中學(xué)數(shù)學(xué)校本教材數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

1、數(shù)學(xué)校本課程開(kāi)發(fā)方案目標(biāo)：以貼近生活實(shí)際、加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用為宗旨，針對(duì)數(shù)學(xué)這門(mén)課的特點(diǎn)，從生活中挖掘數(shù)學(xué)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，分析能力，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，開(kāi)發(fā)學(xué)生自身的潛能，并且加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的動(dòng)手操作能力的訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生能夠展示自己的研究成果，培養(yǎng)學(xué)生的成功心態(tài)，使學(xué)生的心理得到健康的發(fā)展，使每位學(xué)生的能力得到充分體現(xiàn)。內(nèi)容：讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)可發(fā)生在我們的周?chē)?，我們的生活空間是無(wú)窮的數(shù)學(xué)世界，在課堂上多設(shè)情景，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，讓他們充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，感受到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，在愉快、輕松的學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，

2、觀察事物的能力，形成正確的人生觀、價(jià)值觀。開(kāi)發(fā)人員：李明良 梁曉輝 李文文 宋洪軍孫蕾 曾憲秀 王永秀參加人員：高一一班學(xué)生實(shí)施時(shí)間：星期三第四節(jié)實(shí)施方式：教室管理與評(píng)價(jià)：課程評(píng)價(jià)可分為課程本身評(píng)價(jià)、教師授課評(píng)價(jià)和學(xué)生學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)。課程本身評(píng)價(jià)主要指對(duì)課程綱要的評(píng)價(jià)，包括課程目標(biāo)是否與學(xué)校教育目標(biāo)相符，課程是否有利于學(xué)生的發(fā)展等。教師授課評(píng)價(jià)主要是對(duì)教師教學(xué)過(guò)程的評(píng)價(jià)。學(xué)生學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)主要對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，知識(shí)與技能等方面取得的成績(jī)做出評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)方法有觀察、調(diào)查、測(cè)驗(yàn)、學(xué)習(xí)成果展示等。課程實(shí)施計(jì)劃目標(biāo)：探索中鞏固所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察，善于聯(lián)想，善于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)，熱愛(ài)生活，

3、將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)際的能力探索講授內(nèi)容：第一章：變通性思維的培養(yǎng)，第二章：反思性思維的培養(yǎng)第三章：嚴(yán)密性思維的培養(yǎng)，第四章：開(kāi)闊性思維的培養(yǎng)，第五章：數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程時(shí)間安排： 每周三第四節(jié)中學(xué)校本課程課程名稱(chēng)：數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)開(kāi)發(fā)人： 學(xué)科： 數(shù)學(xué)第一章 數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練： （1）善于觀察（2）善于聯(lián)想（3）善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化（1）觀察能力的訓(xùn)練任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)

4、系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過(guò)表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來(lái)解題。例1 已知 SKIPIF 1 0 都是實(shí)數(shù)，求證 SKIPIF 1 0 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而xyO SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 圖121左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證

5、法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設(shè) SKIPIF 1 0 如圖121所示，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 中，由三角形三邊之間的關(guān)系知： SKIPIF 1 0 當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時(shí)，等號(hào)成立。 因此， SKIPIF 1 0 已知 SKIPIF 1 0 ，試求 SKIPIF 1 0 的最大值。解 由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 有最大值，最大值為 SKIPIF 1 0 思路分析 要求 SKIPIF 1 0 的最大值，由已知條件很快

6、將 SKIPIF 1 0 變?yōu)橐辉魏瘮?shù) SKIPIF 1 0 然后求極值點(diǎn)的 SKIPIF 1 0 值，聯(lián)系到 SKIPIF 1 0 ，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。已知二次函數(shù) SKIPIF 1 0 滿足關(guān)系 SKIPIF 1 0 ，試比較 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的大小。xyO2圖122思路分析 由已知條件 SKIPIF 1 0 可知，在與 SKIPIF 1 0 左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說(shuō)明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線 SKIPIF 1 0 對(duì)稱(chēng)，又由已知條件知它的開(kāi)口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。

