函數(shù)逼近與曲線擬合課件

1、第三章 函數(shù)逼近與曲線擬合函數(shù)逼近的基本概念正交多項(xiàng)式Lagrange and Chebyshev最佳一致逼近多項(xiàng)式最佳平方逼近多項(xiàng)式曲線擬和的最小二乘法最佳平方三角逼近及有理逼近本章基本內(nèi)容 本章繼續(xù)討論用簡單函數(shù)近似代替較復(fù)雜函數(shù)的問題.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似標(biāo)準(zhǔn)是在插值點(diǎn)處誤差為零. 但在實(shí)際應(yīng)用中,有時不要求具體某些點(diǎn)誤差為零,而要求考慮整體的誤差限制 ,這就引出了擬合和逼近的概念.擬合與逼近 對函數(shù)類A中給定的函數(shù) f(x),記作f(x)A, 要求在另一類簡單的便于計算的函數(shù)類 B 中求函數(shù) p(x)B ,使 p(x)與 f(x)的誤差在 某種意義下最小.函

2、數(shù)類A通常是區(qū)間a, b 上的連續(xù)函數(shù),記作Ca, b,稱為函數(shù)逼近空 間;而函數(shù)B通常為n次多項(xiàng)式,有理函數(shù)或分 段低次多項(xiàng)式等. 什么是函數(shù)逼近數(shù)學(xué)上常把在各種集合中引入某一些不同的確定關(guān)系稱為集合以某種空間結(jié)構(gòu)賦予，并將這樣的集合稱為空間。例1、按向量的加法和數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域 上的線性空間-例2、對次數(shù)不超過 n 的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，按 加法和數(shù)乘構(gòu)成數(shù)域上的多項(xiàng)式線性 空間- 例3、所有定義在 a,b 集合上的連續(xù)函數(shù)全體，按函數(shù)的加法和數(shù)乘構(gòu)成連續(xù)函數(shù)空間-1)線性無關(guān) 設(shè)集合S是數(shù)域P上的線性空間,元素x1,x2,xnS,如果存在不全為零的數(shù)a1,a2,anP,使得 3.1 函數(shù)逼近的基

3、本概念則稱x1,x2,xn線性無關(guān). 2)范數(shù)的定義設(shè)S為線性空間,xS,若存在唯一實(shí)數(shù) 滿足條件：(1)x0;當(dāng)且僅當(dāng)x0時,x0; (正定性)(2)x|x,R; (齊次性)(3)xyxy,x,yS. (三角不等式)則稱 為線性空間S上的范數(shù), S與 一起稱為賦范線性空間,記為X. 在Rn上的向量 x(x1,x2,xn)TRn, 三種常用范數(shù)為稱為： 3)幾種常用范數(shù)類似的對連續(xù)函數(shù)空間Ca, b, 若fCa,b可定義以下三種常用函數(shù)的范數(shù)設(shè)X為一個內(nèi)積空間,對 u,vX有 稱為柯西施瓦次不等式 .柯西施瓦次不等式魏爾斯特拉斯定理 設(shè)f(x)Ca, b,則對任何0,總存在一個代數(shù)多項(xiàng)式p(x

4、),使 在a, b上一致成立 。定理：設(shè)X為一個內(nèi)積空間,u1,u2,unX,矩陣稱為格拉姆矩陣,則G非奇異的充分必要條件是u1,u2,un線性無關(guān) 。 記區(qū)間a,b上所有連續(xù)函數(shù)的全體為Ca,b,可以證明Ca,b是一個線性空間,把所有次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式全體記為Pn,則 Pn是Ca,b的子空間.若(x),g(x)Ca,b, 則稱 為(x)與g(x)的內(nèi)積,記為(,g), 函數(shù)的內(nèi)積滿足(1)(,g)=(g,);若(,g)=0,稱(x)與g(x)正交 ,記為g .(2)(c,g)=c(,g);(3)(1+2,g)=(1,g)+(2,g);利用內(nèi)積可以定義函數(shù)的平方模(1) 20,而且2=0(x

