淺談反證法原理及應用

1、-. z. 摘 要反證法是一種重要的證明方法,它不僅對數(shù)學科學體系自身的完善有促進作用,而且對人的思維能力的培養(yǎng)和提高也有極其重要的作用.如果能恰當?shù)氖褂梅醋C法,就能到達化繁為簡,化難為易,化不能為可能的目的.反證法的邏輯思維強,數(shù)學語言準確性高,對培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力,閱讀能力,樹立正確的數(shù)學觀具有重要的意義.本論文主要研究的容有反證法的由來;具體闡述了反證法的定義,即反證法的概念、分類和作用;反證法具有廣泛應用的科學根據(jù);并且著重介紹了反證法的應用,包括反證法在初等數(shù)學和高等數(shù)學的應用,并提出應用反證法應注意的問題;針對各種問題提出一些具體的教學建議,從而為改良反證法教學提供參考.關

2、鍵詞:反證法,否認,矛盾,應用-. zPrinciple and application of the reduction to absurdityABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an e*tremely important role in cultivating and improving the peoples t

3、hinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great signi

4、ficance to establish a correct conception of mathematics.The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;e*pounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe applica

5、tion of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so a

6、s to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity.Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application-. z.目 錄TOC o 1-3 t h z u HYPERLINK l _Toc386538967一、引言 PAGEREF _Toc386538967 h 1HYPERLINK l _Toc386538968二、反證法的由來 PAGEREF _Toc386538968 h 1 HYPE

7、RLINK l _Toc386538969 三、反證法的概念及分類 PAGEREF _Toc386538969 h 1HYPERLINK l _Toc386538970一反證法的定義 PAGEREF _Toc386538970 h 1HYPERLINK l _Toc386538971二反證法的分類 PAGEREF _Toc386538971 h 2HYPERLINK l _Toc3865389721歸謬法 PAGEREF _Toc386538972 h 2HYPERLINK l _Toc3865389732窮舉法PAGEREF _Toc386538973 h 2HYPERLINK l _Toc

8、386538974三反證法的作用 PAGEREF _Toc386538974 h 2HYPERLINK l _Toc386538975四、 反證法的科學依據(jù) PAGEREF _Toc386538975 h 3HYPERLINK l _Toc386538976一反證法的理論依據(jù) PAGEREF _Toc386538976 h 3HYPERLINK l _Toc386538977二反證法的步驟 PAGEREF _Toc386538977 h 3HYPERLINK l _Toc386538978三反證法的可信性 PAGEREF _Toc386538978 h 4HYPERLINK l _Toc386

9、538979五、反證法的應用 PAGEREF _Toc386538979 h 4HYPERLINK l _Toc386538980一反證法在初等數(shù)學中的應用 PAGEREF _Toc386538980 h 4HYPERLINK l _Toc386538981二反證法在高等數(shù)學中的應用 PAGEREF _Toc386538981 h 6HYPERLINK l _Toc3865389821在數(shù)學分析中的應用 PAGEREF _Toc386538982 h 6HYPERLINK l _Toc3865389832在高等代數(shù)中的應用 PAGEREF _Toc386538983 h 8HYPERLINK

10、l _Toc386538984三應用反證法應注意的問題 PAGEREF _Toc386538984 h 9HYPERLINK l _Toc3865389851反設要正確 PAGEREF _Toc386538985 h 9HYPERLINK l _Toc3865389862明確推理特點 PAGEREF _Toc386538986 h 9HYPERLINK l _Toc3865389873善于靈活運用 PAGEREF _Toc386538987 h 10HYPERLINK l _Toc3865389884了解矛盾種類 PAGEREF _Toc386538988 h 10HYPERLINK l _T

11、oc386538989六、反證法的教學價值及建議 PAGEREF _Toc386538989 h 10HYPERLINK l _Toc386538990一反證法的教學價值 PAGEREF _Toc386538990 h 10HYPERLINK l _Toc3865389911訓練逆向思維 PAGEREF _Toc386538991 h 10HYPERLINK l _Toc3865389922促進數(shù)學思維的形成 PAGEREF _Toc386538992 h 10HYPERLINK l _Toc3865389933培養(yǎng)思維嚴密性 PAGEREF _Toc386538993 h 11HYPERLI

