2020屆高三數學上學期月考試題

1、學 2020 屆高三數學上學期月考試題一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）若集合，則A.B.C. 2 ， D.在公差d 不為零的等差數列中，且，成等比數列，則A. 1 B. 2 C. 3 D. 4已知，則A. B. C. D.若直線過點，則的最小值等于A. 9 B. 8 C. D.已知 a ， b ， c ，則下列命題中必然成立的是A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則已知點 P 為雙曲線 C ：上的動點，點，點若，則A. 27 B. 3 C. 3 或 27 D. 9 或 21已知菱形 ABCD 的邊長為 2 ，點 E 是 BD 上靠近 D 的四等分點，則A. B. C

2、. 6 D.已知函數，若，則實數m 的取值范圍是A.B.C.D.已知三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為A. B. C. D.已知拋物線的焦點為F ，準線為l ， P 是 l 上一點， Q 是直線PF 與拋物線 C 的一個交點，若，則A. 3 或 4 B. 或 8 C. 8 或 2 D. 8定義在 R 上的運算：，若不等式對恒成立，則實數a 的取值范圍是 TOC o 1-5 h z A.B.C.D.已知函數，若存在實數，滿足，其中，則的取值范圍是A.B.C.D.二、填空題（本大題共4 小題，共 20.0 分）已知的內角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c ，且，則的面積為 已

3、知圓C ：和點，P 是圓上一點，線段BP 的垂直平分線交 CP于 M 點，則 M 點的軌跡方程是已知，將a ， b ， c 按從小到大的順序排列 已知雙曲線C ：的右焦點為F ， A ， B 是雙曲線的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，且線段AF 的中點 M 落在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為.三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）若數列的前n項和為，且，.求數列的通項公式；設，求數列的前n項和.在中，內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,已知.求角B的大小；若，求的周長的取值范圍.如圖，在直角梯形ABCD中，過A點作，垂足為E,現(xiàn) 將沿AE折疊，使得，如圖.求證：平面平面D

4、AE;求二面角的大小.已知拋物線C ：上一點到其焦點 F 的距離為 5 求 p 與 m 的值；設動直線與拋物線C 相交于 A ， B 兩點，問：在x 軸上是否存在與 k 的取值無關的定點 M ，使得？若存在，求出點 M 的坐標；若不存在，說明理由已知橢圓 C ：的左，右焦點分別為，且經過點求橢圓 C 的標準方程；若斜率為 2 的直線與橢圓 C 交于 A ， B 兩點，求面積的最大值為坐標原點已知函數，若，函數在點處切線方程為，求實數a 的值；證明時，數學試卷答案和解析. 【答案】 C【解析】解：， 1 ， 2 ，故選： C 可以求出集合A ， B ，然后進行交集的運算即可本題考查了描述法、列舉

5、法的定義，指數函數的單調性，一元二次不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎題. 【答案】 D【解析】解：由題意，成等比數列，即，整理，得，解得故選： D 本題先根據等差數列的概念寫出，然后根據等比中項的性質有，代入即可解出 d 的值本題主要考查等差數列的基本知識和等比中項的性質，考查了邏輯思維能力和數學運算能力本題屬中檔題. 【答案】 B【解析】解：設，則，且，則，故選： B 利用換元法，結合三角函數的誘導公式進行化簡即可本題主要考查三角函數值的計算，利用換元法，結合三角函數的誘導公式是解決本題的關鍵比較基礎. 【答案】 A【解析】解：直線過點，則，當且僅當時取等號，故選： A 利用 1 的巧

6、妙代換，利用基本不等式求出即可考查基本不等式的應用， 1 的巧妙代換，中檔題. 【答案】 C【解析】解：對于選項A ：當時，不等式不成立，故錯誤對于選項 B ：由于，但是不確定a ， b ， c ， d 的符號，故錯誤對于選項C ：成立，故正確對于選項D ，若，則，故錯誤故選： C 直接利用不等式的應用和性質的應用求出結果本題考查的知識要點：不等式的性質的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型. 【答案】 A【解析】解：雙曲線C ：，點，點可知 AB 是雙曲線的焦點坐標，點 P 為雙曲線 C ：上的動點，點，點若，所以 P 在雙曲線的左支，則故選：A.判斷AB是雙曲線的

