高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-軌跡方程的幾種常見求法

1、x=0,點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸).2008屆高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一一軌跡方程的幾種常見求法1直接法：把題目中的等量關(guān)系直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于x,y,的方程基本步驟是：建系。設(shè)點(diǎn)。列式?；?。說明等 【例1】 已知A、B為兩定點(diǎn)，動點(diǎn) M到A與到B的距離比為常數(shù) 入，求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則 A( a,0) ,B(a,0).設(shè)M(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn).則由題設(shè)，得 型!=入，坐標(biāo)代入，| MB |得更三口入化簡得(x -a) y(1 -入 2)x2+(1 入 2)y2+2a(1+ 入 2)x+(1 入 2)a2=0(1)當(dāng)入=1時(shí)，即|MA|二|

2、MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是(2)當(dāng)入W1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2a(12)1 - 2x+a2=0.點(diǎn)M的軌跡是以2a ,. .一2為半徑的圓|1 - |O相內(nèi)切，與。A、O B相外切.建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)。 P的半徑為r,則2、(a(1 2), 0)為圓心, 1 - -【例2】某檢驗(yàn)員通常用一個直徑為 2 cm和一個直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個標(biāo) 準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？(直接法)解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為 O、A、B,問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與。|PA|+|PO|=1 + r+1

3、.5r=2.5點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長軸長2.5的橢圓上，其方程為1 2空=1316(x )2 425同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長軸長為 2的橢圓上，其方程為 TOC o 1-5 h z (x- 1)2+4y2=1 HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 23由、可解得 P(2,馬Q(2,J2) ,r=| -J(-)2 +(S2 -14 1414 14214147故所求圓柱的直徑為 6 cm.7【例3】 雙曲線的兩焦點(diǎn)分別是F1、F2，其中已是拋物線y =(x+1)2+1的焦點(diǎn)，兩4點(diǎn)A (-3, 2)、B (1, 2)都在該雙曲線上.(1)求點(diǎn)F

4、1的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)F2的軌跡方程，并指出其軌跡表示的曲線.解：(1)由 y =(x+1)2 +1 得(x+1)2 =Y(y 1),焦點(diǎn) F1 (-1, 0). 4(2)因?yàn)锳、B在雙曲線上，所以 | AFi | | AF2 IHIBFi | | BF2 | , |2亞-加2 歸 2亞-1 BF2 | .若2亞_| AF2 |=2亞-1 BF2 | ,則| AF2 |斗BF2 | ,點(diǎn)F2的軌跡是線段 AB的垂直平分線，且當(dāng)y=0時(shí)，弓與52重合；當(dāng)y=4時(shí)，A、B均在雙曲線的虛軸上.故此時(shí)F2的軌跡方程為x= -1 (yw0, yw4).若2 72| AF2RBF2|N拒，則| AF2|十|

5、BF2 | = 46，此時(shí)，F(xiàn)2的軌跡是以 A、B為焦點(diǎn)，a =2.5, c=2,中心為(-1,2)的橢圓，其方程為小(I二 =1, (y yw4) TOC o 1-5 h z 84, 八22故F2的軌跡是直線x= -1或橢圓(x ” +(y2) =1 ,除去兩點(diǎn)(-1, 0)、(-1, 4)84【例4】已知點(diǎn)B( 1,0),C (1, 0), P是平面上一動點(diǎn)，且滿足|PC| .|就|=鈍 CB.(1)求點(diǎn)P的軌跡C對應(yīng)的方程；(2)已知點(diǎn) A (m,2)在曲線 C上，過點(diǎn) A作曲線 C的兩條弦 AD和AE ,且ADXAE ,判斷：直線DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論 .(3)已知點(diǎn)A (m,

6、2)在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD , AE ,且AD , AE的斜率 k1、k2滿足k1 k2=2.求證：直線DE過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn).解：(1)設(shè) P(x, y)代入 |PC |，| BC | = PB CBW J(x -1)2 +y2 =1 +x,化簡得 y2 =4x.(2)將A(m ,2)代入 y 2 = 4x得m = 1,，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (1,2).設(shè)直線 AD 的方程為 y - 2 = k ( x -1)代入 y 2 = 4x,得y2 - y + 4 = 0, k k444由 yi = 2 可得 y 2 =2,二 口(三+1,2).kk 2 k1同理可設(shè)直線AE :y-2