12、NK l _Toc3865389944滲透數(shù)學史 PAGEREF _Toc386538994 h 11HYPERLINK l _Toc386538995二反證法的教學建議 PAGEREF _Toc386538995 h 11HYPERLINK l _Toc3865389961屢次反復,螺旋上升 PAGEREF _Toc386538996 h 11HYPERLINK l _Toc3865389972精心研究,訓練反設 PAGEREF _Toc386538997 h 12HYPERLINK l _Toc3865389983滲透數(shù)學思想方法,訓練嚴密 PAGEREF _Toc386538998 h

13、12HYPERLINK l _Toc386538999七、完畢語 PAGEREF _Toc386538999 h 12HYPERLINK l _Toc386539000八、參考文獻 PAGEREF _Toc386539000 h 13-. z一、引言在現(xiàn)代數(shù)學中反證法成為最有用和最有效的解決問題的方法之一,但在現(xiàn)行的各種教材中沒有對反證法給出系統(tǒng)的介紹,學生在運用上又不如直接證法那樣順理成章,而且在歸謬過程學生對所學的定義、定理以及命題本身又要有分析、判斷、聯(lián)想和創(chuàng)造能力,對在怎樣的情況下才可采用反證法,學生又不容易判斷,所以對反證法的理解和在恰當?shù)貞蒙隙即嬖诓簧俚膯栴},因此本文就反證法做一

14、些介紹和探討.二、反證法的由來反證法顧名思義是一種證明方法,在數(shù)學和邏輯上是統(tǒng)一的.早期古希臘的數(shù)學在畢達哥拉斯學派的影響下認為萬物皆數(shù),用整數(shù)和幾何圖形構建了一個宇宙圖式.萬物皆數(shù)這個思想當時在數(shù)學家的腦海里是根深蒂固的.隨著的出現(xiàn),希臘人漸漸開場重新審視他們的數(shù)學,圖形和直觀并不是萬能的,推理和邏輯走上了數(shù)學的舞臺.此時西方數(shù)學成為以證明為主的證明數(shù)學,他們要的是準確的數(shù)學,或者說他們的數(shù)學推崇準確性.表現(xiàn)形式就是:邏輯、演繹的體系.可見它是指證明的數(shù)學與算的數(shù)學正好相反.希臘人重視邏輯和演繹的證明,反證法最早應用在歐幾里得的幾何原本中.三、反證法的概念及分類一反證法的定義反證法有多種不同

15、的描述,其本質(zhì)都是一樣的.最早的法國數(shù)學家J阿達瑪在其所著初等數(shù)學教程平面幾何卷中作了如下的描述:反證法在于說明,假設肯定定理的假設而否認其結(jié)論,就會導致矛盾.維基百科中這樣描述反證法,就是由否認命題結(jié)論的正確性出發(fā),根據(jù)題設條件、定義、法則、公理、定理,進展一系列正確的邏輯推理,最后得到一個矛盾的結(jié)果.即就是結(jié)論的反面不能成立,從而肯定命題結(jié)論的正確性,這種駁倒命題結(jié)論反面的證法叫做反證法.二反證法的分類反證法分類分為:歸謬法和窮舉法.1歸謬法假設命題的反面只有一種情形,則只需把這一種情形駁倒,便可到達反證的目的.例1兩條直線同時平行于第三條直線,則原兩條直線互相平行.ACEBDF圖1:求證

16、:現(xiàn)用反證法予以證明.假設與不平行,則(利用平行定義的反面意義),(即)、(即)(題設),過點有兩條不同的直線與平行,但這與平行公理矛盾平行公理,臨時假設不平行矛盾律),故(排中律).2窮舉法假設命題題設反面不止一種情況,則必須將其逐一駁倒,才能間接證明題設的正面成立.這就叫窮舉法.例2假設,則有,證明:假設不然,則有,與題設矛盾,與題設矛盾,因此,.三反證法的作用牛頓曾經(jīng)說過:反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦?最早在數(shù)學中引用反證法的是古希臘畢達哥拉斯學派的希波克拉提斯前460年左右,在歐幾里得的幾何原本中也有不少用反證法的例.我國在五世紀時邱建算經(jīng)中已有運用.反證法是數(shù)學證明中的一種重要方法

17、,當正面不容易或者不能證明時,我們可以從命題的反面來思考問題,假設能恰當使用,往往可以收到較好的效果.特別是有些數(shù)學命題至今除了反證法還別無它法,因此認識和掌握反證法就顯得十分重要.反證法的科學依據(jù)一反證法的理論依據(jù)反證法所依據(jù)的是亞里士多德的形式邏輯的根本規(guī)律中的矛盾律和排中律.其根本容是:在同一論證過程中,對同一對象的兩個相矛盾的、對立的判斷,不能同時都為真,至少有一個是假的,這就是矛盾律.如對這個對象,是有理數(shù)和是無理數(shù)的兩個判斷中至少有一個是假的.在同一論證過程中,對同一對象的肯定判斷和否認判斷,這兩個相矛盾的判斷必有一個是真的,這就是排中律.如要證明是無理數(shù),只要證明是有理數(shù)不真就夠