7、焦點坐標，利用雙曲線的定義轉化求解即 可.本題考查雙曲線的簡單性質的應用，判斷 P的位置是解題的關 鍵，是易錯題.【答案】C【解析】解：如圖, 點E是BD上靠近D的四等分點，菱形 ABCD的邊長為2,故選：C.可畫出圖形，根據點E是BD上靠近D的四等分點可得出，從 而根據向量加法、減法的幾何意義及向量的數乘運算可得出， 然后進行數量積的運算即可.本題考查了向量加法、減法和數乘的幾何意義，向量的數乘和 數量積的運算，考查了計算能力，屬于基礎題.【答案】D【解析】解：根據題意，函數，其定義域為 R, 且有，即函數為奇函數，又由，易得在R上為增函數，即，解可得：，即實數m的取值范圍是；故選：D.根據

8、題意，分析可得函數為奇函數且在 R上為增函數，進而可 得，變形可得，解可得 m的取值范圍，即可得答案.本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，涉及不等式的解 法，屬于基礎題.【答案】B【解析】解：三棱錐中， 所以：，故：，且，則平面ABD ,由于，利用勾股定理，解得.由于，所以，整理得，設球心為O,球的半徑為R,所以, 所以.如圖所示：故選：B.首先利用線面的垂直的應用求出球心的位置，進一步利用勾股 關系式求出球的半徑，最后求出球的表面積.本題考查的知識要點：線面垂直的判定和性質的應用，球心的 確定和求的半徑的求法，主要考查學生的運算能力和轉換能力 及思維能力，屬于基礎題型.【答案】D【解析】

9、解：焦點，準線方程，所以焦點到準線的距離為：2,由題意過Q做于M,因 廠1UU為，由拋物線的性質知，J所以，設直線PQ的傾斜角為，則，所以由 三角形相似可得：，所以，故選：D.由拋物線的性質得拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距 離，再由相似三角形可得對應比成比例可得結果.考查拋物線的性質，屬于中檔題.【答案】A【解析】解：由題意得，不等式對恒成立，即不等式對恒成立，即，；而在上單調遞減，故，都有；,解得或；故選：A.根據定義，不等式等價于對恒成立，即，解出 a的范圍即可.本題考查了函數的恒成立問題，注意轉化為最值問題解決；同 時還考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.【答案】D【解析】解

10、：由題意，當時，.則函數大致圖象如下：根據二次函數的對稱性，可知，即.根據題意及圖，可知，解得故選：D.本題的解題關鍵是畫出函數大致圖象，然后根據二次函數的對 稱性可得的值，再依據圖象可計算出的取值范圍，即可得到的 取值范圍.本題主要考查函數與方程的綜合，考查了數形結合法的應用以 及指數不等式的計算，本題屬中檔題.【答案】【解析】解：因為的內角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c ，且，整理可得可得：，故由余弦定理可得，由于，故 C由于，可得，則為等腰三角形，所以故答案為：首先利用余弦定理求出 cosC 的值，進而可求 C 的值，進一步判定三角形為等腰三角形，進一步即可利用面

11、積公式求出結果本題考查的知識要點：正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型. 【答案】【解析】解：由圓的方程可知，圓心，半徑等于 6 ，設點 M 的坐標為，的垂直平分線交 CQ 于點 M ，又，依據雙曲線的定義可得，點 M 的軌跡是以 B、 C 為焦點的雙曲線，且，故雙曲線方程為故答案為：.根據線段中垂線的性質可得，又半徑 6,故有，根據雙曲線 的定義判斷軌跡雙曲線，求出a、b值，即得雙曲線的標準方 程.本題考查雙曲線的定義、雙曲線的標準方程，得出，是解題的 關鍵和難點.【答案】【解析】解：， 故答案為：.根據指數函數和募函數的單調性即

12、可得出，根據對數函數的單 調性即可得出，從而可得出a, b, c的大小關系.本題考查了指數函數、對數函數和募函數的單調性，指數函數 的值域，考查了推理能力，屬于基礎題.【答案】2【解析】解：如圖，由題知，則，點M是線段AF的中點，則,故，則，所以.故答案為：2.由題意可得，運用三角形的中位線定理可得，由對稱性可得, 可得漸近線的斜率，進而得到所求離心率.本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程和離心率,考查三角形的中位線定理和化簡運算能力，屬于基礎題. 【答案】解：數列的前 n 項和為，且，當時，解得，當時，得，即常數，故數列是以 1 為首項， 2 為公比的等比數列，所以由于，所以，所以，