5、)=0;(2) c2=|c|2;(3) +g22+g2(4) (,g)2 g2函數(shù)的平方模滿足 考慮到(x)在區(qū)間a,b上各點(diǎn)的函數(shù)值比重不同, 常引進(jìn)加權(quán)形式的定義 這里函數(shù)(x)是非負(fù)連續(xù)函數(shù),稱為a,b上的權(quán)函數(shù).它的物理意義可以解釋為密度函數(shù). 權(quán)函數(shù)3.2 什么是正交多項(xiàng)式1) 正交的定義若f(x),g(x)Ca,b,(x)為a,b上的權(quán)函數(shù)且滿足則稱f(x)與g(x)在a,b上帶權(quán)正交.若函數(shù)族滿足關(guān)系 則稱是a, b上帶權(quán) (x)正交函數(shù)族 ；若則稱之為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族。 設(shè) 是a, b上首相系數(shù)an0為零的n次多 項(xiàng)式, (x)為a,b上的權(quán)函數(shù),如果多項(xiàng)式序列 滿足關(guān)系式(2)

6、,則稱多項(xiàng)式序 為在a,b上帶權(quán)(x)正交,稱 為a, b上帶 權(quán)的 n 次正交多項(xiàng)式. 例如、 三角函數(shù)系：1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，是 區(qū)間-，上的正交函數(shù)系，因?yàn)閷?shí)際上，這就是付里葉(Fourier)逼近的基函數(shù).2)如何構(gòu)造正交多項(xiàng)式 只要給定區(qū)間a, b及權(quán)函數(shù),均可由一組線性無關(guān)的冪函數(shù)1,x, xn,利用逐個正交化手續(xù)構(gòu)造出正交多項(xiàng)式序列 如此得到的正交多項(xiàng)式有如下性質(zhì)：(1) 是具有最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次(2)任何n次多項(xiàng)式Pn(x)Hn均可表示為 的線性組合.(3)當(dāng)kj時, 與任一次數(shù)小于k的多項(xiàng)式正交. (4)成立遞推關(guān)系 (5)設(shè) 是在a, b上帶

7、權(quán)(x)的正交多項(xiàng)式序列, 則 (n1)的n個根都是在區(qū)間(a, b)內(nèi)的單重實(shí)根.例題：利用 Gram-schmidt 方法構(gòu)造 0,1 上帶權(quán) 的前3個正交多項(xiàng)式 解：利用正交化公式來求 于是于是3）幾種常用的正交多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式當(dāng)區(qū)間-1,1,權(quán)函數(shù)(x) 1時,由1,x,xn,正交化得到的多項(xiàng)式就稱為勒讓德多項(xiàng)式,并用P0(x),P1(x),Pn(x),表示. 其簡單的表達(dá)式為最高項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式為 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) (2)奇偶性(3)遞推關(guān)系(1)正交性且有以下常用公式(4)在區(qū)間-1,1內(nèi)有n個不同的實(shí)零點(diǎn)。時,由序列1,x,xn,正交化得到的多項(xiàng)式就是切比雪夫多項(xiàng)式,

8、它可表示為 Tn(x)=cos(narccosx), | x |1若令xcos，則Tn(x)=cosn， 0.切比雪夫多項(xiàng)式區(qū)間為-1,1當(dāng)權(quán)函數(shù)(1)遞推關(guān)系切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)(2)切比雪夫多項(xiàng)式Tk(x)在區(qū)間-1,1上帶權(quán) 正交且(3) T2k(x)只含x的偶次冪,T2k+1(x)只含x的奇次冪. (4) Tn(x)在區(qū)間-1,1上有n個零點(diǎn) 若將xn用T0(x),T1(x), ,Tn(x)的線性組合表示,則其公式為3.3 最佳一致逼近多項(xiàng)式最佳一致逼近多項(xiàng)式 是討論 fCa, b,在Hn=span1,x,xn中求多項(xiàng)式 , 使其誤差 這就是通常所指的最佳一致逼近或切比雪夫逼近問題.為