18、了.因為是有理數(shù)和不是有理數(shù),是對象的兩個相矛盾的判斷,依據(jù)排中律,其中必有一個判斷是真的.如能證明不是有理數(shù)不真,就可以證明是無理數(shù)為真.二反證法的步驟反證法的三個步驟:反設、歸謬、結(jié)論,三者之間相輔相成,不可分割.1、反設是根底.反設是反證法證題的第一步.反設的正確與否,直接影響反證法的后續(xù)步驟.因此,實施教學時,應指導學生做到:先弄清所證命題的條件局部和結(jié)論局部各是什么;再找出結(jié)論的相反情況,要求做到不重不漏;最后對結(jié)論加上不或不是,這樣就完成了反設.2、歸謬是關鍵.歸謬即利用反設導致矛盾.這不但是反證法的核心局部,而且也是反證法教學的難點所在.一些學生也知道需要經(jīng)過邏輯推理,才能導出矛

19、盾,但不明確怎樣去尋找矛盾.因此,實施教學時,應指導學生明確:反設后條件局部是什么;邏輯推理應向哪個方向前進;矛盾將在何處產(chǎn)生.3、結(jié)論是目的.歸謬后,其矛盾的產(chǎn)生并非別的原理,只因反設所致,所以命題的原結(jié)論就得以成立.至此,反證法證題已經(jīng)完成,目的也就到達了.三反證法的可信性反證法在其證明過程中,根據(jù)矛盾律,對原結(jié)論和否認的原結(jié)論來說,這兩個相矛盾的判斷不能同時都為真,必有一假,而條件、公理、定理、法則或者已證明為正確的命題都是真的,所以否認的原結(jié)論必為假.再根據(jù)排中律,原結(jié)論與否認的原結(jié)論這一對立的互相否認的判斷不能同時為假,必有一個是真,而否認的原結(jié)論為假,于是我們得到原結(jié)論必為真.綜上

20、,我們可以看出反證法是以邏輯思維的根本規(guī)律和理論為依據(jù),通過邏輯推理,得出令人信服的正確結(jié)論.反證法也是唯物辯證法中否認之否認原理在數(shù)學中的具體應用.五、反證法的應用本局部主要總結(jié)反證法在初等數(shù)學和高等數(shù)學的應用.一反證法在初等數(shù)學中的應用之前我們主要介紹了一些反證法的概念,對于反證法的定義、歷史及邏輯根底有了一定的了解,反證法這種間接證明方法理論上可以用于證明任何題目,但是它像直接證明一樣總有局限性,這局部我們主要介紹常用反證法的幾類命題.否認性命題:結(jié)論以沒有、不是、不能等形式出現(xiàn)的命題,直接證法不容易入手,反證法可以發(fā)揮它的作用.例1.求證:在一個三角形中,不能有兩個角是鈍角. 證明:、

21、是三角形的三個角. 求證:中不能有兩個鈍角.證明:假設中有兩個鈍角, 則有,這與三角形和為產(chǎn)生矛盾,所以,一個三角形不可能有兩個鈍角.關于唯一性、存在性、至多至少命題:例2.,求證關于的方程有且只有一個根.證明:假設方程至少存在兩個根,不妨設其中的兩根分別為,且,則,與矛盾,故假設不成立,結(jié)論成立.例3.當時,試證方程和中,至少有一個方程有實數(shù)根.證明:假設兩個方程,都沒有實根,即,.所以,又, 即 ,假設不成立,結(jié)論成立.所以說明 和 中至少有一個方程有實根. 例4.試證:不是有理數(shù).分析 我們知道,有理數(shù)恒可表示為既約分數(shù)為互質(zhì)的自然數(shù)的形式.直接證明這個命題需要證不是任何一個既約分數(shù),這