7、解 （如圖122）由 SKIPIF 1 0 ，知 SKIPIF 1 0 是以直線 SKIPIF 1 0 為對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上的拋物線它與 SKIPIF 1 0 距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。 SKIPIF 1 0 （2）聯(lián)想能力的訓(xùn)練聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問(wèn)題打開(kāi)缺口，不斷深入。例如，解方程組 SKIPIF 1 0 .這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為 SKIPIF 1 0 ，這兩個(gè)數(shù)的積為 SKIPIF 1 0 。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理， SKIPIF 1

8、0 、 SKIPIF 1 0 是一元二次方程 SKIPIF 1 0 的兩個(gè)根，所以 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 .可見(jiàn)，聯(lián)想可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。在 SKIPIF 1 0 中，若 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為鈍角，則 SKIPIF 1 0 的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能確定思路分析 此題是在 SKIPIF 1 0 中確定三角函數(shù) SKIPIF 1 0 的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式 SKIPIF 1 0 可得下面解法。解 SKIPIF 1 0 為鈍角， SKIPIF 1 0 .在 SKIPIF 1 0 中 SKIPI

9、F 1 0 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故應(yīng)選擇（B）若 SKIPIF 1 0 思路分析 此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證題。證明 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，等式 SKIPIF 1 0 可看作是關(guān)于 SKIPIF 1 0 的一元二次方程 SKIPIF 1 0 有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ，由已知條件易得 SKIPIF 1 0 即 SKIP

10、IF 1 0 ,顯然也有 SKIPIF 1 0 .已知 SKIPIF 1 0 均為正實(shí)數(shù),滿足關(guān)系式 SKIPIF 1 0 ,又 SKIPIF 1 0 為不小于 SKIPIF 1 0 的自然數(shù)，求證: SKIPIF 1 0 思路分析 由條件 SKIPIF 1 0 聯(lián)想到勾股定理, SKIPIF 1 0 可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設(shè) SKIPIF 1 0 所對(duì)的角分別為 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 是直角， SKIPIF 1 0 為銳角，于是 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF

11、 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 0 于是有 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 從而就有 SKIPIF 1 0 （3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練數(shù)學(xué)家G . 波利亞在怎樣解題中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢?jiàn)，解題過(guò)程是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。例如，已知 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,求證 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1

12、0 、 SKIPIF 1 0 三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問(wèn)題變得熟悉、簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為： SKIPIF 1 0 思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問(wèn)題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問(wèn)題。它表現(xiàn)就是記類(lèi)型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。 eq oac(,1) 轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目 例11 已知 SKIPIF 1 0 求證 SKIPIF 1 0

13、、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個(gè)等于1。思路分析 結(jié)論沒(méi)有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個(gè)為1，也就是說(shuō) SKIPIF 1 0 中至少有一個(gè)為零，這樣，問(wèn)題就容易解決了。證明 SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 中至少有一個(gè)為零，即 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個(gè)為1。思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，

14、還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問(wèn)題變?yōu)槭煜?wèn)題。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ；橢圓 SKIPIF 1 0 的中心為 SKIPIF 1 0 ，焦點(diǎn)在 SKIPIF 1 0 軸上，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 0 ，問(wèn) SKIPIF 1 0 在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn) SKIPIF 1 0 的距離等于該點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 0 的距離。思路分析 從題目的要求

15、及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線 SKIPIF 1 0 （1）是，又從已知條件可得橢圓 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 （2）因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組（1）、（2）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求 SKIPIF 1 0 的取值范圍。將（2）代入（1）得： SKIPIF 1 0 （3）確定 SKIPIF 1 0 的范圍，實(shí)際上就是求（3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的條件下，得 SKIPIF 1 0 本題在解題過(guò)程中，不斷地把問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：解方程組和不等式組的問(wèn)題。 eq oac(,2) 逆向思維的訓(xùn)練逆

16、向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問(wèn)題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到解決。例13 已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，求證 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個(gè)不小于1.思路分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。證明 （反證法）假設(shè)原命題不成立，即 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 都小于1。則 SKIPIF 1 0 SKIPIF

