初中數(shù)學(xué)射影定理與內(nèi)接矩形類相似講義 (一)

1、射影定理和內(nèi)接矩形模塊一（斜）射影定理類相似問題射影定理常見及擴(kuò)展模型：圖1有：圖2有：如圖，直角中，證明：，【解析】由兩組對角分別相等證明三組相似三角形，由三組相似三角形可得到證明【答案】， 同理可得，點評：上述的結(jié)論就叫做射影定理，這個結(jié)論及相關(guān)基本圖形非常重要【鞏固】如圖，在直角梯形中，對角線，垂足為，過的直線交于 ， 【解析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例以及等腰三角形兩底角相等得到證明（2）由射影定理直接可得，又，線段的等量代換可得到【答案】 ，又， ，【鞏固】如圖，矩形中，于，恰是的中點，下列式子成立的是（ ）【解析】本題根據(jù)選項可以確定利用射影定理可以解決【答案】在中，根據(jù)射影定理

2、有又，點為中點 故選如圖，中，于，于，于，交于，、的延長線交于點，求證：【解析】熟悉了掌握了射影定理后，這一題就不難解答了直接證明有些困難，可通過射影定理轉(zhuǎn)化成證明即證明，這個結(jié)論比較明顯，證明即可【答案】，即又在根據(jù)射影定理有：【鞏固】已知：如圖，,求證：【解析】由題目中求角相等，根據(jù)本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容可知，我們可能由已知條件證明相似，進(jìn)而得到相等的角，根據(jù)三點定形法，可初步猜測：由射影定理可知：，又根據(jù)兩角相等兩三角形相似，證明: ，得到相似比例線段：，即，根據(jù)線段的等量代換得到：，可證明：【答案】在中根據(jù)射影定理有：又，即，又【鞏固】如圖，中，點在上，是的中點，于，點是的中點，連接求證：【解

3、析】本題證明的關(guān)鍵是要證明，證明這對相似三角形就需要由已知條件推到出有用的成比例線段，再根據(jù)都是直角三角形，才可得證【答案】連接，（射影定理）【拓展】如上圖，在中，的垂直平分線交于，交的延長線于，求證：平分【解析】解答本題的關(guān)鍵是要利用垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，再根據(jù)線段的等量代換得到，利用公共角相等可證明，由相似得到有用的等角，再根據(jù)為等腰三角形，利用角之間的等量代換可得到證明【答案】連接，垂直平分，又，即平分【拓展】已知，如圖，為等腰三角形，在不添加輔助線的條件下： 當(dāng)與滿足什么關(guān)系時，(括號里填圖中已有線段) 證明你的結(jié)論【答案】 當(dāng)時，(或) ，即，又，同

4、理，即，又，模塊二 內(nèi)接矩形類相似問題內(nèi)接矩形類的模型及結(jié)論：其中，在平時訓(xùn)練中遇到內(nèi)接矩形類的圖形，就要充分利用這一結(jié)論，有助于進(jìn)行解題中，正方形的兩個頂點、在上，另兩個頂點、分別在、上，,邊上的高,求.【解析】根據(jù)內(nèi)接矩形的模型可列比例關(guān)系式，即可解題【答案】設(shè)正方形的邊長為，、的交點為，則有 ，即 解之得， 故本題有有另外一個解題思路：相似三角形的高線比等于相似比如圖，則【鞏固】如圖，已知中，四邊形為正方形，其中在邊上，在上，求正方形的邊長【答案】過作，垂足為，連接設(shè)，則，則有，即，解得，設(shè)正方形的邊長為，則有，即解得所以正方形的邊長為【鞏固】如圖，有一塊三角形土地，它的底邊米，高米，某

5、單位要沿著底邊修一座底面是矩形的大樓。當(dāng)這個大樓地基面積為平方米時，這個矩形的長和寬各是多少？【解析】這是常見的內(nèi)接矩形類相似問題，可利用模型的公式與設(shè)未知量輕松解題【答案】設(shè)大樓地基的長為，則根據(jù)面積，寬為根據(jù)內(nèi)接矩形類相似模型可列：，解得所以，地基的長與寬分別為：【拓展】如圖，已知中，四邊形為正方形，在線段上，在上，如果，求的面積【答案】設(shè)正方形邊長為，則由，得，解得，【拓展】如圖，在中，動點(與點，不重合)在邊上，交于點當(dāng)?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時，求的長當(dāng)?shù)闹荛L與四邊形的周長相等時，求的長試問在上是否存在點，使得為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出的長【答案】 當(dāng)

