6所示，作直線l0： 2x+y=06, x11作一組平行于lo的直線l ： 2x + y= z, zWR, 可知：直線l往右平移時，t隨之增大。由圖象可知，當(dāng)直線l經(jīng)過點A(5,2)時，對應(yīng)的t最大，當(dāng)直線l經(jīng)過點B(1,1)時，對應(yīng)的t最小，所以，zmax=25 + 2=12, Ain=2M1+1=3.【名師指引】要注意到線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值往往是在邊界處取到2x- y -3 0I 例2.已知x, y滿足不等式組

45、2x + 3y60，求使z = x + y取最大值的整數(shù)x, y .3x -5y-15 0【解題思路】先作平面區(qū)域 ，再作一組平行線l ： x + y=t平行于l0： x + y = 0進一步尋找整點.解析不等式組的解集為三直線l1 ： 2x y3=0, l2 ： 2x + 3y 6 = 0, l3 ：3x5y15=0所圍成的三角形內(nèi)部(不含邊界)，設(shè)l1與l2, l1與I, l2與I交點分別15 3為 A,B,C ,則 A, B,C 坐標(biāo)分別為 A(y,-), B(0,-3),作一組平行線l： x+y=t平行于l0： x + y=0,當(dāng)l往l0右上方移動時，t隨之增大，63當(dāng)l過C點時x +

46、 y最大為6-，但不是整數(shù)解，1975八又由0 x -2.則z = x 3y的最小值（）A. -2B . MC. -6 D . 4解析：畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)線如下圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點（2, 2）取最小值8.已知x, y滿足約束條件，43x+4y之4則x2+y2+2x的最小值是（y-0A. 2B.2 -1C. 24D. 1525解析：x2 +y2 +2x=（x+lf+y21表示的可行域上的點（x, y）與點（-1,0）的距離的平方值減1.選Dx _y _3x6.定義符合條件0WyWa的有序數(shù)對（x,y）為“和諧格點”，則當(dāng) a = 3時，和諧格點的個 x,y N數(shù)是.x y 3x【解析】作出可行

47、域0WyMa，數(shù)出和諧格點個數(shù)為 7.x, y N考點3線性規(guī)劃在實際問題中的應(yīng)用題型：在線性規(guī)劃模型下的最優(yōu)化問題.例1. （2008 揭陽一模）為迎接2008年奧運會召開，某工藝品加工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)具有收藏價值的奧運會標(biāo)志一一“中國印舞動的北京”和奧運會吉祥物一一“福娃”.該廠所用的主要原料為A、B兩種貴重金屬，已知生產(chǎn)一套奧運會標(biāo)志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒.若奧運會標(biāo)志每套可獲利 700元，奧運會吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進原料A、B的量分別為200盒和300盒.問該廠生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物各

48、多少套才能 使該廠月利潤最大，最大利潤為多少？【解題思路】將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子建立線性規(guī)劃模型.解析：設(shè)該廠每月生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物分別為x, y套，月利潤為z元，由題意得Zx+5y 200, 3x +10y 300, (x, y w N )x -0, y .0.目標(biāo)函數(shù)為z =700 x 1200 y目標(biāo)函數(shù)可變形為 y7x12z , 1200當(dāng) y = -7 x12通過圖中的點 A時,120045z120073一:二,1210最大，這時Z最大。 4x 5y =200 ，解 y得點A的坐標(biāo)為(20,24 ),3x 10y =30010分將點 A(20,24)代入 7 = 700*

49、 + 1200丫得2)PO =OC =也，min)4（惠州市2008屆高次調(diào)研考試）x -0,已知點P（x,y）滿足條件y Mx,（k為常數(shù)）,若z = x+3y的最大值為8 ,則2x y k -0解析：畫圖，聯(lián)立方程2x y k = 0kx =3，代入k廠一3k k3 ()-8,. k - -65.不等式組x 0, y 0,表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點）共有4x 3y 12個.解析：(1,1), (1, 2), (2, 1),共 3 個.6（汕頭市金山中學(xué) 2009屆高三上學(xué)期11月月考）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲、乙兩種產(chǎn)品所需煤、電力、勞動力、獲得利潤