7、=-(x-1),代入 y 2 = 4x 得 E (4 k 2 +1,4 k -2).k44 k則直線 DE 方程為 ：y+4k + 2 = (x - 4k 2 -1),化簡得，4k 2 - 4 k2_k (y 2) k(x - 5) - (y 2) =0, k即 y+2 = 9 (x -5),過定點(diǎn) (5,-2).k 2 -1(3 )將 A ( m ,2 )代入y 2 = 4 x得 m = 1 ,設(shè)直線 DE 的方程為 y = kx + b , D ( x1 , y1 ), E ( x1 , y1 ),y = kx + b ,=222由2得 k2x2 + 2(kb 2)x+b2 = 0,y =

8、 4 xy 1 - 2 y 2 - 2k AD k ae = 2,. * =2(x1,x2=1),x1 - 1 x 2 - 1且丫1 = kx1 b, y2 . kx2 b(k2 -2)x1x2 (kb-2k 2)(x1 x2) (b-2)2 -2 = 0,將x1 +x2=2(2),x1x2=b_代入化簡得b2 =(k-2)2,，b=(k-2).k2k2b = -(k-2).#b = k - 2 代入 y = kx + b 得y = kx + k 2 = k(x + 1) 2,過定點(diǎn)(112).將b = 2 - k代入 y = kx + b得y = kx + 2 - k = k(x -1) +

9、 2,過定點(diǎn)(1,2),不合,舍去,二定點(diǎn)為(-1,-2)2.定義法利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法. 這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和 或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件.例1設(shè)Q是圓x2+y2=4上動點(diǎn)另點(diǎn)A （ 73。0）。線段AQ的垂直平分線l交半 徑OQ于點(diǎn)P（見圖2 45）,當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn) P的軌跡方程.圖 2-45分析：, 點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，|PQ|=|PA| .又P在半徑OQ上.|PO|+|PQ|=R,即 |PO|+|PA|=R .故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離

10、之和是定值，可用橢圓定義寫出P點(diǎn)的軌跡方程.解：連接 PA v l，PQ . . |PA|=|PQ| .又P在半徑OQ上.|PO|+|PQ|=2 .P0用PA|=2,且2招=|0州由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè) A為焦點(diǎn)的橢圓.由2陵=2, 2c = 得工 a = b c=;.士i從耐=I.故所求輔圓方程為0-y? +y = 1即為點(diǎn)P的軌跡方程.4例2已知AABC中，/A,/B,/C所對應(yīng)的邊為a,b,c,且acb,a,c,b成等差數(shù)列，|AB|=2，求頂 點(diǎn)C的軌跡方程解：|BC|+|CA|=42,由橢圓的定義可知，點(diǎn) C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其長軸為 4,焦距為2,短軸長為2 J

11、3, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark136 o Current Document 22橢圓方程為y =1, HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 43又ab,點(diǎn)C在y軸左側(cè)，必有x0,而C點(diǎn)在x軸上時(shí)不能構(gòu)成三角形，故 x豐2, HYPERLINK l bookmark142 o Current Document 22因此點(diǎn)C的軌跡方程是：-+- = 1(2xb0), C2的離心率為 ,如a2 b22果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1 的直徑，求直線 AB的方程和橢圓 C2的方程.“,.2x2

12、y2.解：由e=，可設(shè)橢圓方程為 -r+3=1, 22b2 b2又設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2),則 x1+x2=4,y1+y2=2,2222又券*T條囁=1，兩式相減22Xi X22b222yi -y2-2=0,b2即(Xi+X2)(xi X2)+2(yi+y2)(yi y2)=0.化簡得y 丫2 = i,故直線AB的方程為y= x+3, X1 - X2代入橢圓方程得3X2-i2X+i8-2b2=0.有 A =24b2-72 0,又|AB|=(x +x2)2 4x1x2得人如產(chǎn)=涔解得22故所求橢圓方程為今匕=i.i6 8已知直線y = -x +i與橢圓b2=8.22、+0=i(ab

