彈性力學(xué)作業(yè)答案 第二章

1、第二章平面問題的基本理論2-5在下圖的微分體中，若將對(duì)形心的力矩平衡條件Mc=0,改為對(duì)角點(diǎn)的力矩平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程？解：將對(duì)形心的力矩平衡條件Mc=0,改為對(duì)角點(diǎn)的力矩平衡條件MD=0,列出力矩的平衡方程SMD=0：odyx1xdy+Tdxx1xdy+(o+叫dy)dxdx=x2yxydy2守更+計(jì)？+（冬+即x）dyf+,dxdy+(dx)2+dy(dx)2=Txydxdy+(dx)2+(dy)2+dx(dy)2將上式除以dxdy，合并相同的項(xiàng)，得到Tyx+dx=Txy+欽dy省略去微小量不記（即dOydx，dxdy為0），得出2dy2dxT=Tyxxy可以看出此關(guān)系式和對(duì)

2、形心的力矩平衡條件Mc=0解出的結(jié)果一樣。彈性力學(xué)作業(yè)1=%，目U32-6在下圖的微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，試問將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程。解：每個(gè)面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，假設(shè)應(yīng)力分量沿線性分布，如上圖所示，為了fr臨血血柑*臥計(jì)算方便，單元體在Z方向的長(zhǎng)度取一個(gè)單位。各點(diǎn)的正應(yīng)力為：S)A=GxTOC o 1-5 h z/、da(o)=o+xdybxdy/、do(o)D=o+dxDxd/、dodo(o)=o+xdx+xdyxCxdxdy(oy)A=oydo(oy)B=oy+喬dydo(o)=o+ydxyDydxdodo各點(diǎn)的切應(yīng)力為：(Txy)B=Txy+營(yíng)d

3、y，（唧0=%+第血（唧。=%+第血+管収彈性力學(xué)作業(yè)（Tyx）B=Tyx+管dy，（Tyx）D=Tyx+ddxxdx（Tyx）c=Tyx+ddxxdx+ddyxdy由微分單元體的平衡條件Fx=0，F(xiàn)x=0得-1（ax）A+（ax）Bdy+1（ax）D+（ax）cdy-2（Tyx）A+（Tyx）Ddx+2（Tyx）B+（Tyx）cdx+fxdxdy=0，-1(Oy)A+(Oy)Ddy+1(y)B+9y)Cdy-1(Txy)A+(Txy)BdX+2(Txy)D+(Txy)dx+fydxdy=0。將各個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力分量帶入上式，化簡(jiǎn)，并約去dxdy，就得到平面問題中的平衡微分方程dadTx+yx+f=

4、0，dxdyxdadTy+xy+f=0。dydxy2-8試列出圖2-13，圖2-14所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。圖2-13圖2-14對(duì)于圖2-13中，在主要邊界x=0，x=b上，應(yīng)滿足下列的邊界條件:(ax)x=0=-pgy，HIMiy)l=ol=0；(T(ax)x=b=-pgy，川Hiy)I=l=01(T在次要邊界y=0上，能滿足下列邊界條件：0。這兩個(gè)邊界位移條件用在次要邊界y=h2上，有位移邊界條件：uyh20vyh2圣維南原理的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替設(shè)板厚為1個(gè)單位jbaydxpg0yyh2jbaxdx0，0yyh2川yxdxy

5、xyh20。h1+h2b，對(duì)于圖2-15中，在主要邊界y=h/2上，應(yīng)滿足下列邊界條件:ayyh/20,Tyxyh/2-q1;-q,tayy-h/2在次要邊界上x=0,列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：必2axxody-Fn，必2冬x0ydy-M，U-h：2Txyxody-FS。在次要邊界x=l上，有位移邊界條件：u用三個(gè)積分邊界條件來代替。yxy-h/20 xl0，vxl0。這兩個(gè)位移邊界條件可以改2-13檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：圖2-17圖2-16解按應(yīng)力求解時(shí)，在單元體中應(yīng)力分量必須滿足：平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件(本題不計(jì)體力)。(a)圖2-16,o必q,ot0。Xb

6、2yxy相容條件：將應(yīng)力分量代入相容方程得：迄+亞a+a辺工0,dx2dy2xyb2dydx滿足上式。應(yīng)力邊界條件在x=邊界上，Gx=b2q=0。xy在y=b邊界上勺=0,T滿足邊界條件=0。yx(b)圖2-17，由材料力學(xué)公式,CTyy，%=罟(取梁的厚度b=1)，得出所示問題的平衡條件：將應(yīng)力分量代入平衡微分方程dox+dTyx+f=0,dxdyx叫+%+f=0。y解答：叮-叱,又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出肚止(h2-4y2)。4lh3O=3axy-2qx3y-ax。y4lhlh321試試推導(dǎo)上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性。推導(dǎo)公式：在分布力的作用下，梁發(fā)生彎曲變形，其對(duì)z軸的慣性矩為I

7、z=g，應(yīng)用截面法可求出z12任意截面的彎矩方程和剪力方程分別為M(x)=-2X3,Fs(x)=-qx26ls2l所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為Ox=于=_2供T=3Fs(x)(1_4y2)=-3q-x2(h2-4y2)oxy2bhh24lh3根據(jù)平衡微分方程得第二式營(yíng)+第+fy=得到o=3qxy_2qx3y+Aoy4lhlh3根據(jù)邊界條件(Oy)y=h/2=0,得A=-qx,2l所以o=3qxy_2qx3y-qxy4lhlh32l相容條件：住+篇)仇+叮=-24qxy0,lh3不滿足相容方程。平衡條件：將應(yīng)力分量代入平衡條件滿足。應(yīng)力邊界條件：(匚/2=呼，(Tyx)y=-h/2=0

8、;在主要邊界y=h/2上，應(yīng)滿足下列邊界條件:(a)=0,(t)=0。yy=h/2yxy=h/2顯然滿足。在次要邊界上x=0,外力的主矢量、主矩為0,列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：/hh22(ax)x=0dy=0，J-h22(ax)x=oydy=0，/hh22(Txy)x=ody=O。在次要邊界x=l上，有位移邊界條件：(u)x=l=0，(v)x=l=0。這兩個(gè)位移邊界條件可以改用三個(gè)積分邊界條件來代替。/hh；2(ax)x=idy=ihh/2-2qxhydy=0，/hh；2(ax)x=iydy=/hh22-2qxhyydy=-qi2，嚴(yán)/2(Txy)dy=Jh/23q-xL(h24y2)dy=

9、。所以，滿足應(yīng)力邊界條件。上面兩題的應(yīng)力分量雖然滿足應(yīng)力邊界、條件平衡條件，但都不滿足相容方程，所以兩題的解答都不是問題的解。2-18試試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為avf=avOxydy其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量可表示為G=+V,CT=+V,T=理。xdy2y0 x2xydxdy試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。解：(1)將切fy代入平衡微分方得xy_d_dx_ddy(axx(ayyv)+dTyx=0,丿dyv)+%=0。dxa)為了滿足式(a),可以取ax=d20=d20dy2dx2d20 xydxdy2)對(duì)體力、應(yīng)力分量fxxax，ay求偏導(dǎo)數(shù)，得-d2Vdxdx2dfx-d2Vdxdy2d40dx2dx2dy2dx2b)d2a040dy2dy4dy2d2ay=d40+d2Vdx2dx4dx2Vfey=d40d2Vdy2dx2dy2dy2