6、時，則， 當(dāng)與四邊形周長相等時，則： 設(shè)與的相似比為 則， 解得：， 如圖過(或)，分別作垂線，垂足為(或)，當(dāng) (或)時，(或)為等腰直角三角形過作于，交于，則，設(shè)， 由，得 ，即 ， 作的中垂線，交于，當(dāng)時為等腰直角三角形設(shè)，則，即解得，即平行四邊形類如圖，的對角線相交于點，在的延長線上任取一點，連接交于點，若,求的值【解析】延長，交于點【答案】【鞏固】如圖：矩形的面積是36，在邊上分別取點，使得，且與的交點為點，求的面積?！窘馕觥垦娱L交的延長線于點，連接。由知，而，故。 。又因為，所以。從而可知。所以。又，故【答案】【鞏固】如圖，已知在矩形中，為的中點，交于，連接（）.（1）與是否相似，

7、若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由.（2）設(shè)是否存在這樣的值，使得，若存在，證明你的結(jié)論并求出值；若不存在，說明理由.【答案】（1）延長、，交于點.易證，故 又，故， 在中，這個基本圖形中，故 （2）由可知， 又， 故 從而可知，故，故梯形類如圖，在梯形中，,，若，且梯形與梯形的周長相等，求的長【解析】過點做交于點設(shè),則由梯形與梯形周長相等，可得由（1）（2）知【答案】【鞏固】如圖，已知梯形中，,(), 交于點，連接.（1）判斷與，與是否分別一定相似，若相似，請加以證明.（2）如果不一定相似，請指出、滿足什么關(guān)系時，它們就能相似.【答案】延長、交于點 ， ， 在基本圖形中，故 從而可知

8、， 與不一定相似，如果相似，則它們必然全等，分析如下： 若，由，共用可知，兩三角形必然全等； 若，則由可知，故，這是顯然不可能的. 當(dāng)時，由題意可知，故.模塊二 競賽真題設(shè)是內(nèi)任意一點，的重心分別為、，則的值為（ ） 【難度】星【解析】分別延長與的三邊、交于點、由于、分別為的重心，易知分別為的中點所以，易證，且相似比為故【答案】如圖所示，四邊形是梯形，點是上底邊上一點，的延長線與的延長線交于點過點作的平行線交的延長線于點，與交于點證明：【解析】設(shè)與交于點因為，所以，則，即同理，所以，故又，有，則由于，則故【答案】設(shè)是的邊上的一點，作交于點，作交于點，已知的面積分別為、則四邊形的面積為 【解析】

9、設(shè)的面積為由，兩式相加得所以，四邊形的面積為【答案】如圖所示，在中，點是的中點，是的平分線，則的長為 【解析】設(shè)點是的中點，連接，則又，所以，所以因此【答案】如圖，在中，是高，為的角平分線，若，則的長等于 【解析】由勾股定理知所以，故由勾股定理的逆定理知為直角三角形，且作，垂足為設(shè)由，得于是，因為，所以，即因此，【答案】如圖，射線、都垂直于線段，點為上一點，過點作的垂線分別交、于點、，過點作的垂線，垂足為若，則 【解析】設(shè)因為，所以又因為，所以，即解得，或（舍去）又因為，所以，即【答案】設(shè)中，邊上一點滿足，邊上一點滿足，邊上一點滿足，那么的面積：的面積=（ ） 【解析】如圖所示，連接下面心表示

10、其自身的面積由可得；同理可得從而【答案】如圖所示，正方形的面積為，分別在上，并且，則長方形的面積是 【難度】星【解析】設(shè)，則，即【答案】如圖，在中，且，則 【難度】星【解析】設(shè)，則由知，所以由，可得；由此即可推得，即，所以【答案】課堂檢測如圖，在中，平分，的垂直平分線交于，交的延長線于，求證：【答案】連接垂直平分，即，又，平分，又，又，如上圖，在中，的垂直平分線交于，交的延長線于，求證：平分【答案】連接，垂直平分，又，即平分3. 如圖，中，于，于，于，交于，、的延長線交于點，求證：【解析】直接證明有些困難，可通過射影定理轉(zhuǎn)化成證明 即證明，這個結(jié)論比較明顯，證明即可如圖，正方形的頂點在三角形的邊上，當(dāng)邊與高滿足什么條件時，正方形的面積是三角形面積的一半？【解析】根據(jù)內(nèi)接矩形的模型可得到一個比例等式，再根據(jù)已知條件：正方形面積是三角形面積的一半，列出另外一個等式，通過兩個等式得到與的關(guān)系【答案】設(shè)正方形的邊長為根據(jù)內(nèi)接矩形模型可列：，得到：又正方形的面積是三角形面積的一半可列：，可得：兩式子聯(lián)立：，解得：，即 作業(yè)如圖，等腰中，于，延長交于，交于，求證：【答案】連接，由，再證明可