9、f(x)與Pn (x)在a, b上的偏差 . 顯然 , 的全體組成一個集合,記為 ,它有下界0. 偏差為了說明這一概念,先給出以下定義.設(shè)Pn(x)Hn,f(x)Ca, b,稱若記集合的下確界為 則稱之為f(x)在a, b上的最小偏差 .最佳逼近多項(xiàng)式假定f(x)Ca, b,若存在Pn*(x)Hn使 (f, Pn*(x)En,則稱Pn*(x)是f(x)在a, b上的最佳一致逼近多項(xiàng)式或最小偏差逼近多項(xiàng)式。 注意,定義并未說明最佳逼近多項(xiàng)式是否存在,但可以證明下面的存在定理.定理 ： 若f(x)Ca, b,則總存在Pn*(x)使其中偏差點(diǎn)定義 設(shè)f(x)Ca, b，P(x)Hn，若在xx0有就稱

10、x0是P(x)對f(x)的偏差點(diǎn).若 稱x0為“正”偏差點(diǎn) 若 稱x0為“負(fù)”偏差點(diǎn).為了研究最佳逼近多項(xiàng)式的特性，先引進(jìn)偏差點(diǎn)的定義. 由于函數(shù)P(x)f(x)在a, b上連續(xù),因此,至少存在一個點(diǎn)x0a, b使 也就是說P(x)的偏差點(diǎn)總是存在的。下面給出反映最佳逼近多項(xiàng)式特征的切比雪夫定理.切比雪夫定理 Pn(x)Hn是f(x)Ca, b的最佳逼近多項(xiàng)式的充分必要條件是P(x)在a, b上至少有n+2個輪流為“正”，“負(fù)”的偏差點(diǎn)，即有n+2個點(diǎn)ax1x2.xn+2b，使 這樣的點(diǎn)組稱為切比雪夫交錯點(diǎn)組 . 切比雪夫定理說明用P(x)逼近f(x)的誤差曲線yP(x)f(x)是均勻分布的由

11、這個定理還可得以下重要推論. 推論 若f(x)Ca, b，則在Hn中存在唯一的最佳逼近多項(xiàng)式 利用切比雪夫定理可直接得到切比雪夫多項(xiàng)式Tn(x)的一個重要性質(zhì)，即定理在區(qū)間-1,1上所有最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中,即可以理解為與零的偏差等于最小當(dāng)且僅當(dāng)與零的偏差最小，其偏差為最佳一次逼近多項(xiàng)式 切比雪夫定理 給出了最佳逼近多項(xiàng)式P(x)的特性,但要求出P(x)卻相當(dāng)困難. 下面討論n=1的情形. 假定f(x)C2a, b. 且f(x)在(a,b)內(nèi)不變號，我們要求最佳一次逼近多項(xiàng)式 P1(x)=a0 + a1x至少有3個點(diǎn)ax1x2x3b，使 由于 在a, b上不變號,故 單調(diào),在(a,

12、b)內(nèi)只有一個零點(diǎn),記為x2,于是于是即另外兩個偏差點(diǎn)必定是區(qū)間的端點(diǎn)由此得到代入到(2)得這就得到最佳一次逼近多項(xiàng)式P1(x)，其方程為有（1）式得有（1）式得例1、設(shè) 不超過2的多項(xiàng)式 使它為 的最佳一致逼近多項(xiàng)式。試在 -1，1 上尋找一個次數(shù)在 -1，1 上 應(yīng)滿足 由最小偏差定理解：所求 的首項(xiàng)系數(shù)為 4 從而例2、設(shè) m , M 是 在 上的 min , max 值 ， 則 的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式為 ，證明：的連續(xù)性知 使得 令 則 。由 ， 即 故 是 與 的偏差點(diǎn)，從而由 chebyshev 定理知 即當(dāng) 時逼近多項(xiàng)式為 的零次最佳一致例3、求 在 0，1 上求三次最佳逼近多