22、不僅涉及既約分數(shù)的無限集,而且也難于把與既約分數(shù)聯(lián)系起來它們本來就沒有直接聯(lián)系.如果使用反證法,情況就迥然不同了.證明:設是有理數(shù),則有互質(zhì)的自然數(shù),使,由此推出,這說明有因數(shù)2,設,代入上式,得,即,這又表示有因數(shù)2.于是,有公因數(shù)2,這與互質(zhì)的假設矛盾,因此,不是有理數(shù).評注:本命題使用反證法的優(yōu)點是只要考察*一特定的有理數(shù),而且自然的把與這個特定的既約分數(shù)聯(lián)系起來了,這就為利用自然數(shù)的運算性質(zhì)導致矛盾的結(jié)果創(chuàng)造了有利條件.二反證法在高等數(shù)學中的應用反證法雖然是在平面幾何教材中出現(xiàn)的,但對數(shù)學的其它各局部容,如數(shù)學分析、高等代數(shù)都可應用.則,終究什么樣的命題可以用反證法來證呢當然沒有絕對的

23、標準,但證題的實踐告訴我們:下面幾種命題一般用反證法來證比擬方便.1在數(shù)學分析中的應用要能熟練掌握一種解題方法,僅僅滿足于會用這種方法解個別題目是不夠的,還要在解題的證明中注意積累經(jīng)歷,總結(jié)規(guī)律,解決何時可以用這種方法來解決的問題,這有助于進一步加深對這種解題的方法實質(zhì)的理解.下面就數(shù)學分析中幾類常見的運用反證法證明的命題類型,舉例說明反證法的應用.當結(jié)論中出現(xiàn)唯一或者量詞只有一個時,運用反證法也比擬適宜.例1 收斂數(shù)列的極限都是唯一的.證明:假設有*一收斂數(shù)列,其極限不唯一,設與,且,不妨設,令,根據(jù)極限的定義,存在自然數(shù),使時,有,時,有,因此,當時,有,注意到,便得,但這是不可能的,故假

24、設不成了,所以結(jié)論成立.當結(jié)論中含有否認詞無或者非時,一般用反證法.例2.試證明:假設函數(shù)在有限區(qū)間可微,但無界,則其導函數(shù)也無界.證明:假設在有界,即,有,取定,由拉格朗日中值定理知,存在在與之間,使,而,故,這與無界相矛盾,故結(jié)論成立.當結(jié)論中以至多或者至少形式出現(xiàn)時用反證法可以收到良好的效果.例3設在上連續(xù),試證:在至少有兩個零點.證明:,至少存在一個零點,否則,假設在只有一個零點,假設在兩側(cè)異號,有,矛盾,假設在兩側(cè)同號,有,矛盾,所以假設不成立,故結(jié)論成立,在至少有兩個零點.2在高等代數(shù)中的應用反證法在數(shù)學中有著廣泛的應用,針對高等代數(shù)中許多結(jié)論、定理的證明雖然可以用構造法、數(shù)學歸納

25、法等其他方法證明,但是證明過程比擬復雜,有時用反證法證明到達了化難為易的效果.例1.假設可由線性表示,證明:表示方法唯一線性無關.證明:必要性由唯一的線性表示,設,假設線性相關,則存在不全為0,使,于是,不全為0,與不完全一樣,這與可由表示方法唯一相矛盾,所以假設不成立,即線性無關.例2設為實矩陣,證:如果,則.證明:假設,設,則線性相關,從而存在不全為零的數(shù),使,設,則,這與矛盾,所以假設不成立,三應用反證法應注意的問題反證法是數(shù)學中一種重要的證明方法,在許多方面有著不可替代的作用.它以其獨特的證明方法和思維方式對培養(yǎng)學生邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維有著重大的意義.反證法不僅可以單獨使用,也可以

26、與其他方法結(jié)合使用,并且可以在論證一道命題中屢次使用.只要我們正確熟練運用,就能做到:精巧、直接、巧解難題、說理清楚、論證嚴謹、提高教學解題能力.1反設要正確正確否認結(jié)論是運用反證法的首要問題.如:命題一個三角形中,至多有一個角是直角.至多有一個是指只有一個或一個沒有,其反面是有兩個直角或三個角都是直角,即至少有兩個是直角.2明確推理特點使用反證法證題,要明確我們的任務是否認結(jié)論導出矛盾,但何時出現(xiàn)矛盾,出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預測的,也沒有一個機械的標準,有的甚至是捉摸不定的.一般的總是在命題的相關領域里考慮例如,平面幾何問題往往聯(lián)系到相關的公理、定理、公式、定義等,這正是反證法推理的特點.因

