彈性力學綜合題及其解題提示

1、 基本概念什么是體力、面力和應力？其方向是如何規(guī)定的？試畫出正、負y面上正的應力和正的面力，寫出平面問題應力分量滿足的Cauchy公式。oxlfxxyxxomfyxysyX.slo+mxxxymo+lxyyx=f(s)x=f(s)y彈性力學有哪些基本假定(6個)？連續(xù)性假設：物體內(nèi)物理量用連續(xù)函數(shù)表示線彈性假設：物體服從胡克定律彈性常數(shù)不變均勻性假設：物體由同一材料組成材料常數(shù)不變各向同性假設：物體內(nèi)任一點彈性性質(zhì)各向同性彈性常數(shù)不隨方向而變符合以上四個假定的物體稱為理想彈性體小變形假設：微小位移和應變尺寸不變可略去高階小量方程線性化無初始應力假設：物體處于自然狀態(tài)求解應力僅由外力或溫度改變而

2、產(chǎn)生已知物體的邊界形狀、材料性質(zhì)、體力和邊界約束，如何求解應力、形變和位移？彈性力學的兩類平面問題是什么？等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力或約束，同時，體力也平行于板面且不沿厚度變化。這類問題即為平面應力問題。很長的柱形體，其橫截面不沿長度變化，在柱面上受平行于橫截面且不沿長度變化的面力或約束，同時，體力也平行于橫截面且不沿長度變化，這類問題即為平面應變問題。平面應力問題的物理方程為：11s=(o-go),s=(o-go),xExyyyx丫xyE2(1+g)xxy平面應變問題的物理方程為：s=(o)XEx1-gy,syy=沁xxyExy圣維南原理的基本內(nèi)容是什么？寫出

3、與主矢和主矩對應的靜力等效條件。圣維南原理指出：作用在物體表面上一個局部區(qū)域內(nèi)的平衡力系(主矢量為0，對于同一點的主矩也為0)，可以用一個與之靜力等效的任意力系來代替，由他們產(chǎn)生的應力分布在力系作用區(qū)域內(nèi)有顯著不同，在離開力系作用區(qū)域相當遠的范圍內(nèi)，其應力分布幾乎是相同的(可忽略不計)。hhhj2(a)0dy=0i2(t)dy=0I2(a)ydy=-Mxzx=0，-hxY7x=0，-hxx=0丿2TT什么是位移法和應力法？寫出其求解過程。寫出平面應力問題和常體力情況下的平面問題的求解過程。什么是逆解法和半逆解法？比較其求解過程。在單連體中，應力函數(shù)應滿足哪些條件？分別寫出直角坐標和極坐標下的基

4、本方程、邊界條件和Laplace算符。證明函數(shù)=qp2cos御可以作為應力函數(shù)。(解題提示：驗證是否滿足相容方程)V4e=0門21d1d2、月21創(chuàng)1d2、n(+)(+)=0dp2pQpp2如2Qp2pdpp2如2d2dp2=2qcos291譽=2cos29，pdp=-4qcos29(d21d1d2dp2pdpp2092)=2qcos2p+2qcos2p-4qcos29=0故有：V4=0，該函數(shù)可以作為應力函數(shù)。3.檢驗函數(shù)(x,y)=Ay3+Bx2能否作為應力函數(shù)；若能，試求應力分量(不計體力)；指出該應力函數(shù)所能解決如圖所示矩形板的何種受力問題(用邊界面力分布圖表示)。(解題提示：驗證是否

5、滿足相容方程，寫出應力分量，分析邊界條件)解(1)檢驗函數(shù)：相容方程：V4=型+2主L+型=0,dx4dx2dy2dy4CK07彈性力學基礎綜合訓練SWUST_CK07_TXB 空=0,上L=0,竺=0TOC o 1-5 h zdx4dx2dy2dy4可見滿足相容方程，故該函數(shù)可作為應力函數(shù)。(2)應力分量：b=竺=6Ay,ct=竺=2B,t=一空乞=0 xdy2ydx2xydydx3)板邊面力h上下邊界y=,b=2B,t=02yx：y左邊界(b)=6Ay,(t)=0 xX=0 xyx=0右邊界(b)=6Ay,(t)=0 xX=lxyx=04.圖中的梁受到均布荷載的作用，試用下面應力表達式求解

