剛體和流體的運(yùn)動(dòng) 3-1、2、3

1、3-1 剛體模型及其運(yùn)動(dòng)3-2 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律3-3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系3-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定律和角動(dòng)量守恒定律3-5* 進(jìn)動(dòng)3-6* 理想流體模型 定常流動(dòng) 伯努利方程3-7* 牛頓力學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性 混沌第三章 剛體和流體的運(yùn)動(dòng)2022/7/292運(yùn)動(dòng)員跳水門(mén)繞門(mén)軸轉(zhuǎn)動(dòng)地球自轉(zhuǎn)2022/7/2933-1 剛體模型及其運(yùn)動(dòng)在力作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。剛體是一個(gè)理想模型。剛體運(yùn)動(dòng)研究的基礎(chǔ)：剛體是由無(wú)數(shù)個(gè)連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系。剛體的運(yùn)動(dòng)是這些質(zhì)量元運(yùn)動(dòng)的總和。一、剛體(rigid body)-物體內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離不變2022/7/294二、平動(dòng)和

2、轉(zhuǎn)動(dòng)1、平動(dòng)（translation)：連接剛體中任意兩點(diǎn)的線段在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平動(dòng)。剛體平動(dòng)特點(diǎn)：研究方法：剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)2、轉(zhuǎn)動(dòng)（1）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸相對(duì)參考系靜止。（2）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸上只有一點(diǎn)相對(duì)參考系靜止，轉(zhuǎn)軸方向不斷變化。2022/7/296(3)一般運(yùn)動(dòng)：可看成平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。例如，車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)2022/7/2973、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)Rotation of Rigid Body about a Fixed AxisO1O2m2m1xxv1v2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)如何描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)？2022/7/298O1O2m2m1xxv1v2（3）因剛體內(nèi)各點(diǎn)間的相對(duì)位置不

3、變，所以各點(diǎn)的半徑所掃過(guò)的角度是相同的。這個(gè)轉(zhuǎn)角就是角位移。（4）各點(diǎn)的角量（角位移、角速度、角加速度）相同。（1）剛體在定軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)都繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動(dòng)，而軸本身的空間位置不變。（2）各點(diǎn)的軌跡是半徑大小不同的圓周。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度大?。簞傮w的角加速度大小：線速度和角速度的關(guān)系為：加速度與角加速度和角速度的關(guān)系：2022/7/2992022/7/2910 剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)對(duì)比三、自由度自由度：確定一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。它反映了運(yùn)動(dòng)的自由程度。火車：被限制在軌道上運(yùn)動(dòng)，自由度為1飛機(jī)：在

4、空中飛行，自由度為3輪船：在一水平面上運(yùn)動(dòng)，自由度為2剛體的自由度剛體總自由度 i=6：平動(dòng)自由度t=3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=3剛體繞CA軸轉(zhuǎn)動(dòng)CA的方位其中兩個(gè)是獨(dú)立的2022/7/2913飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度例1，一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)30s 停止轉(zhuǎn)動(dòng)。試求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開(kāi)始后 t = 6 s 時(shí)飛輪的角速度；（3）t = 6s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度 。解：（1） t = 30 s 時(shí)，設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)， t = 0 s 2022/7/2914（2）時(shí)，飛輪的角速度（

5、3）時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)2022/7/2915 例2，在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)，它的角速度 ，經(jīng)300s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000rmin-1。 已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比。問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？解 由題意，令 ，即 ，積分 得當(dāng)t=300s 時(shí)所以2022/7/2916轉(zhuǎn)子的角速度由角速度的定義得有在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)轉(zhuǎn)動(dòng)平面 沿Z 軸分量為 對(duì)Z 軸力矩對(duì)O 點(diǎn)的力矩：一、力矩3-2 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 設(shè)一剛體在力 作用下繞OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)

6、平面內(nèi)注（1）在定軸動(dòng)問(wèn)題中，如不加說(shuō)明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。 只能引起軸的變形, 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)。轉(zhuǎn)動(dòng)平面 是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂。（2） （3）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+、-號(hào)表示。轉(zhuǎn)動(dòng)平面2022/7/2920二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律利用力矩定義牛頓第二定律，研究剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。 由牛頓第二定律，有建立自然坐標(biāo)：切向、法向；將力分解切向、法向分量設(shè)： 為定軸，剛體中任一質(zhì)元 ，其質(zhì)量為 。質(zhì)元 受外力 ，內(nèi)力 的作用，均在與 OZ 軸相 垂直的同一平面內(nèi)。OZ2022/7/2921切向分量式為：將