13、:0)相交于A、B兩點(diǎn)，且線段a2 b2AB的中點(diǎn)在直線l : x 2y =0上.(1 )求此橢圓的離心率；(2 )若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線 l的對稱點(diǎn)的在圓x2 + y2 =4上，求此橢圓的方程講解：(i)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為y = -x i,A(Xi, yi),B(x2,y2)則由 x2y2+ =a2 b2(a2 b2)x2 -2a2x a2 -a2b2 =0,根據(jù)韋達(dá)定理，得xi X2y =-函 a2 b2X2)2 一bb2,線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2a22 ,a bb2a2 b22a由已知得22a2b22b2a2 b22_ 2=0, a =2b_22= 2(a -c )| PA |+|

14、 PB |的值不變.2故橢圓的離心率為 e= 2(2)由(1)知b=c,從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0),設(shè)F(b,0)關(guān)于直線 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark124 o Current Document l ：x-2y =0 的對稱點(diǎn)為(X0,y。),則 y0 一 J = -1且 x0 *b -2父 y0 = 0, x0 - b 222.一34解得X。= b且yb HYPERLINK l bookmark232 o Current Document 55由已知得 xoy0 =4,. (3 b)2 J b)2 = 4,. b2 = 4 HYPERLINK

15、 l bookmark130 o Current Document 55 HYPERLINK l bookmark242 o Current Document 22故所求的橢圓方程為 -y- =1 .84。DOXAB 于 O 點(diǎn)，OA=OB ,如圖，在 RtAABC 中，Z CBA=90。, AB=2 , AC= 22DO=2,曲線E過C點(diǎn)，動點(diǎn)P在E上運(yùn)動，且保持(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線 E的方程；(2)過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)試確定實(shí)數(shù)入的取值范圍.講解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示. . | PA |+| PB |=| CA |+| CB |= 巾(22)、2.

16、2，動點(diǎn)P的軌跡是橢圓.a =42,b =1, c=1.2 曲線E的方程是 x +y2 =1 .222(2)設(shè)直線L的方程為 y =kx+2,代入曲線E的方程x2 +2y2 =2,得(2k2 1)x2 8kx 6 =0設(shè) Mi( Xi,yi),N(x2, y2),則.： =(8k)2 -4(2k 1) 6 0a8k x1 +x2 = -22k +16x1 x2 =22k2 1i) L與y軸重合時(shí)，人| DM | 1|DN | 一 3ii) L與y軸不重合時(shí)，由得k2 3. 2_ DM _ xd - xMx13C 一 一一 ,DNxd - xnx2x2 x1 x1 0, .0-,6 3(2 +F

17、 8.2k2324 ：16 一 TOC o 1-5 h z 133（2 尸）3 k HYPERLINK l bookmark152 o Current Document .,1c 16 c 1104 ：二, , 一 2 ：二, 2 ：二 ,:330九 2, =一 %1.九3-110九十 6=|BC|,故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以 B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動點(diǎn)P的軌跡方程 TOC o 1-5 h z 224x y 為一=1(yw 0) 81726參數(shù)法：22例1已知雙曲線、_4=1(m0,n0)的頂點(diǎn)為Ai、A2,與y軸平行的直線l交雙

18、曲線 m n于點(diǎn)P、Q.求直線AiP與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(XL,則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(xi, y1),又有Ai(m,0),A2(m,0),則 AiP 的方程為。y1y=(x m)A2Q 的方程為 y y=y1 (x m)x1 -m2 TOC o 1-5 h z x得 f y2=_ 2y1 2 (x2 m2)x1 - m222又因點(diǎn)P在雙曲線上，故x12 -y12 =1,即y12 = n2(x12 -m2). m nm22代入并整理得與+*=1，此即為M的軌跡方程.m n例2設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p0)上原點(diǎn)以外的兩個動點(diǎn)，已知OA，OB,OM，AB,求點(diǎn)M的軌跡方程，并