6、其他應力。(lh,6=1)（解題提示：根據(jù)題意，按應力求解，平衡微分方程，相容方程，主要/次要邊界條件）題意要求按照應力解法。在應力解法中，需要驗證應力分量滿足平衡微分方程：TOC o 1-5 h z”dbSr0-d-x+Sfx+f=0dxdyxSbSt HYPERLINK l bookmark41 +y+f=0dydxy相容方程：V2（bx+by）=-（1+卩）在主要邊界上：hy=丿2f+dx=0hy=-2hy=+2f6q巴+cx=0Ih341丿2qh3ch_r，=qby=-q斗一莎8+C12+C2=-q口C2=-2C=一3uC1=-2hby=0，將Cl,C2代入后滿足。CK07彈性力學基礎

7、綜合訓練SWUSTCK07TXB將Cl，C2代入應力表達式得到應力公式:bx=-2qy(x2一2y2)xhGy=q2y3h3丿校核邊界條件：將次要邊界條件代入應力公式-4qy3X=0ixy=0口bx=hTqh2其主矢量為：=0203qlI4y2X=l1xy2hqb=一xh320d=-q，其主矢量為：:唸xylx=，其主矢量為：唸xd=0其主矩為：Jh/2bydy=-f巴-q丿其土矩為：j一h/2x丿丿f220丿5-己知受力物體內(nèi)某一點的應力分量為巴=0,叭=2IP孔，七=1AIP第坯=1AIP顯%=。心=nrPa-試求經(jīng)過此點的平面s+3y+z=l上的正應力和剪應力，且計算此點的主應力及主應力

8、方向。(解題提示：寫出平面法向方向余弦，代入Cauchy公式得出法向應力分量，求解正/剪應力，求解主應力行列式，求解方向余弦的齊次行列式)求平面x+3y+z=l的法線的方向余弦：將各應力分量及方向余弦代入Cauchy公式得：X=lb+mi+ni=1.508MPaNxyxzxY=li+mb+ni=2.111MPaNxyyzyZ=li+mi+nb=0.905MPaNxzyzz(3)求斜面上的正應力及剪應力：bN=XNl+YNmZNn=2637MPaiN=(XN+YN+ZN)bN=0.771MPa(4)計算主應力，將各應力分量代入主應力行列式得：TOC o 1-5 h z-b122-b0=0401-

9、bCK07彈性力學基礎綜合訓練SWUST_CK07_TXBCK07彈性力學基礎綜合訓練SWUSTCK07TXB 展開得(b-3)(b2-3)=0解得b=3MPa,b2=1.732MPa,%=1.732MPa(5)計算主應力方向:bxT將各主應力及各應力分量代入方向余弦的齊次方程組得出：-bTxyTxzyxb-byTyzzxTzyb-bzT=0(l1,m1,n1)=(-0.5774,-0.5774,-0.5774)&(0.5774,0.5774,0.5774)(l2,m2,n2)=(0.211,-0.787,0.576)&(-0.211,0.787,-0.576)(l3,m3,n3)=(0.78

10、9,-0.211,-0.576)&(-0.789,0.211,0.576)可見主應力方向是相互正交的。6.如圖所示的矩形薄板，給出如下的函數(shù)，試分別檢驗它們能否作為應力函數(shù)？若能試寫出應力分量(不計體力)，并利用邊界條件求出面力，并畫在圖中(假定a0,b0)。(1)=a(x3+y2)；(2)=ax4+by3rrrnT；LJs(解題提示：驗證是否滿足相容方程，若滿足即可代入應力函數(shù)表達的應力分量公式)對于(1)=a(X3+y2)代入相容方程得:o40十2o40O40+ox4Ox20y2Oy4=20=2a,bO20oy2yOx2=0,滿足,V40=bx=6ax,txjy可作為應力函數(shù)。三.丄.d4