7、切向分量式兩邊乘以ri ,有：外力矩內(nèi)力矩法向分量式為：利用 ，2022/7/2922OZ對(duì)所有質(zhì)元求和：一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量合外力矩則定義剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律2022/7/2923O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義?2022/7/2924三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（rotational inertia)的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義剛體的質(zhì)量可以認(rèn)為是連續(xù)分布的，寫(xiě)成積分形式：是質(zhì)元的質(zhì)量是質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離單位: 千克米2（kgm2）2022/7/2925質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分

8、布體分布面分布注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2022/7/2926哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？2022/7/2927幾種均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2022/7/2928例題1，求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直；（2）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直；（3）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的一點(diǎn)并和棒垂直。lOxdxl/2l/2OxdxAlxdxAABh2022/7/2929解：如圖所示，在棒上離軸x 處，取一線元dx，若棒的質(zhì)量線密度為，這線元的質(zhì)量為dm=dx。（1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心并和棒垂直時(shí)，有l(wèi)/2l/2Ox

9、dxlOxdxAlxdxAABh2022/7/2930因l=m，代入，得（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端A并和棒垂直時(shí)，有l(wèi)xdxA2022/7/2931（3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的B點(diǎn)并和棒垂 直時(shí)，有結(jié)論：同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。lOxdxABh2022/7/2932平行軸定理推廣：若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，則有：JJOmd2。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理llOxdxAlxdxA2022/7/2933轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可加性 一個(gè)具有復(fù)雜形狀的剛體，如果可以分割成若干個(gè)簡(jiǎn)單部分，則整個(gè)剛體對(duì)某一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各個(gè)組成部分對(duì)同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。薄平板的正交

10、軸定理 yx z 圓盤(pán) R C m2022/7/2934例題2，求圓盤(pán)對(duì)于通過(guò)中心并與盤(pán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤(pán)的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。rRdr解：設(shè)圓盤(pán)的質(zhì)量面密度為，在圓盤(pán)上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質(zhì)量dm= 2rdr 。可得2022/7/2935例題3，求質(zhì)量m，半徑 R 的球殼對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。分析：取離軸線距離相等的點(diǎn)的集合為質(zhì)元dm36例題4，在質(zhì)量為 M ，半徑為 R 的勻質(zhì)圓盤(pán)上挖出半徑為 r 的兩個(gè)圓孔，圓孔中心在半徑 R 的中點(diǎn)，求剩余部分對(duì)通過(guò)大圓盤(pán)中心且與盤(pán)面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。分析：用填補(bǔ)法。2022/7/293

11、7練習(xí)1：右圖所示，剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、球半徑為R）2022/7/2938練習(xí)2：求質(zhì)量 m，半徑 R 的球體對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。分析：以距中心 ，厚 的球殼為質(zhì)元dmRo四、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例s1. 確定研究對(duì)象。s2. 受力分析，并求外力的力矩。s3. 列方程求解： 平動(dòng)物體列牛頓定律方程 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體列轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程 角量與線量關(guān)系2022/7/2939例1，長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m 的細(xì)桿，初始時(shí)的角速度為 0，由于細(xì)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過(guò)時(shí)間 t 后桿靜止，求摩擦力矩 M阻。已知細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2022/7/2940解：以細(xì)桿為研究對(duì)象，只有摩擦阻力產(chǎn)生力

12、矩。由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式t秒后靜止，有得到因此，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得2022/7/2941例題3-4，一半徑為R，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤(pán)，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤(pán)與桌面間摩擦系數(shù)為，令圓盤(pán)最初以角速度0繞通過(guò)中心且垂直盤(pán)面的軸旋轉(zhuǎn)，問(wèn)它經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn)，而是分布在整個(gè)圓盤(pán)與桌子的接觸面上。在圖中，把圓盤(pán)分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量dm=rddre，所受到的阻力矩dM=rgdm 。此處e是盤(pán)的厚度。圓盤(pán)所受阻力矩就是因m=eR2，代入得根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，阻力矩使圓盤(pán)減速，即獲得負(fù)的角加速度。設(shè)圓盤(pán)經(jīng)過(guò)時(shí)間t停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則有得例2，質(zhì)量為m1和m2兩個(gè)物體，

