高考數學培優(yōu)專題10計數原理

1、高考數學培優(yōu)專題10計數原理、單選題（ 2分）（2020高三上大同期中）在 /：!一手丁的展開式中，尸的系數為（）A. 20B. 10C. -10D. -20（ 2分）（2020高三上 濰坊期中）高一某班有 5名同學報名參加學校組織的三個不同社區(qū)服務小組，每個小組至多可接收該班 2名同學，每名同學只能報一個小組，則報名方案有（）A. 15 種B. 9腫3. （ 2分）（2020高三上會昌月考）若為（）的展開式中各項系數之和為C. 120D. 18腫64,則展開式的常數項A. -540B162C. 162D. 540 TOC o 1-5 h z （ 2分）（2020高三上 唐山月考）特崗教師是中

2、央實施的一項對中西部地區(qū)農村義務教育的特殊政策.某教育行政部門為本地兩所農村小學招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數學教師4名.按每所學校1名體育教師，2名數學教師進行分配，則不同的分配方案有（）A. 24B. 14C. 12D. 8（ 2分）（2020高三上 松原月考）在 加十部 的展開式中，各二項式系數之和為64,則展開式中常數項為（）A. 135B. 105C. 30D. 15（ 2分）（2020高三上合肥月考）周六晚上，小紅和爸爸、媽女弟弟一起去看電影，訂購的 4張電影 票恰好在同一排且連在一起，為安全起見，每個孩子至少有一側有家長陪坐，則不同的坐法種數為（）A. 8B. 12C.

3、 16D.20（ 2分）（2020高三上蚌埠月考）（*+ 1（2萬一的展開式中常數項為（）A. -40B. 40C. -80D. 80（ 2分）（2019浙江模擬）從集合A, B, C, D, E, F和1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中各任取2個元素排成一排（字母和數字均不能重復）.則每排中字母C和數字4, 7至少出現兩個的不同排法種數為（）A. 85B. 95C. 2040D. 2280二、多選題（ 3分）（2020高三上 山東期中）已知的展開式中各項系數之和為A ,第二項的二項式系數為萬，則（）A. .4 = 256b.4+不=260C.展開式中存在常數項D.展開式中

4、含 靠項的系數為54（ 3分）（2020高三上 邢臺月考）若（1一1一十/02設期6E月， TOC o 1-5 h z B. _一C., q102l- +pon = - 1的展開式，下列（ 3分）（2020高三上 裸水期中）設常數 aR,對于二項式結論中，正確的是（）A.若ai ,則各項系數隨著項數增加而減小B.若各項系數隨著項數增加而增大，則 RAbC.若&= 一2,用=10,則第7項的系數最大D.若仃二一收，11=了，則所有奇數項系數和為239（ 3分）（2020高二下 連云港期末）為弘揚我國古代的六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設 禮“樂“射“御“書“數六門體驗課程，每周一門，

5、連續(xù)開設六周.則（）A.某學生從中選3門，共有30種選法B.課程 射“御“排在不相鄰兩周，共有 240種排法C.課程 禮“書”數”排在相鄰三周，共有 144種排法D.課程 樂”不排在第一周，課程 御”不排在最后一周，共有 504種排法三、填空題（ 1分）（2020高三上 黃浦期中）若（五一祟”的展開式中 W的系數為S4,則為二 （ 1分）（2020高三上 西安期中）2020年2月為支援武漢市抗擊新型冠狀病毒的疫情，計劃從北京大 興國際機場空運部分救援物資，該機場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機器人自動泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問題，現有4輛載有救援物資的車輛可以停放在8個并排的泊車位

6、上，要求停放的車輛相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有 種.（用數字作答）（ 2分）（2020紹興模擬）已知 （1 +工）電一口+=內爐+ *，皿+的承+* ,則期三, hJ+H+b+/+ =（ 1分）（2020桂林模擬）某校 13名學生參加軍事冬令營活動，活動期間各自扮演一名角色進行分組 游戲，角色按級別從小到大共9種，分別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以2人一組或者3人一組.如果2人一組，則必須角色相同；如果 3人一組，則3人角色相同或者 3人為級別連續(xù)的 W個不同角色.已知這13名學生扮演的角色有 孑名士兵和3名司令， 其余角色各 1