50、及每天資源限額（最大供應(yīng)量）如下表所示:品 消耗量 資源j甲產(chǎn)品 （每噸）乙產(chǎn)品 （每噸）資源限額 （每天）煤（t）94360電力（kw h）45200勞力（個）310300利潤（力兀）612問：每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，獲得利潤總額最大？解：設(shè)此工廠應(yīng)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品x噸y噸，獲得利潤z萬元 1分（圖2分）9x +4y 3604x +5y 200j3x+10y 0依題意可得約束條件:x, y = N利潤目標(biāo)函數(shù)z = 6x+12y 8分如圖，作出可行域，作直線1 : z = 6x+12y,fEfiBl向右上方平移至11位置，直線經(jīng)過可行域上的點M,且與原點距離最大，此時 z=6x

51、+12y取最大值。10分解方程組3x+10y =300、4x+5y =200，得M (20,24)12分所以生產(chǎn)甲種產(chǎn)品20t,乙種產(chǎn)品24t ,才能使此工廠獲得最大利潤。14分綜合拔高訓(xùn)練7.由y M2及x y |x +1圍成的幾何圖形的面積是多少解析：如下圖由y E2及x y |x +1圍成的幾何圖形就是其陰影部分,y= x+1y=-x X/ 1,2(1,y=x+1 y=x /8.已知2,x議y圉2錯解：由于 1 ；2x 6+得 X* 1)2/+/求為x2)2y的范圍.+ y: 0 2y 3 .X 2+U - 1)用.3 4x-2y 12錯因：可行域范圍擴大了 .正解：線性約束條件是:1

52、x - y 22 x +y 4JJ令 z = 4x - 2y,畫出可行域如右圖所示,x - y = 1 -得A點坐標(biāo)(1.5 , 0.5)此時z = 4X1.54.-1=220 x y = 2-2X 0.5 =5.x - y =2 ,一得B點坐標(biāo)(3, 1)此時z = 4X 3-2X 1x + y = 4A、B、C三種規(guī)格的成品= 10.A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格A種鋼板121第二種鋼板113需求121527每張鋼板的面積，第一種為1吊，第二種為2 m2,今需要各12、15、27塊，請你們?yōu)樵搹S計劃一下，應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少張，可以得到所需的三種規(guī)格成品，而且使所用鋼板的面積最??？只用第一種鋼板行

53、嗎？解：設(shè)需要截第一種鋼板 x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為 z m2,則,5 4x- 2y 122x +y 之 15 I一目標(biāo)函數(shù)z=x+2yx 3y - 27x,y N作出可行域如圖作一組平行直線x+2y=t ,x +y =12x+3y=27x+2y=0 x +3y =27可得交點坦竺；，2 2但點i 9,15不是可行域內(nèi)的整點，其附近的整點 2 2(4, 8)或(6, 7)可都使z有最小值，且 Zmin=4+2X 8=20 或 Zmin=6+2X 7=20若只截第一種鋼板，由上可知x27,所用鋼板面積2最少為z=27(m );若只截第二種鋼板，則y 15,最少需要鋼板面積 z=2X1

54、5=30(m2).它們都比zmin大,因此都不行.六導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.我國兒童4歲前身高增長的速度最快的是在哪一個年齡段？答：據(jù)有關(guān)統(tǒng)計資料，我國兒童4歲前身高情況有一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)年 齡/歲0.511.522.533.54身 高/米0.520.630.730.850.931.011.061.12思路分析二 要判斷這一個問題.必須要計算每半年這個群體長高的平均增長率 ，再加以比較 即可，通過計算每半年長高的平均增長率分別是 2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2可知我國兒童在1.5歲至2歲這一時段身高增長的速度最快(2008 深圳6校)某日中午12時整，甲船自 A處

55、以16km/h的速度向正東行駛，乙船 自A的正北18km處以16km/h的速度向正南行駛，則當(dāng)日 12時30分時兩船之間距離對時 間的變化率是.解析：距離對時間的變化率即瞬時速度。即此時距離函數(shù)對時間變量的導(dǎo)數(shù)。將物理學(xué)概念與數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)概念遷移到實際應(yīng)用題中來。易求得從12點開始，x小時時甲乙兩船的距離 d = (16x)2 (18 -24x)21d二1(16x)2 (18-24x)2 % 2 16x 16 2 (18 -24x)(-24)1,2 _ . . . -當(dāng) x =0.5 時，d =-1.63.要建造一個長方體形狀的倉庫，其內(nèi)部的高為3m,長和寬白W為20m則倉庫容積的最大值為 1