13、項(xiàng)式。 則當(dāng) 在 0,1 變化時 此時 設(shè) 為 解：令在 0,1 上的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式由于 9. 設(shè) 的首相系數(shù)為 故有 即 3.4 最佳平方逼近 最佳平方逼近及其算法 考慮在區(qū)間a,b上一般的最佳平方逼近問題時對f(x)Ca,b及Ca,b中的一個子集 若存在 使下式成立 則稱 是f(x)在子集 中的最佳平方逼近函數(shù). 為了求 , 由(1)可知該問題等價于求多元函數(shù) 的最小值.由于 是關(guān)于 的二次函數(shù), 利用多元函數(shù)求極值的必要條件即于是有是關(guān)于 的線性方程組,稱為法方程,由于線性無關(guān)，故系數(shù)矩陣的行列式非奇異，即于是方程組(1)有唯一解從而有以下證明必定滿足最佳平方逼近的定義即但我們只

14、需證明作即上式第二項(xiàng)積分為零。于是可得即得必定是所求函數(shù)的最佳平方多項(xiàng)式。則要在Hn中求n次最佳平方逼近多項(xiàng)式此時若取若用H表示對應(yīng)的矩陣,即即 若用1,x,xn做基求最佳平方多項(xiàng)式, 計算簡單，但當(dāng)n較大時, 系數(shù)矩陣H是病態(tài)的,因此直接求解法方程是相當(dāng)困難的,故通常是采用正交多項(xiàng)式做基底構(gòu)造最佳平方多項(xiàng)式。則稱H為希爾伯特(Hilbert)矩陣,若記向量則用正交函數(shù)族作最佳平方逼近 設(shè)故法方程組為非奇異對角陣,且法方程的解為于是f(x)Ca,b在中的最佳平方逼近函數(shù)為 可得均方誤差為 由此可得貝塞爾(Bessel)不等式若f(x)Ca,b,按正交函數(shù)族展開，而系數(shù)按下式計算得級數(shù)稱為f(x

15、)的廣義傅立葉(Foureir)級數(shù),系數(shù)稱為廣義傅立葉系數(shù).是正交多項(xiàng)式,設(shè)可由正交化得到。則有下面的收斂定理；設(shè)f(x)Ca,b,S*(x)是由(3)給出的f(x)的最佳平方逼近多項(xiàng)式，其中是正交多項(xiàng)式族,則有下面考慮函數(shù)f(x)C-1,1,按勒讓得多項(xiàng)式P0(x),P1(x),Pn(x)展開,由(2),(3)可得其中根據(jù)(4),平方誤差為此時由定理結(jié)論可得：對首項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式有以下性質(zhì)定理：在所有最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中,勒讓德多項(xiàng)式在-1,1上與零的平方誤差最小。即可以理解為與零的平方誤差最小。最小等價于1. 問題的提出及最小二乘原理問題的提出：在函數(shù)的最佳平方逼近中，

16、要求函數(shù)是連續(xù)的，而實(shí)際問題中常常見到函數(shù)只是在一組離散點(diǎn)上給定，即科學(xué)實(shí)驗(yàn)中常見到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬和，例如天氣預(yù)報系統(tǒng)即為此例。求擬和曲線時首先要確定所找的擬和曲線的形式，這不是單純的數(shù)學(xué)問題，還與所研究問題的運(yùn)動規(guī)律及所得觀測的數(shù)據(jù)有關(guān)；通常要從問題的運(yùn)動規(guī)律及給定數(shù)據(jù)描圖，確定函數(shù)的形式，并通過實(shí)際計算得到較好的結(jié)果，這類方法就稱為曲線擬和的最小二乘法。用4次多項(xiàng)式擬和以下數(shù)據(jù) x0=0:0.1:1; y0=-.447,1.978,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35, 9.22; n=4; p=polyfit(x0,y0,n) xx=0:0.

17、01:1; yy=polyval(p,xx); plot(xx,yy,-b,x0,y0,.r, MarkerSize,20) xlabel(x) ylabel(y) 利用Matlab中的庫函數(shù)進(jìn)行擬和的數(shù)值例子：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合方法與數(shù)據(jù)插值方法不同，它所處理的數(shù)據(jù)量大而且不能保證每一個數(shù)據(jù)沒有誤差所以要求一個函數(shù)嚴(yán)格通過每一個數(shù)據(jù)點(diǎn)是不合理的。數(shù)據(jù)擬合方法求擬合函數(shù)，插值方法求插值函數(shù)。這兩類函數(shù)。 對擬合函數(shù)不要求它通過所給的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而插值函數(shù)則必須通過每一個數(shù)據(jù)點(diǎn).最大的不同之處是例如，在某化學(xué)反應(yīng)中，測得生成物的質(zhì)量濃度 y (10 3 g/cm3)與時間t （min）的關(guān)系如表所示t12