7、人，現在新加入 1名學生，將這 14名學生分成5組進行游戲，則新加入的學生可以扮演的 角色的種數為.四、解答題（ 10分）（2020高三上 松原月考）盒子內有 3個不同的黑球，5個不同的白球. （1）從中取出3個黑球、4個白球排成一列且 4個白球兩兩不相鄰的排法有多少種？ （2）從中任取6個球且白球的個數不比黑球個數少的取法有多少種？（ 10分）（2020高三上 松原月考）已知（，一W）的展開式中，第4項和第9項的二項式系數相等， （1）求巴（2）求展開式中 董的一次項的系數.（ 10分）（2020南通模擬）已知（十力加=為十4V+曲旌十一十仃小不.（1）求。1+砸+。3+* +也|的值；（2

8、）求得一京磊一擊+W一高的值.（ 15分）（2020高二上 建甌月考）在高三一班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目.（1）當4個舞蹈節(jié)目接在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？（2）當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？（3）若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩歌朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？（ 10分）（2020高二下 武漢月考）已知二項式 （計至R .（1）若它的二項式系數之和為 512.求展開式中系數最大的項； （2）若丫 = 3jr = 2020,求二項式的值被7除的余數.（ 15分）（202

9、0高二下 武漢月考）江夏一中高二年級計劃假期開展歷史類班級研學活動，共有 6個名 額，分配到歷史類 5個班級（每個班至少0個名額，所有名額全部分完 ）.（1）共有多少種分配方案？6名學生確定后，分成 A、B C D四個小組，每小組至少一人，共有多少種方法？6名學生來到武漢火車站.火車站共設有3個安檢”入口，每個入口每次只能進 1個旅客，求6人進站 的不同方案種數.答案解析部分、單選題.【答案】B【考點】二項式定理的應用【解析】【解答】在的展開式中,通項公式為 “6，（_工吁5,人 110-+/曰令1r ，求得= 2，7=2二廣的系數為c； = io,故答案為：B.【分析】利用二項展開式的通項公

10、式，由 工Y的指數分別為4與2可求得的的系數. r1fcB.【答案】B【考點】排列、組合及簡單計數問題【解析】【解答】解：根據題意，5名同學需以“Z 2, 1”形式參加三個服務小組，即先把5名同學分成3組，每組人數為2,2,1人，共有=15種，再將三組分配到3個服務小組,共有學汨,/ = 90種，故答案為：B.【分析】利用實際問題的已知條件結合排列數、組合數解決計數問題的方法，從而求出報名方案的種數。.【答案】A【考點】二項式系數的性質【解析】【解答】根據題意，由于展開式各項系數之和為2n=64,解得n=6,則展開式的常數項為點班）（一十）二-540,故答案為A.【分析】利用二項式定理的系數的

11、性質求出n的值，從而結合二項式定理求出展開式中的通項公式，再利用通項公式求出展開式中的常數項。.【答案】C【考點】排列、組合及簡單計數問題CiC工【解析】【解答】先把4名數學教師平分為 2組，有二二二3種方法，再把2名體育教師分別放入這兩組，有.另=2種方法,最后把這兩組教師分配到兩所農村小學，共有3x2xj = 12種方法.故答案為：C.【分析】先把4名數學教師平分為 2組，再把2名體育教師分別放入這兩組，最后把這兩組教師分配到兩 所農村小學，即可計算出結果 .【答案】A【考點】二項式系數的性質【解析】【解答】由二項式系數的性質，得2=64 *二6,則（十的展開式為71=燈n。黃，則- 6+

