2022年新高考數(shù)學(xué)二輪提升數(shù)列專題第19講《數(shù)列的取整問題》（原卷版）

1、第19講 數(shù)列的取整問題 一、單選題1（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，記表示不超過x的最大整數(shù)，.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使得成立的n的最小值為（ ）A1179B1178C2019D20202（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)，如3.144，3.143.已知數(shù)列an滿足：a11，an1ann1(nN*)，則（ ）A1B2C3D43（2021江西省吉水縣第二中學(xué)高一期中）高斯函數(shù)，也稱為取整函數(shù)，即表示不超過x的最大整數(shù). 如: 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（ ）A3B14C15D164（2021江西南昌市八一中學(xué)高一月考）對(duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過的最大

2、整數(shù)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則（ ）A155B167C173D1795（2021河南高二月考（理）定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）AB2CD6（2021四川射洪模擬預(yù)測(cè)（文）定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則的值為（ ）ABCD7（2021全國(guó)高三月考（理）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)在數(shù)列中，記為不超過的最大整數(shù)，則稱數(shù)列為的取整數(shù)列，設(shè)數(shù)列滿

3、足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）ABCD8（2021浙江省杭州第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）定義表示不超過的最大整數(shù)，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則滿足等式（ ）A30B29C28D279（2021全國(guó)高三專題練習(xí)（理）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.若表示不超過x的最大整數(shù)，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和（ ）A1010B1011C2021D202210（2021全國(guó)高三專題練習(xí)（文）已知數(shù)列滿足，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則下列說法正確的是（ ）A存在，使得B是等差數(shù)列C的個(gè)位數(shù)是4D的個(gè)位數(shù)是311（2021青海西寧一模（理）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，設(shè)，記表示不超過的最大整數(shù)設(shè)，若不等

4、式，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）ABCD12（2021全國(guó)高三專題練習(xí)（理）已知函數(shù)(，)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.定義是函數(shù)的值域中的元素個(gè)數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列對(duì)均成立，則最小正整數(shù)的值為（ ）ABCD13（2021浙江高三專題練習(xí)）如果，就稱表示的整數(shù)部分，表示的小數(shù)部分.已知數(shù)列滿足，則等于（）ABCD二、多選題14（2021重慶南開中學(xué)高三月考）已知數(shù)列滿足，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則下列說法正確的是（ ）A存在，使得B是等比數(shù)列C的個(gè)位數(shù)是5D的個(gè)位數(shù)是1三、填空題15（2021上海華師大二附中高三月考）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且），若表示不超過x的最大

5、整數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則_16（2021重慶西南大學(xué)附中高三開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（且）若表示不超過x的最大整數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為_17（2021江西省石城中學(xué)高一月考（文）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則_（其中表少不超過的最大整數(shù)）18（2021江西省銅鼓中學(xué)高一月考（理）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則不超過的最大整數(shù)是_19（2021全國(guó)高三專題練習(xí)（文）已知表示不超過的最大整數(shù)，例如：，在數(shù)列中，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 _.20（2021四川石室中學(xué)一模（文）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在上，表示不超過的最大整數(shù)，則_21（2021全國(guó)全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）黎曼猜想由

6、數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則_（其中表示不超過的最大整數(shù)）.22（2021上海位育中學(xué)三模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，用表示實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，如，記，則數(shù)列的前15項(xiàng)的和為_.四、雙空題23（2021北京師大附中高一月考）定義函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如：， 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?）_.（2）集合中元素的個(gè)數(shù)為_.24（2021福建三明一中模擬預(yù)測(cè)）黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入

7、手已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足，則_，_（其中表示不超過x的最大整數(shù)）25（2021廣東珠海高三月考）定義函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則（1）_；（2）_五、解答題26（2021河南高三月考（文）已知公比大于的等比數(shù)列滿足，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，記在區(qū)間（）上值域包含的元素個(gè)數(shù)為.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.27（2021福建高三月考）等差數(shù)列中，（1）求的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，28（2021福建泉州五中高二期中）已知函數(shù)的最小值為0，其中.（1）求的值（2）若對(duì)任

8、意的，有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）記，為不超過的最大整數(shù)，求的值.29（2021廣東南海高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，令，其中表示不超過的最大整數(shù)，.（1）求；（2）求；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和.30（2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記表示不超過的最大整數(shù)，如，. 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.31（2021浙江模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，.（1）數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，求使成立(表示不超過的最大整數(shù))的最大整數(shù)的值.32（2021全國(guó)高三專題練習(xí)（理）高斯函數(shù)中用表示不超過的最大整數(shù)，對(duì)應(yīng)的為的小數(shù)部分，已知數(shù)列的前項(xiàng)和

9、為，數(shù)列滿足已知函數(shù)在上單調(diào)遞減（1）若數(shù)列，其前項(xiàng)為，求（2）若數(shù)列（即為的小數(shù)部分），求的最大值33（2021廣東汕頭三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若表示不超過x的最大整數(shù)，如，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.34（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求證；數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若表示不超過的最大整數(shù)，如，求證：.35（2021浙江溫嶺中學(xué)高三月考）正項(xiàng)等差數(shù)列和等比數(shù)列bn滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，求最大整數(shù)，使得.36（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）在；是與的等比中項(xiàng)，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.問題：已知為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，其前