18、346810121416y4.006.418.018.799.539.8610.3310.4210.5310.61顯然，連續(xù)函數(shù)關(guān)系y(t)是客觀存在的。但是通過表中的數(shù)據(jù)不可能確切地得到這種關(guān)系。何況，由于儀器測量中所帶的誤差的影響，測量數(shù)據(jù)難免有誤差。因此只能尋求一個近擬表達(dá)式尋求合理的近擬表達(dá)式，以反映數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，這種方法就是數(shù)據(jù)擬合方法。數(shù)據(jù)擬合需要解決兩個問題：第一，選擇什么類型的函數(shù)作為擬合函數(shù)（數(shù)學(xué)模型）；第二，對于選定的擬合函數(shù)，如何確定擬合函數(shù)中的參數(shù)。 tx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10yy1y2y3y4y5y6y7y8y9y10數(shù)學(xué)模型應(yīng)建立在合理假設(shè)的基礎(chǔ)

19、上，假設(shè)的合理性首先體現(xiàn)在選擇某種類型的擬合函數(shù)使之符合數(shù)據(jù)變化的趨勢（總體的變化規(guī)律）。擬合函數(shù)的選擇比較靈活，可以選擇線性函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)或其它函數(shù)，這應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)分布的趨勢作出選擇。為了問題敘述的方便，將例1的數(shù)據(jù)表寫成一般的形式假設(shè)擬合函數(shù)是線性函數(shù)，即擬合函數(shù)的圖形是一條平面上的直線。而表中的數(shù)據(jù)點(diǎn)未能精確地落在一條直線上的原因是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差。則下一步是確定函數(shù)y= a + b x中系數(shù)a和b各等于多少？從幾何背景來考慮，就是要以a和b作為待定系數(shù)，確定一條平面直線使得表中數(shù)據(jù)所對應(yīng)的10個點(diǎn)盡可能地靠近這條直線。一般來講，數(shù)據(jù)點(diǎn)將不會全部落在這條直線上，如果第k

20、個點(diǎn)的數(shù)據(jù)恰好落在這條直線上，則這個點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程，即a + b xk = y k如果這個點(diǎn)不在直線上，則它的坐標(biāo)不滿足直線方程，有一個絕對值為， 線性擬合（線性模型）的差異（殘差）。這是關(guān)于a和b的一個二元函數(shù)，合理的做法是選取a和b ，使得這個函數(shù)取極小值。但是在實(shí)際求解問題時為了操作上的方便，常常是求a和b使得函數(shù)達(dá)到極小。為了求該函數(shù)的極小值點(diǎn)，令，得， 于是全部點(diǎn)處的總誤差是這是關(guān)于未知數(shù)a和b的線性方程組。它們被稱為法方程，又可以寫成求解這個二元線性方程組便得待定系數(shù)a和b，從而得線性擬合函數(shù)y = a + b x。下圖中直線是數(shù)據(jù)的線性擬合的結(jié)果。假設(shè)擬合函數(shù)不是線性函數(shù)

21、，而是一個二次多項(xiàng)式函數(shù)即擬合函數(shù)的圖形是一條平面上的拋物線，而表中的數(shù)據(jù)點(diǎn)未能精確地落在這條拋物線上的原因是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差。則下一步是確定函數(shù)二次函數(shù)擬合（二次多項(xiàng)式模型）中系數(shù)a0、a1和a2各等于多少？從幾何背景來考慮就是要以a0、a1和a2為待定系數(shù)，確定二次曲線使得表中數(shù)據(jù)所對應(yīng)的10個點(diǎn)盡可能地靠近這條曲線。一般來講，數(shù)據(jù)點(diǎn)將不會全部落在這條曲線上，如果第k個點(diǎn)的數(shù)據(jù)恰好落在曲線上，則這個點(diǎn)的坐標(biāo)滿足二次曲線的方程，如果這個點(diǎn)不在曲線上，則它的坐標(biāo)不滿足曲線方程，有一個誤差（殘差）。于是全部點(diǎn)處的總誤差用殘差平方和表示這是關(guān)于a0、a1和a2的一個三元函數(shù)，合理的做法是選取a0、a