12、彳=0 = 4,展開式中常數項為135,故答案為：A.【分析】利用二項式系數的性質結合已知條件求出n的值，再結合二項式定理求出展開式中的通項公式，再利用通項公式求出展開式中的常數項。.【答案】C【考點】排列、組合及簡單計數問題【解析】【解答】4個人坐四個座位，共有 .=24種坐法，當孩子坐在一起并且坐在最邊上時，有一個孩子沒有大人陪伴，共有 2aM= 8種，所以每個孩子旁邊必須有大人陪著共有24-8=16種坐法.故答案為：C.【分析】先計算出 4個人的全排列，再減去不符合情況的種數即可.【答案】A【考點】二項式定理【解析】【解答】解：（2x-卷）5的的展開式的通項公式：令 5 - 2r= -

13、1,或 5 - 2r = 0,解得r = 3, r= 5 （舍去）. （x+1） （2x- 1） 5 的展開式中常數項：（-1） 3x2 xCs=- 40.故答案為：A.【分析】利用通項公式即可得出.【答案】C【考點】分步乘法計數原理【解析】【解答】根據題意，分 2步進行分析：，先在兩個集合中選出 4個元素，要求字母 C和數字4, 7至少出現兩個，若字母C和數字4, 7都出現，需要在字母 A, B, D, E, F中選出1個字母，有5種選法，若字母C和數字4出現，需要在字母 A, B, D, E, F中選出1個字母，在1、2、3、5、6、8、9中選出1 個數字，有5XX 35種選法，若字母C和

14、數字7出現，需要在字母A,B,D,E,F中選出1個字母，在1、2、3、5、6、8、9中選出1個數字，有5X1= 35種選法，若數字4、7出現，需要在字母 A, B, D, E, F中選出2個字母，有 G2=10種選法，則有5+35+35+10 = 85種選法，將選出的4個元素全排列，有 A44= 24種情況，則一共有85 X 24= 2040種不同排法；故答案為：C.【分析】根據題意，分 2步進行分析：先在兩個集合中選出4個元素，要求字母 C和數字4, 7至少出現兩個，再將選出的4個元素全排列，即得解.二、多選題.【答案】A,B,D【考點】二項式定理，二項式系數的性質【解析】【解答】令 工=1

15、,得（五2十的展開式中各項系數之和為4、256 所以j=工56,的展開式中第二項的二項式系數為。：=4,所以5 : 4,A符合題意；=B符合題意;（京2 +玄2+得的展開式的通項公式為城門二盧%-S-即，令8切=0,則r = l，所以展開式中不存在常數項，C不符合題意；令K一立=工,則r = 2,所以展開式中含 N項的系數為 產（=54, D符合題意.；故答案為：ABD【分析】利用二項展開式的通項公式求解列方程求解即可.【答案】 A,C,D【考點】二項式系數的性質【解析】【解答】由題意，當 工=0時，a0=l2O21=L,當工=1時， 劭十位一硝十的+ +的- 1）= 一 ,當工=一 時， 斯

16、一處+由一色+，. , 電021= 3第，所以3-0-M砌_L的_L ,生舊 “ 十產=為又1H)2一一一 ,_ 嚴 H， 的+班+04+仍020 ?，4- 1 +n2O21(1)2021當工=5時，。二4十口產3十6Xg）十色度產圖 ,所以 故答案為：ACD.【分析】利用賦值法解決，對于A：通過給 篁賦值9即可作出判斷；對于B和C：通過給工賦值1和1, 得到兩個等式作差得到結果，進而作出判斷；對于 D：* H小十一 + ；二；=所x ,x I,+ 一，+），通過給 工賦值；得到結果即可作出判斷.【答案】B,C,D【考點】二項式定理，二項式系數的性質【解析】【解答】二項式的展開式的通項為丁中=

17、6產.函二點/，對于A,當n=CW,則任意項白系數均為 0 （除常數項），A不符合題意；對于B,若W也則最后兩項為 CJ-%1-1,C/,有之與已知矛盾，故 厘 方，B符合 題意；對于C,若口=一乙=10，則各項系數為c% 2） = L U 力=一 20，底0（-2=180， C-2）J= -960，4/一2二330，U溫一 2），= 8064，cfj - 2） = 13440， C；J_2）= - 15360，C 需一 21=11520，%-2）*=T120 C；一 2產: 1024，故第 7 項的系數最大，C符合題意.對于D,若口二隹，n=7,則所有奇數項系數和為仙2 + 9+陰= 1x1