17、 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個(gè)不小于1。 eq oac(,3) 一題多解訓(xùn)練 由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問(wèn)題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。例14 已知復(fù)數(shù) SKIPIF 1 0 的模為2，求 SKIPIF 1 0 的最大值。解法一（代數(shù)法）設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解法二（三角法）設(shè) SKIPIF 1

18、 0 yxOi-2i圖123Z則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解法三（幾何法） SKIPIF 1 0 如圖123 所示，可知當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 解法四（運(yùn)用模的性質(zhì)） SKIPIF 1 0 而當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 解法五（運(yùn)用模的性質(zhì)） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 第二章 數(shù)學(xué)思維的反思性一、概述數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見(jiàn)解，精細(xì)地檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信。在解決問(wèn)題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)

19、。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。二、思維訓(xùn)練實(shí)例(1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。 例1 已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 的范圍。錯(cuò)誤解法 由條件得 SKIPIF 1 0 2得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 2得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 + SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù) SKIPIF 1 0 ，其值是同時(shí)受 SKIPIF 1 0 制約的。當(dāng) SKIPIF 1 0 取

20、最大（?。┲禃r(shí)， SKIPIF 1 0 不一定取最大（?。┲?，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。正確解法 由題意有 SKIPIF 1 0 解得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 把 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的范圍代入得 SKIPIF 1 0 在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問(wèn)題。證明勾股定理：已知在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，求證 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤證法 在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

21、0 ，即 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中， SKIPIF 1 0 這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來(lái)的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺(jué)中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺(jué)。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。 (2) 驗(yàn)算的訓(xùn)練驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。通過(guò)驗(yàn)算，可以檢查解題過(guò)程的正確性，增強(qiáng)思維的反思性。已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1

22、 0 ，求 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤解法 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤分析 顯然，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，錯(cuò)誤原因，沒(méi)有注意公式 SKIPIF 1 0 成立的條件是 SKIPIF 1 0 因此在運(yùn)用 SKIPIF 1 0 時(shí)，必須檢驗(yàn) SKIPIF 1 0 時(shí)的情形。即： SKIPIF 1 0 實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 為何值時(shí)，圓 SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 有兩個(gè)公共點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 將圓 SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 聯(lián)立，消去 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩

23、個(gè)相等正根，得 SKIPIF 1 0 解之，得 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤分析 （如圖221；222）顯然，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。xyO圖222xyO圖221要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時(shí)，得 SKIPIF 1 0 解之，得 SKIPIF 1 0 因此，當(dāng) SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 時(shí)，圓 SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 有兩個(gè)公共點(diǎn)。思考題：實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 為何值時(shí)，圓 SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 ，有一個(gè)公共

24、點(diǎn)；有三個(gè)公共點(diǎn)；有四個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)。養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無(wú)理方程、無(wú)理不等式；對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。(3) 獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見(jiàn)解受思維定勢(shì)或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題目解法發(fā)表自己的見(jiàn)解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。解方程 SKIPIF 1 0 考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù) SKIPIF 1 0 ，它們的圖象無(wú)交點(diǎn)。所以

25、此方程無(wú)解。例6 設(shè) SKIPIF 1 0 是方程 SKIPIF 1 0 的兩個(gè)實(shí)根，則 SKIPIF 1 0 的最小值是（ ） SKIPIF 1 0 思路分析 本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 有的學(xué)生一看到 SKIPIF 1 0 ，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。 SKIPIF 1 0 原方程有兩個(gè)實(shí)根 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKI

26、PIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 的最小值是8；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 的最小值是18；這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。第三章 數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性一、概述在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過(guò)程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問(wèn)題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無(wú)誤。數(shù)學(xué)是一門(mén)具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過(guò)程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：概念模糊 概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和

27、外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。判斷錯(cuò)誤 判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱(chēng)為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。例如，“函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。推理錯(cuò)誤 推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個(gè)論證都是由推理來(lái)實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說(shuō)明思維不嚴(yán)密。例如，解不等式解 或 這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由推導(dǎo)時(shí)，沒(méi)有討論的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯(cuò)。二、思維訓(xùn)練實(shí)例思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。(1) 有關(guān)概念的訓(xùn)練概念是抽象思維的