11、0d40d40對于(2)=ax4+by3，代入相容方程V40=+2+=24a豐0,ox4ox2勿2dy4可見，不滿足相容方程，故不能作為應力函數(shù)。7.彈性地基深度為H的某點處于靜水壓力狀態(tài)，其壓力為qo(1)若在該處開挖一半徑為a的圓形坑道，a9=-今(1音)(1+3音伽2910MPa，q2=ay=-14MPa代入上式得隧道周圍的應力:d2d2d2a=12(1)+2cos29(1)(13) HYPERLINK l bookmark97 PP2P2P2a=12(1+空)2cos29(1+3蘭)9P2P4 HYPERLINK l bookmark61 d2d2t=-2(1-)(1+3-)sin29

12、P9P2P2當p=d,隧道壁應力為：a=0,a=8(3+cos29),t=0P9P9當cos29=-1,即=9Oo（頂?shù)祝?，孔壁最大應力?16MPa,cos2=1,即甲=Oo，9=18Oo（兩側）孑L壁最小應力為一32MPa?？梢娫谒淼纼蓚鹊膲簯χ底畲鬄?2MPa,頂部壓應力為16MPa22.設有任意形狀的薄板，其表面自由并與oxy坐標面平行。若已知各點的位移分量為:u=p1_-x,v=p1_-y，試求板內(nèi)的應變分量和應力分量。EE（解題提示：利用幾何方程、物理方程求解）由幾何方程可求得oxy平面內(nèi)的應變分量為:du8=-xdxdv1-8=pydyE=竺+空=odydx由物理方程可求得應力

13、分量為：a=(8+-8)=p,atxy亠Y=02(1+-)yx1-2xy而z方向的應變?yōu)椋憾?E%+零=Ep23.圖示為一受均布荷載的簡支梁，已知材料力學的解答為o=習(i-x)y，-=0t=3q(h2x)(h-y2),xh3yxyh34試檢驗上式能否作為彈性力學解答（不計體力）？（18分）解：將應力分量代入平衡微分方程：daStx+xy+f=0,&dyx9SaSty+xyL+f=05qy=0dydxydr6qx6qly12qxy盂=ax獸(l-x)y氓-等dtd3q(l-2x)h26q(l-2x)y螢=dyt-y2)=-T字=1(h-y2)=-敦h-y2)dxdxh34h34dox-dxdt

14、+H+fx=0,dodtJL+xL+f主0dydxy所以，材料力學解答不滿足平衡微分方程，故不能作為彈性力學解答。5是邊界面外法線方向與坐標軸正向的夾瀚的余弦。如圖所示楔形體，外形為拋物線了S下端無限伸艮厚度為1，材料的密度為宀試證明他=一眷咕警$6二一學為其自重應力的正確解答，.一警一讐十何一譏滿足）將應力分星代人相容方程曠g+/=黯+器+箸+獸=（X滿足）薯十守十尤一。悩足）紀奪_F=正確的應力解答要同時滿足平竇微分方袒、相容方程及應力邊界條件口將應.力分懾代人平術微分方程（X6F桿耐芳査邊界條件Icrr&Cf,?!=casCAOI衣1=-2intf,tano-=co5acositr,pi

15、nff=0*6ryytana0rrosfl(Tsinrri，-y1anorT匸那=0切線的正切tan/?=y=2j：,而tanj9=tn(9ODa)=cot叫tanar=cctj5學及l(fā).ana=代人、式得;所以將應力分屋Q八30%邊界條件潑足。CK07彈性力學基礎綜合訓練SWUST_CK07_TXB 25懸臂梁竟力如圖所示*其應力分量表達式為:A黒+c且2羽邑一岸試根據(jù)應力邊界條件確定其中帕淸定常數(shù)?！窘狻壳f瘟宜仁於一U“一0,mJ1邊畀條件為：E7j.)y=iji孕即AH=-q(a)J人-】=0，自然滿足a3在余|血Vlauirjsiri(r=二、機=cus、；二“、玄一G.Y0邊界條件為：fq；-加q衣JJ+皿耳二Y即：miner.4srcinr(一r.nnc;-I-恐iniTFc氣ct-L?J+門久起片真=門即：Fine?叫卅一sinAcos-