22、1和a2 ，使得這個函數(shù)取極小值。為了求該函數(shù)的極小值點(diǎn)，令求解這一方程組可得二次擬合函數(shù)中的三個待定系數(shù)。下圖反映了例題所給數(shù)據(jù)的二次曲線擬合的結(jié)果 。3.5 曲線擬合的最小二乘法 如果f(x)只在一組離散點(diǎn)集xi,i=0,1,m上給定這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常見到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi),i=0,1,m的曲線擬合,這里yi=f(xi), i=0,1,m,要求一個函數(shù)y=S*(x)與所給數(shù)據(jù)(xi,yi),i=0,1, ,m擬合, 若記誤差i = S*(x)-yi, i=0,1,m,= (0,1, ,m)T, 設(shè)是Ca,b上線性無關(guān)函數(shù)族,在 這就是一般的最小二乘逼近,用幾何語言說,就稱為曲線擬合

23、的最小二乘法. 中找一函數(shù)這里使誤差平方和用最小二乘法求擬合曲線的問題,就是在形如(2)的S(x)中求一函數(shù)使加權(quán)平方和取得最小。它轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的極小點(diǎn)由求多元函數(shù)極值的必要條件,有 問題 .若記上式可改為這方程稱為法方程,可寫成矩陣形式要使法方程(3)有唯一解就要求矩陣G非奇異,其中 必須指出,在a,b上線性無關(guān)不能推出矩陣G非奇異。 為保證(3)的系數(shù)矩陣非奇異,必須加上另外的條件: 哈爾(Haar)條件設(shè)的任意線性組合在點(diǎn)集上至多只有n個不同的零點(diǎn), 則稱上滿足哈爾(Haar)條件 。在點(diǎn)集顯然在任意m(mn)個點(diǎn)上滿足哈爾條件。所以一般為則一定可以保證系數(shù)矩陣非奇異，于是方程（3）

24、必存在唯一解從而得到函數(shù)的最小二乘解為：且成立下式即必為所求的最小二乘解。解：作散點(diǎn)圖如下：從右圖可以看出這些點(diǎn)接近一條拋物線，因此設(shè)所求公式為x012345y531123例4: 已知一組觀測數(shù)據(jù)如表所示，試用最小二乘法求一個多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)。由最小二乘法得如下式子：整理并代入表中的數(shù)據(jù)得：代入數(shù)據(jù)解之可得：故所求多項(xiàng)式為：例：由書中的數(shù)據(jù)表可以確定擬合曲線方程為它不是線性函數(shù)，可通過在上式兩端取對數(shù)的方法將其化為線性表達(dá)式：也即故數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為有最小二乘法取故得法方程組如下:用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合用最小二乘法得到的方程組其系數(shù)矩陣G是病態(tài)的,但如果是關(guān)于點(diǎn)集xi帶權(quán)(xi)(i=0,1,m)正交函數(shù)族,即則方程(1)的解為現(xiàn)在我們根據(jù)給定節(jié)點(diǎn)x0,x1,xm及權(quán)函數(shù)(x)0,造出帶權(quán)(x)正交的多項(xiàng)式Pn(x).注意nm,用遞推公式表示Pk(x),即 且平方誤差為這里是首項(xiàng)系數(shù)為1 的k次多項(xiàng)式，且由其正交性得：下面用歸納法證明這樣給出的Pk(x)是正交的。由(3)第二式及(4)中的第一個表達(dá)式,有 下式成立?，F(xiàn)假定均成立，要證(Pk+1,Ps)=0 對s=0,1,k均成立。由(3)有由歸納法假定,當(dāng)時(Pk,Ps)=0，(Pk-1,Ps)=0另外,xPs(x)是首項(xiàng)系數(shù)為1的s+1次多項(xiàng)式,它