28、基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開(kāi)概念?！罢_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提。”不等式 錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 當(dāng)時(shí)，真數(shù)且在所求的范圍內(nèi)（因 ），說(shuō)明解法錯(cuò)誤。原因是沒(méi)有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。正確解法 求過(guò)點(diǎn)的直線，使它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為，消去得：整理得 直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線為錯(cuò)誤分析 此處解法共有三處錯(cuò)誤：第一，設(shè)所求直線為時(shí)，沒(méi)有考慮與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相

29、交和相切兩種情況，而上述解法沒(méi)有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即而上述解法沒(méi)作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。正確解法 當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線相切。當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為平行軸，它正好與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線為則， 令解得所求直線為綜上，滿足條件的直線為：判斷的訓(xùn)練造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。注意定理、公式成立的條件數(shù)學(xué)上的定理和公式都

30、是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。實(shí)數(shù)，使方程至少有一個(gè)實(shí)根。錯(cuò)誤解法 方程至少有一個(gè)實(shí)根，或錯(cuò)誤分析 實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。正確解法 設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，則由于都是實(shí)數(shù)，解得 注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用我們知道：如果成立，那么成立，即，則稱(chēng)是的充分條件。如果成立，那么成立，即，則稱(chēng)是的必要條件。如果，則稱(chēng)是的充分必要條件。充分條件和必要條件

31、中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。例5 解不等式錯(cuò)誤解法 要使原不等式成立，只需 解得錯(cuò)誤分析 不等式成立的充分必要條件是：或 原不等式的解法只考慮了一種情況，而忽視了另一種情況，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯(cuò)誤解法的實(shí)質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。正確解法 要使原不等式成立，則PC(3,0)yxO圖321 MN或，或原不等式的解集為 例6（軌跡問(wèn)題）求與軸相切于右側(cè)，并與也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯(cuò)誤解法 如圖321所示，已知C的方程為設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上任意一

32、點(diǎn)，并且P與軸相切于M點(diǎn)，與C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得，即化簡(jiǎn)得 錯(cuò)誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒(méi)有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問(wèn)題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。防止以偏概全的錯(cuò)誤以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問(wèn)題的全部答案，從而表

33、現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。例7 設(shè)等比數(shù)列的全項(xiàng)和為.若，求數(shù)列的公比.錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 在錯(cuò)解中，由時(shí)，應(yīng)有在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比完全可能為1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。正確解法 若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意 可得 即因?yàn)椋运运?說(shuō)明 此題為1996年全國(guó)高考文史類(lèi)數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。避免直觀代替論證我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來(lái)方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來(lái)進(jìn)行推理，這就會(huì)使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。例8 （如圖322），具有公共軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面和所成的二面

34、角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。錯(cuò)誤解法 依題意，可知曲線是拋物線，在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是因?yàn)槎娼堑扔?，且所以設(shè)焦點(diǎn)在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，從而所以所以點(diǎn)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線，開(kāi)口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是錯(cuò)誤分析 上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為。正確解法 在內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)O圖323MNH（如圖323）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設(shè)，則 因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以O(shè)圖322即所求射影的方程為 推理的訓(xùn)練數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題

35、得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。例9 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程。錯(cuò)誤解法 依題意可設(shè)橢圓方程為則 ，所以 ，即 設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則 所以當(dāng)時(shí)，有最大值，從而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求橢圓的方程為錯(cuò)解分析 盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，由于點(diǎn)在橢圓

36、上，所以有，因此在求的最大值時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論。即：若，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值。于是從而解得所以必有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值，所以，解得 于是所求橢圓的方程為例10 求的最小值錯(cuò)解 正確解法 取正常數(shù)，易得其中“”取“”的充要條件是因此，當(dāng)?shù)谒恼?數(shù)學(xué)思維的開(kāi)拓性一、概述數(shù)學(xué)思維開(kāi)拓性指的是對(duì)一個(gè)問(wèn)題能從多方面考慮；對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多種角度觀察；對(duì)一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部?jī)?nèi)容，使之融會(huì)貫通”，這里所說(shuō)的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來(lái)完成的。通過(guò)用不