19、說明它表示什么曲線.解法一 & 設(shè) A(Xi,yi),B(X2,y2),M(x,y) (xW0)直線AB的方程為x=my+a由 OMLAB,得 m=- y x由 y2=4px& x=my+a,消去 乂得 y24Pmy 4pa=0所以 yiy2= 4pa, xix2=(，21 = a2(4p)2所以，由 OA_LOB,得 xix2 = - yiy2所以 a2 =4pa= a =4p故 x=my+4p,用 m= y 代入，得 x2+y24Px=0(xw0) x故動點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24Px=0(xw0),它表示以(2p,0)為圓心，以2P為半徑的圓, 去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法二：設(shè)OA的方程為y =

20、 kx ,代入y2=4px得A(2p , 2p) k k1cc則 OB 的方程為 y = 1 x ,代入 y2=4px 得 B(2 pk2 , -2 pk) kk：AB的萬程為y =2(x -2p),過定點(diǎn)N(2 p,0), 1 -k由OMAB,得M在以O(shè)N為直徑的圓上(O點(diǎn)除外)故動點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24Px=0(x0),它表示以(2p,0)為圓心，以2P為半徑的圓, 去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法三：設(shè)M(x,y) (xW 0), OA的方程為y = kx ,代入y2=4px得A(空,空)k2 k1 一一 r .一2則0B的方程為y = - x，代入y =4px得B(2 pk , -2 pk) k

21、由OMAB,得M既在以O(shè)A為直徑的圓* x2 + y2 -2px-？衛(wèi)y = 0上，k k又在以O(shè)B為直徑的圓; x2+y2 2pk2x+2pky = 0上(O點(diǎn)除外)， 沛2 +得 x2+y24Px=0(xw 0)故動點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24Px=0(xW0),它表示以(2p,0)為圓心，以2P為半徑的圓, 去掉坐標(biāo)原點(diǎn)【例3】過點(diǎn)A (1, 0),斜率為k的直線l與拋物線C: y2=4x交于P, Q兩點(diǎn).PFQR,求點(diǎn)R的軌跡方程;若曲線C的焦點(diǎn)F與P, Q, R三點(diǎn)按如圖順序構(gòu)成平行四邊形解：要求點(diǎn)R的軌跡方程，注意到 點(diǎn)R的運(yùn)動是由直線l的運(yùn)動所引起的，因此可 以探求點(diǎn)R的橫、縱坐

22、標(biāo)與直線l的斜率k的關(guān)系.然而，點(diǎn)R與直線l并無直接聯(lián)系.與l有直接聯(lián)系的是點(diǎn)P、Q,通過平行四邊形將P、Q、R這三點(diǎn)聯(lián)系起來就成為解題的關(guān)鍵.x得:由已知l : y = k(x+1),代入拋物線 C： y2=4x的方程，消527 k =0直線l交拋物線C于兩點(diǎn)P、Qk c 04& =1 -k2 0解得-1 ： k : 0或 0 : k ： 1設(shè)P(Xi,yJQ(X2,y2),R(x,y), M是PQ的中點(diǎn)，則由韋達(dá)定理可知:yMy1 , y2 = 22 kxm將其代入直線l的方程，得yM,-12 k四邊形PFQR是平行四邊形,RF中點(diǎn)也是PQ中點(diǎn)M .x =2Xm -Xf =-2-3kc 4

23、y = 2yM = k又；k (-1,0) 一(0,1)Xm w (1F- 點(diǎn)R的軌跡方程為 y2 =4(x+3),x1.例4.垂直于y軸的直線與y軸及拋物線y2=2(x T)分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)P,點(diǎn)B在y軸上且點(diǎn)A分OB的比為1:2,求線段PB中點(diǎn)的軌跡方程解：點(diǎn)參數(shù)法.設(shè)A(0,t),B(0,3t),則 P(t2/2 +1, t),設(shè)Q(x,y),則有0)上的兩個動點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OA,OB滿足OA+OB OA-OB.設(shè)圓c的方程為22X y -(Xi X2)X -(yi=。(I)證明線段 AB是圓C的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為 2*5時(shí)，求p的值。5

