解直角三角形講義

1、銳角三角函數(shù)中考要求：內(nèi)容基本要求略高要求較高要求銳角三角函數(shù)了解銳角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函數(shù)值由某個角的一個三角函數(shù)值，會求這個角其余兩個三角函數(shù)值；會求含有特殊角的三角函數(shù)值的計算能用三角函數(shù)解決與直角三角形有關的簡單問題解直角三角形知道解直角三角形的含義會解直角三角形；能根據(jù)問題的需要添加輔助線構造直角三角形；會解由兩個特殊直角三角形構成的組合圖形的問題能綜合運用直角三角形的性質(zhì)解決有關問題重難點：掌握銳角三角函數(shù)的概念，會熟練運用特殊三角函數(shù)值；知道銳角三角函數(shù)的取值范圍以及變化規(guī)律；同角三角函數(shù)、互余角三角函數(shù)之間的關系；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立

2、數(shù)學模型；熟練掌握解直角三角形的方法；能運用解直角三角形的知識解決與生活、生產(chǎn)等有關的實際問題模塊一三角函數(shù)基礎一、銳角三角函數(shù)的定義如圖所示，在中，a、b、c分別為、的對邊（1）正弦：中，銳角的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作，即（2）余弦：中，銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，即 （3）正切：中，銳角的對邊與鄰邊的比叫做的正切，記作，即注意： 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中給出的，要避免應用時對任意三角形隨便套用定義 、分別是正弦、余弦、正切的數(shù)學表達符號，是一個整體，不能理解為與、與、與的乘積 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分別是某個銳角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比值

3、，當這個銳角確定后，這些比值都是固定值二、特殊角三角函數(shù)三角函數(shù) 這些特殊角的三角函數(shù)值一定要牢牢記?。∪?、銳角三角函數(shù)的取值范圍在中，又，所以 四、三角函數(shù)關系 1同角三角函數(shù)關系： ， 2互余角三角函數(shù)關系： (1) 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值：；(2) 任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值：； (3) 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值： 3銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律： (1)A、B是銳角，若AB，則；若AB，則(2) A、B是銳角，若AB，則；若AB，則(3) A、B是銳角，若AB，則；若AB，則1、（湖北省黃岡市競賽題）已知在中，是銳角，且，則 2、求的值【鞏固】化簡：3、

4、已知（為銳角），求作以和為兩根的一元二次方程【鞏固】若方程的一個根是，則它的另一個根必是或4、（太原市競賽）若030，且(為常數(shù)，且0)，則的取值范是 模塊二 解直角三角形一、解直角三角形的概念根據(jù)直角三角形中已知的量（邊、角）來求解未知的量（邊、角）的過程就是解直角三角形二、直角三角形的邊角關系如圖，直角三角形的邊角關系可以從以下幾個方面加以歸納：（1）三邊之間的關系： (勾股定理)（2）銳角之間的關系：（3）邊角之間的關系：解直角三角形的四種基本類型（1）已知斜邊和一直角邊(如斜邊，直角邊)，由求出，則， ；（2）已知斜邊和一銳角(如斜邊，銳角)，求出，；（3）已知一直角邊和一銳角(如和銳

5、角)，求出，；（4）已知兩直角邊(如和)，求出，由，得具體解題時要善于選用公式及其變式，如可寫成，等四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括為：“有斜(斜邊)用弦(正弦，余弦)，無斜用切(正切，余切)，寧乘毋除，取原避中”這幾句話的意思是：當已知或求解中有斜邊時，就用正弦或余弦；無斜邊時，就用正切或余切；當所求的元素既可用乘法又可用除法時，則用乘法，不用除法；既可由已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求得時，則用原始數(shù)據(jù)，盡量避免用中間數(shù)據(jù)五、解直角三角形的技巧及注意點在中，故，利用這些關系式，可在解題時進行等量代換，以方便解題六、如何解直角三角形的非基本類型的題型對解直角三角形的非基本類型的題型，通

6、常是已知一邊長及一銳角三角函數(shù)值，可通過解方程(組)來轉(zhuǎn)化為四種基本類型求解；（1）如果有些問題一時難以確定解答方式，可以依據(jù)題意畫圖幫助分析；（2）對有些比較復雜的問題，往往要通過作輔助線構造直角三角形，作輔助線的一般思路是：作垂線構成直角三角形；利用圖形本身的性質(zhì)，如等腰三角形頂角平分線垂直于底邊等七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角如圖（2）坡角與坡度：坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為，坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則坡度越大，坡面就越陡如圖（3）方向角（或方位角）：

7、方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達為北（南）偏東（西）度如圖八、解直角三角形應用題的解題步驟及應注意的問題：（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進行近似計算，檢驗是否符合實際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位如圖，某高層樓房

8、與上海東方明珠電視塔隔江想望，甲、乙兩學生分別在這樓房的兩層，甲在層測得電視塔塔頂?shù)难鼋菫?，塔底的俯角為，乙在層測得塔頂?shù)难鼋菫?，由于塔底的視線被擋住，乙無法測得塔底的俯角，已知之間的高度差為，求電視塔高（用含的代數(shù)式表示）一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖所示，其中背水面的整個坡面是長為90米、寬為5米的矩形 現(xiàn)需將其整修并進行美化，方案如下： 將背水坡的坡度由改為； 用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面分成9塊相同的矩形區(qū)域，依次相間地種草與栽花 （1）求整修后背水坡面的面積；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，那么種植花草至少需要多少元？如圖，在某海域內(nèi)有三個港口、港口在港口北偏東方向上，港口在港口北偏西方向上一艘船以每小時海里的速度沿北偏東的方向駛離港口小時后到達點位置處，此時發(fā)現(xiàn)船艙漏水，海水以每分鐘噸的速度滲入船內(nèi)當船艙滲入的海水總量超過噸時，船將沉入海中同時在處測得港口在處的南偏東方向上若船上的抽水機每小時可將噸的海水排出船外，問此船在處至少應以怎樣的航行速度駛向最近的港口?？?，才能保證船在抵達港口前不會沉沒（要求計算結(jié)果保留根號）？并指出此時船的航行方向【鞏固】海面上處有一貨輪正在