13、得，整理得【解析】數列的前n 項和為，且，當時，推出數列是以 1 為首項， 2 為公比的等比數列，然后求解通項公式化簡，利用錯位相減法，轉化求解數列的和即可本題考查數列的遞推關系式的應用，數列求和的方法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題. 【答案】解：中，內角 A， B ， C 所對的邊分別為 a ， b ，c,已知.所以，故，由于解得由余弦定理，得，即，由，得，解得：，當且僅當時取等號；又得；所以，所以周長的取值范圍為.【解析】由已知利用三角函數恒等變換的應用可得，結合范圍 可求B的值.由余弦定理，基本不等式可求，又利用三角形兩邊之和大于第 三邊可得，即可得解周長的取值范圍.本題主要考查了

14、三角函數恒等變換的應用，余弦定理，基本不 等式，三角形兩邊之和大于第三邊等知識在解三角形中的應 用，考查了轉化思想，屬于基礎題.19.【答案】解：證明：，*又，平面DAE ,平面DAB ,平面平面DAE.以E為原點，EA為x軸，EC為y軸，ED為z軸，建立空間 直角坐標系，設，則 0 ，0 ，0 ，2 ，設平面 DAB 的法向量，則，取，得，平面 ABE 的法向量，設二面角的大小為，則， 二面角的大小為【解析】關鍵是證明，進而可得平面 DAE ，再由面面垂直的判定得出結論；建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量公式求解即可本題考查面面垂直的判定及利用空間向量求二面角，考查邏輯推理能

15、力及運算求解能力，屬于中檔題【答案】解：根據拋物線定義，點到焦點的距離等于它到準線的距離，即，解得，拋物線方程為，點在拋物線上，得，拋物線方程為：，當，直線只與拋物線有一個交點，顯然不成立，當 k 不存在時，與x 軸垂直，與拋物線有兩個交點，顯然成立；當時，令，設存在點滿足條件，即：，即，整理得：，整理得，解的，因此存在點滿足題意【解析】由拋物線性質可知：，解得p 值，求出拋物線方程，然后求解m 即可分類討論k 的取值，當時，令，設存在點滿足條件，由已知得，整理得；把直線方程代入拋物線方程化簡，把根與系數的關系代入解得 a 的值本題主要考查直線的斜率公式，拋物線的定義、標準方程以及簡單性質的應

16、用，屬于中檔題【答案】解：由橢圓的定義，可知解得又所以橢圓 C 的標準方程為設直線 l 的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得，得設，點到直線 l ：的距離，當即，時取等；所以面積的最大值為【解析】由焦點坐標及過的點和 a ， b ， c 之間的關系求出橢圓 方程；設直線AB 的方程與橢圓聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，進而弦長AB ，再求原點到直線的距離，求出面積的表達式，由均值不等式求出面積的最大值考查直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題【答案】解：由題意得，所以，則由，解得；證明：時，下證：令；可得：當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以，所以；即 而， 所以，得證【解析】表示出，求導，利用導數的幾何意義容

17、易得解； 即證，構造函數，易得證本題考查導數的幾何意義及利用證明不等式，考查推理論證能力，屬于基礎題學 2020 屆高三數學上學期月考試題一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）若集合，則A.B.C. 2 ， D.在公差d 不為零的等差數列中，且，成等比數列，則A. 1 B. 2 C. 3 D. 4已知，則A. B. C. D.若直線過點，則的最小值等于A. 9 B. 8 C. D.已知a, b, c,則下列命題中必然成立的是A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則已知點 P 為雙曲線 C ：上的動點，點，點若，則A. 27 B. 3 C. 3 或 27 D. 9 或 21已