37、同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開(kāi)拓解題思路，鞏固所學(xué)知識(shí)；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開(kāi)發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡(jiǎn)捷解法。數(shù)學(xué)思維的開(kāi)拓性主要體現(xiàn)在：一題的多種解法一題的多種解釋如“1”這個(gè)數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡(jiǎn)捷?！?”可以變換為： SKIPIF 1 0 ，等等。思維訓(xùn)練實(shí)例例1 已知 SKIPIF 1 0 求證： SKIPIF 1 0 分析1 用比較法。本題只要證 SKIPIF 1 0 為了同時(shí)利用兩個(gè)已知條件，只需要觀察到兩式相

38、加等于2便不難解決。證法1 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 分析2 運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運(yùn)用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過(guò)程必須步步可逆，并注意書(shū)寫(xiě)規(guī)范。證法2 要證 SKIPIF 1 0 只需證 SKIPIF 1 0 x SKIPIF 1 0 Myd圖421O即 SKIPIF 1 0 因?yàn)?SKIPIF 1 0 所以只需證 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 因?yàn)樽詈蟮牟坏仁匠闪?，且步步可逆。所以原不等式成立。分? 運(yùn)

39、用綜合法（綜合運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進(jìn)行推理、運(yùn)算，從而達(dá)到證明需求證的不等式成立的方法）證法3 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 分析4 三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于1的形式，符合三角函數(shù)同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件，具有進(jìn)行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運(yùn)算關(guān)系，給證明帶來(lái)方便。證法4 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 可設(shè) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 分析5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件 SKIPIF 1 0 可

40、看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的單位圓，而 SKIPIF 1 0 聯(lián)系到點(diǎn)到直線距離公式，可得下面證法。證法5 （如圖4-2-1）因?yàn)橹本€ SKIPIF 1 0 經(jīng)過(guò)圓 SKIPIF 1 0 的圓心O，所以圓上任意一點(diǎn) SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離都小于或等于圓半徑1，即 SKIPIF 1 0 簡(jiǎn)評(píng) 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法?？稍诰唧w應(yīng)用過(guò)程中，根據(jù)題目的變化的需要適當(dāng)進(jìn)行選擇。例2 如果 SKIPIF 1 0 求證： SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。分析1

41、 要證 SKIPIF 1 0 ，必須有 SKIPIF 1 0 成立才行。此條件應(yīng)從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開(kāi)已知條件去尋找轉(zhuǎn)換。證法1 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。分析2 由于已知條件具有 SKIPIF 1 0 輪換對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)，此特點(diǎn)的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運(yùn)算帶來(lái)便利。證法2 設(shè) SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 于是，已知條件可化為： SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。分析3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式 SK

42、IPIF 1 0 的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)引人注目，提供了構(gòu)造一個(gè)適合上述條件的二次方程的求解的試探的機(jī)會(huì)。證法3 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，由已知條件知 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，關(guān)于 SKIPIF 1 0 的一元二次方程： SKIPIF 1 0 其判別式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故方程有等根，顯然 SKIPIF 1 0 1為方程的一個(gè)根，從而方程的兩根均為1，由韋達(dá)定理知 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。簡(jiǎn)評(píng)：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡(jiǎn)單明了，是最好的解法，其換元的技

43、巧有較大的參考價(jià)值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強(qiáng)，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。已知 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的最小值。分析1 雖然所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個(gè)字母 SKIPIF 1 0 ，但已知條件恰有 SKIPIF 1 0 的關(guān)系式，可用代入法消掉一個(gè)字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問(wèn)題。解法1 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 二次項(xiàng)系數(shù)為 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 有最小值。 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 S

44、KIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 分析2 已知的一次式 SKIPIF 1 0 兩邊平方后與所求的二次式 SKIPIF 1 0 有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。解法2 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)取等號(hào)。 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 分析3 配方法是解決求最值問(wèn)題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的形式，從而達(dá)到求最值的目的。解法3 設(shè) SKIPIF

