常見(jiàn)遞推數(shù)列的幾個(gè)模型

1、淺議求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的數(shù)學(xué)思想 祿勸民族實(shí)驗(yàn)中學(xué) 付貴有 王自存 2高考復(fù)習(xí)專題講座 2一、淺談遞推數(shù)列在高考中的地位和 對(duì)策二、幾個(gè)常見(jiàn)模型的通項(xiàng)公式的求法及例子 一、淺談遞推數(shù)列在高考試題中的 地位與對(duì)策3 數(shù)列在高中數(shù)學(xué)課本上篇幅很小， 然而在高考試題中的情況卻相反。 1981年、1982年、1984年、1986年、1987年、1999年、2000年、2002年、2003年、2004年、2005年、2006年，這些年的題中都有考遞推數(shù)列的題，且常常是大題，甚至是壓軸題。2006年的36 套題中，考遞推數(shù)列的大題有25 題。2007年的38套題中有22題，2008年的38套題中有27題

2、，09 年的文科18套題中有9道題。理科18套題中有15道題4 關(guān)于遞推公式，在考試說(shuō)明中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)”。但實(shí)際上，從近些年各地高考試題來(lái)看，是加大了對(duì)“遞推公式”的考查。 遞推數(shù)列的題目常常是給出遞推公式讓你求解，或是給出前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系式讓你求解。求解的問(wèn)題或是求an，Sn或是求an、Sn的極限等，不論是哪類問(wèn)題，往往是通項(xiàng) 一旦出來(lái)，其它問(wèn)題就迎刃而解了。6二、遞推公式轉(zhuǎn)化通項(xiàng)公式的幾個(gè)常見(jiàn)模型 及例子（一）有關(guān)概念：我們?cè)谘芯繑?shù)列an時(shí)，如果任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng) （或幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則此

3、公式就稱為數(shù)列的遞推公式。通過(guò)遞推公式給出的數(shù)列，一般我們也稱之為遞推數(shù)列。遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法。（二）求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方向，是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的問(wèn)題來(lái)解決。7（三）求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的手段，是連續(xù)代換，層層化簡(jiǎn)，最終化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的問(wèn)題來(lái)解決。（四）求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化化歸，高化低、隱化顯、生化熟、繁化簡(jiǎn)。（五）求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的捷徑，是記住常見(jiàn)模型、記住相應(yīng)手段。注意幾點(diǎn)：（六）求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的過(guò)程多是：觀察調(diào)整代換觀察調(diào)整代換整理出結(jié)果。（三）幾個(gè)模型：模型1顯然有模型2顯然有8模型3.=，（q1，q0） 解 : 令 則令

4、于是有 （到此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了模型2） 9特例.a1=5,an+1=2an+3,求通項(xiàng)公式. （2006，重慶,文,14）例1通過(guò)比較找到x 已知數(shù)列中，=5，求的通項(xiàng)公式。解。 由于是+22(）， 作代換= 則 =2 - 2=5+2=7，=7=717（2006，重慶,文,14）例1令則與原式比較得于是bn是等比數(shù)列由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得由所作代換得反思練習(xí)1：在數(shù)列an 中，若 則該數(shù)列的通項(xiàng)an _練習(xí)2：07全國(guó)卷2理21模型4=解: 將=兩邊取對(duì)數(shù) 得 lg= 令 lg則= （到此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了模型3） 10特例:例2與例3例2已知數(shù)列中，=100求通項(xiàng)解:由100得lg2lg+2令bn

5、=lg 則bn+1=2bn+2 由例1得bn=72n-1 218于是a1=2,an+1=2an4,求通項(xiàng)an .例3.解.由已知易知各項(xiàng)均為正數(shù),于是將 an+1=2an4兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得19log2an+1=1+4log2an令log2an=bn,則有bn+1=1+4bn令bn+1+x=4(bn+x)則x=1/3于是bn+1+1/3=4(bn+1/3)令cn=bn+1/3則cn+1=4cn而b1=1,c1=4/3,所以cn=(4/3)4n-1bn=(4/3)4n-1-1/3整理得模型5=解: 由=得 以上的個(gè)式子疊加得 n-1 11特例.a1=3,an+1=an+2n,求通項(xiàng)公式.例4

6、例4已知數(shù)列中，=3，+2n，求通項(xiàng)。解。 由 +2n 得 2（n-2） 2（n-1） ，=21疊加得 n（n-1） 于是= + 3， 20模型6=（0 )解: 由=得 以上的 個(gè)式子連乘得 f（nbf（1）f（2） f（n1）12特例.a1=5,an+1= 3n an,求通項(xiàng)公式.或例5例5已知數(shù)列中，= 4，得 求通項(xiàng)。解。 由 ，將上述n 1個(gè)式子連乘得 21解法2：取對(duì)數(shù)（變模型5），用疊加法（自去練）例6（2004，全國(guó)I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1， n2，則an的通項(xiàng) 解：由已知，得 用此式減去已知式，得 當(dāng) 時(shí) 即 又 將以上n個(gè)式子相乘，得 模型7.=q（q0） 解:

7、 由=q兩邊同除以 得令 則（到此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了模型5）13特例: a1= 5, an+1= 2 an + 4n , 求通項(xiàng)公式.(請(qǐng)自己去完成)例7：08全國(guó)卷文1.22在數(shù)列an中，a1=1，an+1=2an+2n（）設(shè)證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn。07天津卷理2109湖北卷理19（2009全國(guó)卷理20）（本小題滿分12分在數(shù)列 中， （I）設(shè) ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 （II）求數(shù)列 的前項(xiàng)和解：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式: （II）由（I）得 = 而 又 是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型 易得 = 于是例9：評(píng)析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)(一)試

8、題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問(wèn)題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。模型8=，（0，b0）解: 將=兩邊取倒數(shù)得 則有（到此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了模型3） 令 bn= an114特例: 求通項(xiàng).(請(qǐng)自己去完成)看下葉陜西卷2208陜西22（陜西卷22）（本小題滿分14分） 已知數(shù)列an的首項(xiàng) （）求an 的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)任意的 （）證明： 解：（） 又 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列 （）略（）略例10：（2006，江西

9、,理,22） 已知數(shù)列an滿足： a1 ，且an 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：（1）將條件變?yōu)椋?1 因此1 為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1 ， 公比 從而1 據(jù)此得 an （n1） 例11：模型9數(shù)列an中， （，求設(shè) : 解 從而 其中 x、y為方程的實(shí)根， 此時(shí) 至此， 轉(zhuǎn)化為模型7。特例：求15(請(qǐng)自己去完成)練習(xí)：06年福建卷文22遞推公式為 （其中p，q均為常數(shù)）。 解 (特征根法)：對(duì)于由遞推公式 給出的數(shù)列 ， 方程 叫做數(shù)列 的特征方程。 若 是特征方程的兩個(gè)根， 當(dāng) 時(shí)，數(shù)列 的 通項(xiàng)為 ，其中A，B由 決定 （即把和 ，代入得到關(guān)于A、B的方程組）； 當(dāng) 時(shí)，數(shù)列 的通項(xiàng)為 其

10、中A，B由 決定（即把 和 代入 得到關(guān)于A、B的方程組）。例12: 數(shù)列 中求 解（特征根法）：的特征方程是： 又由 于是 故 模型10=（0，b0，s0），求解。令=， 并令可解出x的值代入上式，又令 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了模型8。16例：07全國(guó)卷1理22模型11解。令 n+1 （s + f（n） 且令 由此得來(lái)x的值代入上式，再令 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了模型7（或3）。模型12周期型解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例13：若數(shù)列 滿足 若 ，則 的值為 _。變式:（2005，湖南,文，5）已知數(shù)列 滿足 ，則 = （ ）A0BCD（2009北京理）已知數(shù)列 滿足：則 _； =_.【答案】1，0【

11、解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型.依題意，得 ， . 應(yīng)填1，0.例14已知數(shù)列滿足： （1）, 求通項(xiàng)。（2） 解。 由（1）（2）得，則成等比數(shù)列將代入（2）得由前面模型7（或直接由迭代法）可得：從而22說(shuō)明:雙遞推數(shù)列往往都是先轉(zhuǎn)化為單遞推數(shù)列后,進(jìn)而解決的.例15. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式。解：（1）由得：于是 即（2）應(yīng)用模型7的方法，上式兩邊同乘以得：由，得：于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列， 23n an 中, 2n+12n+1an+1=2nan+2就是 于是例16 數(shù)列an滿足a1=b,an+1=can+d,c0,c1, 證明：通項(xiàng)為證法一：由得 令則=bn+1=cbn且=an+1-an所以 =1上面的n-1個(gè)式子疊加后整理得 =證法二：（待定系數(shù)法）證法三：（數(shù)學(xué)歸納法）24例17:設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)的和（）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（）設(shè)， ，n=1,2,3, 證明：解: () n=1,2,3， (II)25（一）有關(guān)概念：我們?cè)谘芯繑?shù)列an時(shí)，如果任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng) （或幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則此公式就稱為數(shù)列的遞推公式。通過(guò)遞推公式給出的數(shù)列，一般我們也稱之為遞推數(shù)列。遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法。（二）求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方向，是將其