18、+21*2 + 35x4 + 7x8 = 239, D符合題意.故答案為：BCD.【分析】求出二項展開式的通項，取口 = 0即可判斷A;利用反證法可判斷 B;依次求出各項系數即可判斷C;直接求出奇數項和即可判斷 D.【答案】 C,D【考點】排列與組合的綜合【解析】【解答】6門中選3門共有。1=20種，A不符合題意；課程 射“御“排在不相鄰兩周，共有 = 480種排法，B不符合題意；課程 禮“書”數”排在相鄰三周，共有 H滔 = 144種排法，C符合題意；課程樂”不排在第一周，課程 御”不排在最后一周，共有 +CC%=504種排法，d符合題意.故答案為：CD【分析】根據排列組合的相鄰關系和不相鄰

19、關系，以及有限制排列的關系，逐個分析選項即可三、填空題.【答案】-1【考點】二項式定理【解析】【解答】求得二項式 G3”的展開式的通項為 %= 曲蟲 - rf=( -，當9-lr = 3,解得=3,此時T4=(-D3加像3,所以(-03 ffl3 CiJ=84,解得 m= -1故答案為：-1.【分析】由題意，二項式展開式的通項為71=(一1丫力廣仁濟-%,結合題意，求得 r=3,進而得到關于 舊的方程，即可求解.【答案】120【考點】排列、組合及簡單計數問題【解析】【解答】從8個車位里選擇4個相鄰的車位，共有 5種方式，將4輛載有救援物資的車輛相鄰停放，有寸=24種方式，則不同的泊車方案有 5

20、x24= 12。種.故答案為：120.【分析】可知從8個車位里選擇4個相鄰的車位，共有 5種方式，將4輛載有救援物資的車輛相鄰停放，有方式，則可計算出不同的泊車方案.【答案】0; 665【考點】二項式系數的性質【解析】【解答】因為一口 +工于=的一日盧一也#2 +一的一061fr,令工=1可得： 劭十。1十/+ . .十的+恁=於一爐=-665 .所以：仃&=*一* = 0;,，面=十一步或=一63；2=煤7鐮=-1S6；R+ =d-d= -225;a5 = C；-2 =-；%=或-/或=0；故 故答案為：0, 665.1=1即可求【分析】根據其特點可知生為X七的系數，把第二問所求去掉絕對值符

21、號發(fā)現各項為負，令解.16.【答案】9【考點】分類加法計數原理【解析】【解答】依題意，14名學生分成5組，則一定是若新加入的學生是士兵，則可以將這 團長、旅長各 1名；師長、軍長、司令各 可以是司令；14個人分組如下;4個3人組和個2人組.3名士兵；士兵、排長、連長各 1名；營長、1名；2名司令.所以新加入的學生可以是士兵，由對稱性可知也若新加入的學生是排長，則可以將這14個人分組如下：m名士兵；連長、營長、團長各 1名；旅長、師長、軍長各 1名；3名司令；2名排長.所以新加入的學生可以是排長，由對稱性可知也可以是軍長;若新加入的學生是連長，則可以將這營長、團長各 1名；旅長、師長、軍長各 可

22、以是師長；14個人分組如下： 2名士兵；士兵、排長、連長各 1名；連長、1名；m名司令.所以新加入的學生可以是連長，由對稱性可知也若新加入的學生是營長，則可以將這 團長、旅長各 1名；師長、軍長、司令各 可以是旅長；若新加入的學生是團長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各 1名；營長、1名；工名司令.所以新加入的學生可以是營長，由對稱性可知也14個人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各 1名；旅長、師長、軍長各 1名；3名司令；2名團長.所以新加入的學生可以是團長綜上所述，新加入學生可以扮演9種角色.故答案為：【分析】對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，分析各種情況