45、1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 分析4 因?yàn)橐阎獥l件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見(jiàn)方程的特點(diǎn)，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。 SKIPIF 1 0 11Oxy SKIPIF 1 0 圖422解法4 如圖422， SKIPIF 1 0 表示直線 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 表示原點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 0 上的點(diǎn) SKIPIF 1 0 的距離的平方。顯然其中以原點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 0 的距離最短。此時(shí)， SKIPIF 1 0 即 SKIP

46、IF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 注 如果設(shè) SKIPIF 1 0 則問(wèn)題還可轉(zhuǎn)化為直線 SKIPIF 1 0 與圓 SKIPIF 1 0 有交點(diǎn)時(shí)，半徑 SKIPIF 1 0 的最小值。簡(jiǎn)評(píng) 幾種解法都有特點(diǎn)和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點(diǎn)，與相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，所以具有靈巧簡(jiǎn)捷的優(yōu)點(diǎn)，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。由圓 SKIPIF 1 0 外一點(diǎn) SKIPIF 1 0 引圓的割線交圓于 SKIPIF 1 0 兩點(diǎn)，求弦 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 0 的軌跡方程。分析1 （直接法）根據(jù)題設(shè)

47、條件列出幾何等式，運(yùn)用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點(diǎn)的一些性質(zhì)，圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，可得下面解法。圖423PMBAOyx解法1 如圖423，設(shè)弦 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 中，由兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理有 SKIPIF 1 0 整理，得 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 分析2 （定義法）根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的曲線類(lèi)型，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程。解法2 因?yàn)?SKIPIF

48、1 0 是 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 0 ，所以點(diǎn) SKIPIF 1 0 的軌跡是以 SKIPIF 1 0 為直徑的圓，圓心為 SKIPIF 1 0 ,半徑為 SKIPIF 1 0 該圓的方程為： SKIPIF 1 0 化簡(jiǎn)，得 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 分析3 （交軌法）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問(wèn)題。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 0 可看作直線 SKIPIF 1 0 與割線 SKIPIF 1 0 的交點(diǎn)，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。解法3 設(shè)過(guò) SKIPIF 1 0 點(diǎn)的割線的斜率為 SKIPIF 1 0 則過(guò) SKIPIF 1

49、 0 點(diǎn)的割線方程為： SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 且過(guò)原點(diǎn)， SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 這兩條直線的交點(diǎn)就是 SKIPIF 1 0 點(diǎn)的軌跡。兩方程相乘消去 SKIPIF 1 0 化簡(jiǎn)，得： SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 分析4 （參數(shù)法）將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)。由于動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 0 隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 0 的坐標(biāo)是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。解法4 設(shè)過(guò) SKIPIF 1 0 點(diǎn)的割線方程為： SKIPIF 1 0

50、 它與圓 SKIPIF 1 0 的兩個(gè)交點(diǎn)為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 0 .解方程組 SKIPIF 1 0 利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得 SKIPIF 1 0 點(diǎn)的軌跡方程為： SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 分析5 （代點(diǎn)法）根據(jù)曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程。設(shè)而不求，代點(diǎn)運(yùn)算。從整體的角度看待問(wèn)題。這里由于中點(diǎn) SKIPIF 1 0 的坐標(biāo) SKIPIF 1 0 與兩交點(diǎn) SKIPIF 1 0 通過(guò)中點(diǎn)公式聯(lián)系起來(lái)，又點(diǎn) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 構(gòu)成4點(diǎn)共線的和諧關(guān)系，根據(jù)

51、它們的斜率相等，可求得軌跡方程。解法5 設(shè) SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 兩式相減，整理，得 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 即為 SKIPIF 1 0 的斜率，而 SKIPIF 1 0 對(duì)斜率又可表示為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 化簡(jiǎn)并整理，得 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 簡(jiǎn)評(píng) 上述五種解法都是求軌跡問(wèn)題的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲線是圓的條件，而解法4、5適用于一般的過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 0 且與二次曲線 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 兩點(diǎn)，求 SKIPIF