24、解析：(I)證明 1： ；OA+oBoAob，(OA+oB)2=(OAoB)-2 1 T T 2 1 T 2OA 2OA OB OB =OA-2OAOB OB整理得：OA OB=0K X2yi 72 =0設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則MA MB =0即(x)(x W) (yyi)(y-丫2) =0整理得：x2 y2( x2)x -(y1 y2)y = 0故線段AB是圓C的直徑(II)解法i:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則X X2 X 二2yiy2廠丁2 *22,yi =2p&y2 =2px?(p 0)22xx _AA_ x x2 24P又因 x1 x2y1 y2 = 0

25、x 又2 = -y 72-y y2 二V；V24p2;x x2 =0, y y2 =0y y2 - -4p2YlY24p TOC o 1-5 h z xx21/22、 1/22x(y y2 ) (y Y2 2yly2)2 4p4p HYPERLINK l bookmark206 o Current Document 122=(y 2p)p所以圓心的軌跡方程為 y2=px2p2設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則12_ 2_|-(y 2p ) -2y|P52_2I y - 2 py 2 p |.5p=I (y 二 p)2_p2 I .5p當(dāng)y=p時(shí),d有最小值%，由題設(shè)得P = 2.7交軌法

26、例1.自拋物線y2=2x上任意一點(diǎn)P向其準(zhǔn)線l引垂線，垂足為 Q,連結(jié)頂點(diǎn)O 直線和連結(jié)焦點(diǎn)F與Q的直線交于R點(diǎn)，求R點(diǎn)的軌跡方程. TOC o 1-5 h z 解：設(shè) P (Xi, yi)、R (x, y),則 Q (一 二 , y)、F ( - , 0), 22，OP的方程為y=幺x,XiFQ的方程為y=-yi (x-1).2由得 xi=打_ , yi= _2y_ , 1 -2xi-2x代入 y2=2x,可得 y2= 2x2+x.8向量法4 4一例i設(shè)x, ywR,i,j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x, y軸正方向上的單位向量，若向量a = x i ( y 2 ) j = xi (y - 2) j,且

27、 | a | | b |= 8.(i)求點(diǎn)M (x, y)的軌跡C的方程；T T T(2)過點(diǎn)(0,3)作直線l與曲線C交于A, B兩點(diǎn)，設(shè)OP = OA +OB,是否存在這樣的直線l ,使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由.解：(I)由 |3| 力 bg，得 Jx2 +(y+2)2 + Jx2 +(y2)2 =84,設(shè) Fi(0, 2),F2(0,2)則動點(diǎn)M 滿足| M F |+ | M尸=| 8 4 iF尸所以點(diǎn)M 在橢圓上，且橢圓的_22a =4 ,c = 2 b =乳.所3軌跡C的方程為y + x =i.I6 I2y = kx 3(2)設(shè)直線的斜率

28、為k,則直線方程為y=kx+3，聯(lián)立方程組v2 x2消去yy- A = II6 I2得：(4+3k2)x2+i8kx 2i=0 , = (i8k)2+84(4 + 3k2) a0 恒成立，設(shè)i8k2i .，一一A(X, yi), B(x2,y2),則 X +x2 =-2, x-x2 =2.由 AP = OB，所以四邊形4 3k 4 3kOAPB為平行四邊形.若存在直線l ,使四邊形OAPB為矩形，則OA_LOB，即OA OB = xx2 y1y2 = (1 k2)x1x2 3k(x1 x2) 9 = 0 ,解得k = ，所以直線4l的方程為y =，5x+3，此時(shí)四邊形OAPB為矩形.4【例2】設(shè)F (1 , 0) , M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且 MN =2MP , PM PF o(I)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時(shí)，求 N點(diǎn)的軌跡C的方程;(II)設(shè) A(xi,y1), B(x2, y2), D(x3, y3)是曲線C上的三點(diǎn)，且AF、BF、DF成等差數(shù)列,當(dāng) AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E