18、知菱形 ABCD 的邊長為 2 ，點 E 是 BD 上靠近 D 的四等分點，則A. B. C. 6 D.已知函數，若，則實數m 的取值范圍是A.B.C.D.已知三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為A.B.C.D.已知拋物線的焦點為F,準線為l, P是l上一點，Q是直線PF與拋物線C的一個交點，若, 則A. 3 或 4 B. 或 8 C. 8 或 2 D. 8定義在 R 上的運算：，若不等式對恒成立，則實數a 的取值范圍是B.A. TOC o 1-5 h z C.D.已知函數，若存在實數，滿足，其中，則的取值范圍是A.B.C.D.二、填空題（本大題共4 小題，共 20.0 分）已知的內角A, B

19、, C的對邊分別為a, b, c,且，則的面積為.已知圓 C ：和點， P 是圓上一點，線段BP 的垂直平分線交CP 于 M 點，則 M 點的軌跡方程是已知，將a, b, c按從小到大的順序排列 .已知雙曲線C ：的右焦點為F ， A ， B 是雙曲線的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，且線段AF 的中點 M 落在另一條漸近線上，則雙曲線C 的離心率為 三、解答題（本大題共6 小題，共 70.0 分）若數列的前n 項和為，且，求數列的通項公式；設，求數列的前n 項和在中，內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,已知.求角 B 的大?。蝗?，求的周長的取值范圍如圖，在直角梯形ABCD 中，過

20、A 點作，垂足為E ，現(xiàn)將沿AE 折疊，使得，如圖求證：平面平面DAE ；求二面角的大小已知拋物線C:上一點到其焦點F的距離為5.求p與m的值；設動直線與拋物線C相交于A, B兩點，問：在x軸上是否存在與k的取值無關的定點M,使 得？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.已知橢圓C:的左，右焦點分別為，且經過點.求橢圓C的標準方程；若斜率為2的直線與橢圓C交于A, B兩點，求面積的最大值為坐標原點.已知函數，.若，函數在點處切線方程為，求實數 a的值;證明時，.數學試卷答案和解析.【答案】C【解析】解：，1,2, .故選：C.可以求出集合A ， B ，然后進行交集的運算即可本題考查了描述

21、法、列舉法的定義，指數函數的單調性，一元二次不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎題. 【答案】 D【解析】解：由題意，成等比數列，即，整理，得，解得故選： D 本題先根據等差數列的概念寫出，然后根據等比中項的性質有，代入即可解出 d 的值本題主要考查等差數列的基本知識和等比中項的性質，考查了邏輯思維能力和數學運算能力本題屬中檔題. 【答案】 B【解析】解：設，則，且，則，故選： B 利用換元法，結合三角函數的誘導公式進行化簡即可本題主要考查三角函數值的計算，利用換元法，結合三角函數的誘導公式是解決本題的關鍵比較基礎. 【答案】 A【解析】解：直線過點，則，當且僅當時取等號，故選： A 利用

22、1 的巧妙代換，利用基本不等式求出即可考查基本不等式的應用， 1 的巧妙代換，中檔題. 【答案】 C【解析】解：對于選項 A ：當時，不等式不成立，故錯誤對于選項B ：由于，但是不確定a， b， c， d 的符號，故錯誤對于選項C ：成立，故正確對于選項D ，若，則，故錯誤故選： C 直接利用不等式的應用和性質的應用求出結果.本題考查的知識要點：不等式的性質的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能 力，屬于基礎題型.【答案】A【解析】解：雙曲線C:，點，點可知AB是雙曲線的焦點坐標， ， ， ，點P為雙曲線C:上的動點，點，點若，所以P在雙曲線的左支，則.故選：A.判斷AB是雙曲線的焦

23、點坐標，利用雙曲線的定義轉化求解即可.本題考查雙曲線的簡單性質的應用，判斷 P的位置是解題的關鍵，是易錯題.【答案】C【解析】解：如圖，j 點E是BD上靠近D的四等分點，菱形ABCD的邊長為2,恒故選：C.可畫出圖形，根據點E是BD上靠近D的四等分點可得出，從而根據向量加法、減法的幾何 意義及向量的數乘運算可得出，然后進行數量積的運算即可.本題考查了向量加法、減法和數乘的幾何意義，向量的數乘和數量積的運算，考查了計算能 力，屬于基礎題.【答案】D【解析】解：根據題意，函數，其定義域為 R,且有，即函數為奇函數，又由，易得在R上為增函數，即，解可得：，即實數m的取值范圍是；故選：D.根據題意，分