52、1 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 0 的軌跡問(wèn)題。具有普遍意義，值得重視。對(duì)于解法5通常利用 SKIPIF 1 0 可較簡(jiǎn)捷地求出軌跡方程，比解法4計(jì)算量要小，要簡(jiǎn)捷得多。第五章 數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程 數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是指從理解問(wèn)題開(kāi)始，從經(jīng)過(guò)探索思路，轉(zhuǎn)換問(wèn)題直至解決問(wèn)題，進(jìn)行回顧的全過(guò)程的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)中，通?？蓪⒔忸}過(guò)程分為四個(gè)階段：第一階段是審題。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識(shí)信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解題作好知識(shí)上的準(zhǔn)備。 第二階段是尋求解題途徑。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類(lèi)型，選擇最

53、優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃。 第三階段是實(shí)施計(jì)劃。將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過(guò)與已知條件所選擇的根據(jù)作對(duì)比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^(guò)程的方法，并且書(shū)寫(xiě)解答與結(jié)果。第四階段是檢查與總結(jié)。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。探討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識(shí)。將新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的開(kāi)始。第二階段的轉(zhuǎn)換問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是思維策略的選擇和調(diào)整過(guò)程。第三階段的計(jì)劃實(shí)施是解決問(wèn)題過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思

54、維過(guò)程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。第四階段的反思問(wèn)題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過(guò)程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過(guò)程的開(kāi)始。通過(guò)以下探索途徑來(lái)提高解題能力：研究問(wèn)題的條件時(shí)，在需要與可能的情況下，可畫(huà)出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。因?yàn)檫@意味著你對(duì)題的整個(gè)情境有了清晰的具體的了解。清晰地理解情境中的各個(gè)元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。深入地分析并思考習(xí)題敘述中的每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號(hào)）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能

55、否有重要發(fā)現(xiàn)。盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到過(guò)類(lèi)似題目。仔細(xì)考慮題意是否有其他不同理解。題目的條件有無(wú)多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)。通過(guò)目標(biāo)找出哪些理論的法則同題目或其他元素有聯(lián)系。如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學(xué)方法，就盡可能用這種方法的語(yǔ)言表示題的元素，以利于解題思路的展開(kāi)。以上途徑特別有利于開(kāi)始解題者能迅速“登堂入室”，找到解題的起步點(diǎn)。在制定計(jì)劃尋求解法階段，最好利用下面這套探索方法：設(shè)法將題目與你會(huì)解的某一類(lèi)題聯(lián)系起來(lái)?；蛘弑M可能找出你熟悉的、最符合已知條件的解題方法。記?。侯}的目標(biāo)是尋求解答的主要方向。在仔細(xì)分析目標(biāo)

56、時(shí)即可嘗試能否用你熟悉的方法去解題。解了幾步后可將所得的局部結(jié)果與問(wèn)題的條件、結(jié)論作比較。用這種辦法檢查解題途徑是否合理，以便及時(shí)進(jìn)行修正或調(diào)整。嘗試能否局部地改變題目，換種方法敘述條件，故意簡(jiǎn)化題的條件（也就是編擬條件簡(jiǎn)化了的同類(lèi)題）再求其解。再試試能否擴(kuò)大題目條件（編一個(gè)更一般的題目），并將與題有關(guān)的概念用它的定義加以替代。分解條件，盡可能將分成部分重新組合，擴(kuò)大騍條件的理解。嘗試將題分解成一串輔助問(wèn)題，依次解答這些輔助問(wèn)題即可構(gòu)成所給題目的解。研究題的某些部分的極限情況，考察這樣會(huì)對(duì)基本目標(biāo)產(chǎn)生什么影響。改變題的一部分，看對(duì)其他部分有何影響；依據(jù)上面的“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果

57、，嘗試能否對(duì)題的目標(biāo)作出一個(gè)“展望”。萬(wàn)一用盡方法還是解不出來(lái)，你就從課本中或科普數(shù)學(xué)小冊(cè)子中找一個(gè)同類(lèi)題，研究分析其現(xiàn)成答案，從中找出解題的有益啟示。數(shù)學(xué)解題的技巧為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”，即把面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過(guò)對(duì)新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，常用的解題策略有：熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。熟悉化策略所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒(méi)有接觸過(guò)的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過(guò)的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來(lái)分析，任何一道解答題，