13、跨在定滑輪上，m2 放在光滑的桌面上，滑輪半徑為R，質(zhì)量為M，求：m1 下落的加速度，和繩子的張力T1、T2。圓盤(pán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量T1T2m12022/7/2945解：受力分析以為研究對(duì)象 （1）以為研究對(duì)象 （2）以為研究對(duì)象（3）T1T1T2m12022/7/2946（4）聯(lián)立方程（1）-（4）求解，得討論：當(dāng) M=0時(shí)2022/7/2947m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2阿特伍德機(jī)2022/7/2948 例題3-3，一輕繩跨過(guò)一定滑輪，滑輪視為圓盤(pán)，繩 的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1m1，物體1向上運(yùn)動(dòng)，物體2向下運(yùn)動(dòng)，滑輪以順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，Mr的指向如

14、圖所示。由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有其中是滑輪的角加速度，a是物體的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等。即T2T1T1T2G2G1aam1m2而當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩，即令m=0、M=0時(shí)，有該裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來(lái)測(cè)量重力加速度g的簡(jiǎn)單裝置。因?yàn)樵谝阎猰1、 m2 、r和J的情況下，能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體1和2的加速度a，再通過(guò)加速度把g算出來(lái)。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的m1和m2相近，從而使它們的加速度a和速度v都較小，這樣就能較精確地測(cè)出a來(lái)。一、力矩的功在力矩作用下，剛體繞Z軸轉(zhuǎn)過(guò)角，計(jì)算力矩所作的功。3-3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系2022/7/2953力對(duì)剛體所作的功可用力

15、矩與剛體角位移乘積的積分來(lái)表示，叫做力矩的功。力矩的功率為：當(dāng)輸出功率一定時(shí)，力矩與角速度成反比。2022/7/29542022/7/2955二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能因此，整個(gè)剛體的動(dòng)能為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是組成剛體的各個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能之和。設(shè)剛體中第i個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量為 ，速度為 ,則該質(zhì)元的動(dòng)能為：剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)元的角速度相同。設(shè)質(zhì)點(diǎn) 離軸的垂直距離為 ，則它的線速度三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理外力矩作的元功是若剛體的角速度由則總外力矩對(duì)剛體所作的功為：總外力矩對(duì)剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。2022/7/2956四、剛體的重力勢(shì)能剛體的質(zhì)心的高度為：hhihcxOmCmi一

16、個(gè)質(zhì)元mi對(duì)質(zhì)量為m的整個(gè)剛體：一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能。2022/7/2957功能原理和機(jī)械能守恒定律對(duì)于既有平動(dòng)物體又有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體組成的系統(tǒng)，功能原理仍然成立。系統(tǒng)的功能原理：系統(tǒng)在一個(gè)狀態(tài)變化到另一個(gè)狀態(tài)的過(guò)程中，其機(jī)械能的增量等于外力所作功和系統(tǒng)的非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有保守內(nèi)力作功,則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。2022/7/2958例1，一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤(pán)）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。分析：系統(tǒng)：滑

17、輪M和物體m。 受力： 據(jù)機(jī)械能守恒定律：2022/7/2959求（1） 桿下擺 角后，角速度（2）軸對(duì)桿作用力解：研究對(duì)象：桿+地球 只有重力（保守內(nèi)力）作功， E 守恒。例2，均勻直桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l ，初始時(shí)水平靜止，AO =l/4 ，軸光滑，可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。ABc2022/7/2960 2221wJEk=末態(tài)：qsinlmgEP42-=由平行軸定理，得ABc2022/7/2961()()得：由21(2)要求棒受軸的力，考慮質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得方向：l方向：tABcmgNNlNt2022/7/2962ABcmgNNlNt2022/7/2963由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得由（3）、（4）、（5）和（6）可解出：2022/7/2964例題3-5，沖床上配一個(gè)質(zhì)量為5000kg的飛輪，r1=0.3m， r2=0.2m。今用轉(zhuǎn)速為900r/min的電動(dòng)機(jī)借皮帶傳動(dòng) 來(lái)驅(qū)動(dòng)飛輪，已知電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)軸直徑為d=10cm。 (1)求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能; (2)若沖床沖斷0.5mm厚的薄鋼片需用沖力9.80104N， 所消耗的能量全部由飛輪提供，問(wèn)