27、此,在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得到什么樣的矛盾.我們在運用反證法時只需正確否認結(jié)論,嚴格遵守推理規(guī)則,進展步步有據(jù)的推理,一旦出現(xiàn)了矛盾,證明也就完畢了.3善于靈活運用雖然數(shù)學證明題一般都可采用反證法,但并不是說,所有證明題都應該使用反證法來證明,就多數(shù)題目來說,用直接證法就可以證出,不能一味往反證法上面靠,要靈活運用反證法,畢竟我們平時訓練的題目多是運用的直接證法.對待用反證法證題的策略思想是:首先試用直接證法,假設一時不能成功,即可使用反證法.4了解矛盾種類反證法推理過程中出現(xiàn)的矛盾種類是多種多樣的,推理導出的結(jié)果可能與題設或局部題設矛盾,可能與真命題定義或公理、或定理、或性質(zhì)相矛盾

28、,可能與臨時假設矛盾或推出一對相互矛盾的結(jié)果等.六、反證法的教學價值及建議關于反證法的教學,從早期就要向?qū)W生滲透這種思想,凡事不一定非常慎重,只要學生能夠明白、認可其中的原理即可.一反證法的教學價值1訓練逆向思維為了解決一個面臨的數(shù)學問題,通?？偸窍葟恼嫒胧诌M展思考,即根據(jù)問題中的條件,搜索運用已掌握的數(shù)學知識去推理運算逐步由導出未知.假設從正面入手繁瑣或難度較大,不妨考慮問題的相反方面,往往會絕處逢生,開拓解題思路.這種逆向思維,在數(shù)學解題中有4種形式:正逆運算轉(zhuǎn)化、條件,結(jié)論轉(zhuǎn)化、互為反函數(shù)間的轉(zhuǎn)化、以反證法解題,反證法的教學能擺脫學生的思維定勢、簡化運算過程,明晰解題思路,提高解題速度

29、,促進創(chuàng)新思維.2促進數(shù)學思維的形成數(shù)學思想方法是科學思維的方法和技術,是數(shù)學的精華,它為提醒數(shù)學本質(zhì),提供了有力的思想武器.數(shù)學思想方法是動態(tài)思辯的,重在培養(yǎng)創(chuàng)造性、開拓性人才.新一輪課程教學改革強調(diào)創(chuàng)造性、生成性,得以形成數(shù)學文化、數(shù)學思維,如何去做是我們關注的.中國初等數(shù)學教育明顯的好于西方,但到大學階段的學生卻缺少創(chuàng)造性,很難有所成就,更不必說獲諾貝爾獎,這種情況早就應引起我們反思.我們的數(shù)學教學偏重于解題訓練,題海戰(zhàn)術,而啟發(fā)性思維、理解、悟得思想方法的不多.因而形成學生成績的兩極分化,討厭數(shù)學,甚至數(shù)學尖子生也遠離數(shù)學,回想起數(shù)學來就心生畏懼.加強思想方法教學是數(shù)學的本質(zhì)要求,是當

30、下世界經(jīng)濟競爭的需要,也是提高全民族整體素質(zhì)的重要舉措,是社會開展的需要,更是提高數(shù)學質(zhì)量的根本保證.而通過反證法的訓練是培養(yǎng)數(shù)學思想方法的很好途徑.歐幾里得很喜歡運用的歸謬法,它是數(shù)學家最有力的一件武器,比起象棋開局時犧牲一子以取得全局的讓子法,它還要高明.象棋奕者不外犧牲一卒或頂多一子,數(shù)學家索性把全局拱手讓給對方,這種先棄后取、欲擒故縱的策略實在是數(shù)學證明中極為有效的一種方法.3培養(yǎng)思維嚴密性訓練邏輯思維能力,反證法是典型的間接證法,也是通過證明原命題的等價命題從而證明原命題.在證明過程中的每一環(huán)節(jié)都要全面、不遺漏.比方否認原題結(jié)論反設后有幾種情況,必須進展分類討論一一加以否認.反證法與直接證法是密切聯(lián)系的,二者相結(jié)合往往相輔相成,相得益彰.就全局而言是反證法,但從局部看,在作反設后的推理過程用的是直接證法.有時在根本直接證法的推理中,又會穿插一段反證法,以確定*些所需論據(jù),反設時,必須注意弄清原題結(jié)論的反面,周密地列出與原題結(jié)論相悖的所有不同情況,再否認,不能有所遺漏.4滲透數(shù)學史提高辯證思維的能力,反證法是一種重要的證明方法,無論在初等數(shù)學還是高等數(shù)學中,都有廣泛的應用,數(shù)學中一