56、800m 3 .解：設(shè)長為xm,則寬為(20 _x)m,倉庫的容積為 V則 V = x(20 一 x) 3 = -3x2 = 60 xV = -6x+60,令 V = 0 得 x=10當(dāng) 0 x10 時，V0,解得 x=15當(dāng) 0Vx15 時，y 15 時，y 0當(dāng)x=15時，y有最小值.答：當(dāng)x為15千米時運費最省.7.(廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考)設(shè)某物體一天中的溫度T是時間t的函數(shù)，已知_3. 2. , 一、. .T(t) =at3+bt2 +ct +d(a0),其中溫度的單位是C,時間的單位是小時.中午12:00 相應(yīng)的t=0,中午12:00以后相應(yīng)的t取正數(shù)，中午12:00以前相

57、應(yīng)的t取負(fù)數(shù)(如早上8： 00相應(yīng) 的t=-4,下午16: 00相應(yīng)的t=4).若測得該物體在早上 8:00的溫度為8C,中午12:00的解：2因為 T = 3at +2bt+c,而 T(Y)=T(4), 故 48a +8b +c=48a 8b+c,T(0 ) = d =60T(Y )=-64a+16b4c+d =8T(1 )=a+b +c+d =58 48a +8b +c =48a -8b +cb =0.T t )=t3 -3t 60 (-12t 12).c = -3d =60(2) T = 3t23, 由 T(t)=0得t=1或t=1當(dāng)t在2,2上變化時，T (t)與T(t)的變化情況如下

58、表：x-2(-2 , -1 )-1(-1 , 1)1(1,2)2T(t)+0一0+T(t)58增函數(shù)極大值62減函數(shù)極小值58增函數(shù)6212分由上表知當(dāng)t = 一1或t = 2時T(t)取至I最大值62 ,說明在上午11： 00與下午14： 00,該物體溫度最高，最高溫度是 62 C .8.今有一塊邊長 a的正三角形的厚紙， 從這塊厚紙的三個角， 按右圖那樣切下三個全等的四邊形后，做成一個無蓋的盒子，要使這個盒子容積最大,x值應(yīng)為多少?解：折成盒子后底面正三角形的邊長為a -2x(0 xa),高為h = x,tan300 = 3 x23設(shè)：容積為V,則12.3V =sh=(a-2x) - si

59、n 60 x 23232 a=x -ax x42V3x2 -2ax 4令=0得*=亙，x =(舍去) b 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark376 o Current Document aa當(dāng) 0 x0；當(dāng) xa 時，V06ba:x =一時，V最大b333,3a a a 4a-十=54216 36 24 216答：x為亙時，盒子的容積最大為 b3a54七不等關(guān)系與不等式考點1不等關(guān)系及不等式題型1.建立不等關(guān)系例1某鋼鐵廠要把長度為600mmiW管的數(shù)量不能超過4000mm勺鋼管截成500mnf口 600mnM種，按照生產(chǎn)的要求, 500mmIW管的3倍。

60、怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？【解題思路】設(shè)出變量，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號解析假設(shè)截得500mm勺鋼管x根，截得根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：600mml勺鋼管y根.解得兩種鋼管的總長度不能超過 截得600mniW管的數(shù)量不能超過 解得兩鐘鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)。4000mm500mniW管數(shù)量的3倍;由以上不等關(guān)系，可得不等式組:500 x + 600y yx -0y-0【名師指引】建立不等關(guān)系關(guān)鍵在于文字語言與數(shù)學(xué)符號間的轉(zhuǎn)換.它們之間的關(guān)系如下表.文字語百數(shù)學(xué)符號文子語百數(shù)學(xué)符號至多小于0, m0）的大小 b m b【解題思路】作差整理，定符號解析:a m a b(a m) -