23、下 綜合可得出結論.14個學生所扮演的角色的分組,四、解答題17.【答案】（1）解：首先從5個白球中取出4個進行排列，然后 3個黑球插在中間三個空內,則4個白球兩兩不相鄰的排法有5工4乂3黑2= 720種；（2）解：從中任取 6個球，白球的個數不比黑球個數少的取法有3類：1個黑球和5個白球、2個黑球和4個白球、3個黑和3個白球，則共有。魔+俏&+ CCs= 2s種取法.【考點】排列、組合及簡單計數問題【解析】【分析】（1）由題意先將白球選出 4個進行排列，再用黑球插空即可得解；（ 2）由題意將滿足 要求的情況分為三種：1個黑球和5個白球、2個黑球和4個白球、3個黑球和3個白球，再結合分步乘法、

24、 組合的知識即可得解.18.【答案】 （1）解：由第4項和第9項的二項式系數相等可得 C=C 解得（2）解：由（1）知，展開式的第項為：J = 4威門- 2匕啟11-卡令= 1得 r=3此時 所以，展開式中 ，的一次項的系數為 一1320【考點】二項式系數的性質【解析】【分析】（1）根據二項式系數相等列式求解 n； （ 2）先求出展開式的通項，然后求解所求項的 系數. TOC o 1-5 h z 19.【答案】（1）解：令工=0得，斯=1;令元=1得，佝一句一的+內+* 2H=.于是.（2）解：偏=弓,k = L 2, 生-7 2，三 + 氐= 訓 +1(= (2rr+W班田及_ *2fl+l

25、（ 11 1）+1/ 1.71L L.L”.【考點】組合及組合數公式，二項式系數的性質【解析】【分析】（1）利用賦值法進行求解，令x = 0得，劭=1；令1=1得，施一n做十與+十處內=2%.從而可求結果. 根據二項式系數與 “關系及組合數性質得到20.【答案】（1）解：第一步先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成 1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有二5040種方法;第二步再松綁，給4個節(jié)目排序，有.= 2 4種方法根據分步乘法計數原理，一共有5 040X24= 120960種（2）解：第一步將6個演唱節(jié)目排成一列（如圖中的口”），一共有，忠=720種方法.XDXDXDXDXDXDX第二步，再將4個舞

26、蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間（即圖中“汨勺位置），這樣相當于 7個“破4個來排，一共有= 7父6，5X 4 = 840種，根據分步乘法計數原理，一共有 720X 840 = 604800種（3）解：若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有ag種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除,所以節(jié)目演出的方式有 與 三.二2犯種排法4o -【考點】計數原理的應用，排列、組合及簡單計數問題【解析】【分析】（1）相鄰問題利用捆綁法；（2）不相鄰問題采用插空法；（3）使用倍分法分析：先 求出10個節(jié)目全排列的排法數目，分析三個舞蹈節(jié)目本身的順序，由倍分法計算可得答案；.【答案】（1）解： ;二項式（才十3

27、工的二項式系數之和為 512, .*.2 = 512,二9解得:r = 7,展開式中系數最大的項為第 8項，為T廣31Vl$ = 78732p&.解：若x = 3,并=2020,值+3n手=3&慎 = （28+ 2產加=2件噎C需I科九2+瑞,坨夢1nL 2刈。=2歌2必。問題轉化為被7除的余數，to2期。=2 即凸=20 + If召=2*占,嚴+ 2%產+南-產+嚙7+嗡1=?x 7 + 2,即余數為2.【考點】二項式定理的應用【解析】【分析】（1）由題意利用二項式系數的性質求得冷的值，再根據通項公式可得展開式中第+ 1項的系數，從而求得展開式中系數最大的項.（2）二項式即（28+2）山為，按照二項式定理展開，問題化為。被7除的余數.再根據2州結=2 或=2*（74球門，按照二項式定理展開，可得它被7除的余 數.【答案】（1）解：由題意得：問題轉化為不定方程打+/# 0+尤44Az 的非負整數解的個數，方程又等價于不定方程與+、3