24、析可得函數為奇函數且在 R上為增函數，進而可得，變形可得，解可得 m的取 值范圍，即可得答案.本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于基礎題.【答案】B【解析】解：三棱錐中，所以：，故：，且，則平面ABD ,由于，利用勾股定理，解得.由于，所以，整理得，設球心為O,球的半徑為R,所以, 所以.如圖所示：故選：B.首先利用線面的垂直的應用求出球心的位置，進一步利用勾股關系式求出球的半徑，最后求出 球的表面積.本題考查的知識要點：線面垂直的判定和性質的應用，球心的確定和求的半徑的求法，主要考 查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.【答案】D【解析】解：焦點，準線

25、方程，所以焦點到準線的距離為：2,由題意過Q做于M,因為，由拋物線的性質知，所以，設直線PQ的傾斜角為，則，所以由三角形相似可得：，所以，故選：D.由拋物線的性質得拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，再由相似三角形可得對應比成比例可得結果.考查拋物線的性質，屬于中檔題.【答案】A即，；而在上單調遞減，故，都有；,解得或；故選：A.根據定義，不等式等價于對包成立，即，解出 a的范圍即可.本題考查了函數的包成立問題，注意轉化為最值問題解決；同時還考查了一元二次不等式的解 法，屬于中檔題.【答案】D【解析】解：由題意，當時，.則函數大致圖象如下：根據二次函數的對稱性，可知，即.根據題意及圖，可

26、知，解得故選：D.本題的解題關鍵是畫出函數大致圖象，然后根據二次函數的對稱性可得的值，再依據圖象可計 算出的取值范圍，即可得到的取值范圍.本題主要考查函數與方程的綜合，考查了數形結合法的應用以及指數不等式的計算，本題屬中 檔題.【答案】【解析】解：因為的內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且，整理可得可得：，故由余弦定理可得，由于，故C.由于，可得，則為等腰三角形，所以.故答案為：.首先利用余弦定理求出cosC的值，進而可求C的值，進一步判定三角形為等腰三角形，進 步即可利用面積公式求出結果.本題考查的知識要點：正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應用，主要考查學生的運算能 力和轉換

27、能力及思維能力，屬于基礎題型.【答案:1 .【解析】解：由圓的方程可知，圓心，半徑等于 6,設點M的坐標為，的垂直平分線交CQ于點M ,又，依據雙曲線的定義可得，點M的軌跡是以B、C為焦點的雙曲線，且，故雙曲線方程為.故答案為：.根據線段中垂線的性質可得，又半徑 6,故有，根據雙曲線的定義判斷軌跡雙曲線，求出a、b值，即得雙曲線的標準方程.本題考查雙曲線的定義、雙曲線的標準方程，得出，是解題的關鍵和難點.【答案】【解析】解：一故答案為：.a,根據指數函數和幕函數的單調性即可得出，根據對數函數的單調性即可得出，從而可得出b, c的大小關系.本題考查了指數函數、對數函數和幕函數的單調性，指數函數的

28、值域，考查了推理能力，屬于 基礎題.【答案】2【解析】解：如圖，由題知，則，點M是線段AF的中點，則，故，則，所以.故答案為：2.由題意可得，運用三角形的中位線定理可得，由對稱性可得, 可得漸近線的斜率，進而得到所求離心率.本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程和離心率,考查三角形的中位線定理和化簡運算能力，屬于基礎題.【答案】解：數列的前n項和為，且，當時，解得，當時，得，即常數，故數列是以 1 為首項， 2 為公比的等比數列，所以由于，所以，所以，得，整理得【解析】數列的前n 項和為，且，當時，推出數列是以 1 為首項， 2 為公比的等比數列，然后求解通項公式化簡，利用錯位相減法，轉化求解數列的和即可本題考查數列的遞推關系式的應用，數列求和的方法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題. 【答案】解：中，內角 A ， B ， C 所對的邊分別為 a ， b ， c ，已知所以，故，由于解得由余弦定理，得，即，由，得，解得：，當且僅當時取等號；又得；所以，所以周長的取值范圍為【解析】由已知利用三角函數恒等變換的應用可得，結合范圍可求B 的值由余弦定理，基本不等式可求，又利用三角形兩邊之和大于第三邊可得，即可得解周長