新高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題《圓錐曲線(xiàn)》第26講 外接圓問(wèn)題（解析版）

1、第26講 外接圓問(wèn)題一解答題 1已知拋物線(xiàn)，是的準(zhǔn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求切線(xiàn)，的方程；（2）設(shè)圓是的外接圓，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，求圓的方程【解答】解：（1）拋物線(xiàn)，準(zhǔn)線(xiàn)的方程，點(diǎn)在軸上，設(shè)，且，由，求導(dǎo)，解得，切線(xiàn)的方程為，即，同理可得切線(xiàn)的方程為，（2）如圖：設(shè)點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為，由，即切線(xiàn)，互相垂直即是直角三角形，的外接圓直徑為弦當(dāng)圓的面積最小時(shí)，即是最短時(shí)，此時(shí)垂直軸，的外接圓圓心為，圓的方程為2已知定點(diǎn)，定直線(xiàn)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切（）求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)，作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)相交于

2、點(diǎn)，求外接圓面積的最小值【解答】解：（）設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，依題意設(shè)，則有化簡(jiǎn)得所以點(diǎn)的軌跡的方程為（）設(shè)，代入中，得設(shè)，則，所以因?yàn)椋?，所以所以直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為因?yàn)?，所以，即為直角三角形所以的外接圓的圓心為線(xiàn)段的中點(diǎn)，線(xiàn)段是直徑因?yàn)椋援?dāng)時(shí)線(xiàn)段最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為3已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，、是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于另一點(diǎn)，且求橢圓的離心率；設(shè)直線(xiàn)上有一點(diǎn)，在的外接圓上，求的值【解答】解：（），且，是和的中點(diǎn)，不妨設(shè)，由，代入得：，即橢圓的離心率；（）由（）知，得，橢圓的方程可設(shè)為若，則，線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)

3、是外接圓的圓心因此，外接圓的方程為直線(xiàn)的方程為，于是點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組：，由，解得故；若，則，同理可得4已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于另一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求外接圓的方程【解答】解：（1）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓的離心率為，即聯(lián)立解得：，橢圓的方程為；（2）橢圓的方程為，設(shè)，則，且，即，聯(lián)立解得：，或，或，當(dāng)為時(shí)，的外接圓是以為圓心，1為半徑的圓，此時(shí)外接圓的方程為：；當(dāng)為時(shí)，設(shè)的外接圓方程為：，則，解得，此時(shí)外接圓的方程為：，綜上所述，的外接圓的方程為：或5已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過(guò)拋物線(xiàn)的焦

4、點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，過(guò)作兩條直線(xiàn)和，其斜率分別為、，滿(mǎn)足，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，使得，求證：的外接圓過(guò)點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在上的投影為，求的最大值【解答】（1）解：由已知，設(shè)橢圓的方程為，則，離心率為，橢圓的方程為；（2）證明：由題意，并且和，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，與，與也分別關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，的方程代入橢圓方程，可得，或，或，直線(xiàn)是橢圓的上半部分相交，和的方程分別為或，令，可得，四點(diǎn)共圓，的外接圓過(guò)點(diǎn)；（3）設(shè)，則，由拋物線(xiàn)的定義及梯形的中位線(xiàn)定理可得，時(shí)，的最大值為6如圖，在平面直角坐標(biāo)系

5、中，已知，直線(xiàn)與線(xiàn)段、分別交于點(diǎn)、（）當(dāng)時(shí)，求以，為焦點(diǎn)，且過(guò)中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交于點(diǎn)，記的外接圓為圓求證：圓心在定直線(xiàn)上；圓是否恒過(guò)異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)？若過(guò)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（）設(shè)橢圓的方程為，當(dāng)時(shí)，中點(diǎn)為，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（）證明：直線(xiàn)；所以可得，直線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)的外接圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為圓心在定直線(xiàn)上；由可得圓的方程為：整理可得，且聯(lián)立此兩方程解得，或，圓恒過(guò)異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)為，7已知的邊邊所在直線(xiàn)的方程為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，點(diǎn)在邊所在直線(xiàn)上且滿(mǎn)足求邊所在直線(xiàn)的方程；求的外接圓的方程；若點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為正整數(shù)試討論在的

6、外接圓上是否存在點(diǎn)，使得成立？說(shuō)明理由【解答】解：，又在上，為，（1分）又邊所在直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)的斜率為（2分）又因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以邊所在直線(xiàn)的方程為即（3分）與的交點(diǎn)為，所以由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，（5分）（6分）又（7分）從外接圓的方程為：（8分）若在的外接圓圓上存在點(diǎn)，使得成立，則為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)所以當(dāng)與圓相離時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；當(dāng)與圓相交或相切時(shí)則存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)由，知的斜率為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為（10分）圓的圓心到直線(xiàn)的距離為（11分）當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)與圓相交，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)與圓相交，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)與圓相離，不存在滿(mǎn)足條件

7、的點(diǎn)（14分）8過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，（） 證明：為定值；（） 記的外接圓的圓心為點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，試判斷以為直徑的圓是否恒過(guò)點(diǎn)？并說(shuō)明理由【解答】解：（）證明：法1：由，得，所以所以直線(xiàn)的斜率為因?yàn)辄c(diǎn)，和，在拋物線(xiàn)上，所以，所以直線(xiàn)的方程為（1分）因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，即（2分）同理，（3分）所以，是方程的兩個(gè)根所以（4分）又，（5分）所以為定值（6分）法2：設(shè)過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)相切的切線(xiàn)方程為，（1分），消去得，由，化簡(jiǎn)得（2分）所以（3分）由，得，所以所以直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為所以，即（4分）又，（5分）所以為定值（6分）（） 法1：直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)方程為，

8、（7分）由于，所以直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)方程為（8分）同理直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)方程為（9分）由解得，所以點(diǎn)（10分）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則由于，（11分）所以所以以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)（12分）另法：以為直徑的圓的方程為（11分）把點(diǎn)代入上方程，知點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解所以以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)（12分）法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的外接圓方程為，由于點(diǎn)，在該圓上，則，兩式相減得，（7分）由（）知，代入上式得，（8分）當(dāng)時(shí)，得，假設(shè)以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，則，即，得，（9分）由解得，（10分）所以點(diǎn)（11分）當(dāng)時(shí)，則，點(diǎn)所以以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)（12分）9已知拋物線(xiàn)，為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，（1）當(dāng)?shù)?/p>

9、坐標(biāo)為時(shí)，求過(guò)，三點(diǎn)的圓的方程；（2）若，是上的任意點(diǎn)，求證：點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為；（3）證明：以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)【解答】解：（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，因?yàn)榈降闹悬c(diǎn)的距離為2，從而過(guò)，三點(diǎn)的圓的方程為（2）證明：拋物線(xiàn)，導(dǎo)數(shù)為，可得，是上的任意點(diǎn)，點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為；（3）證明：設(shè)切點(diǎn)分別為，切線(xiàn)的方程為，即，切線(xiàn)的方程為，即，又因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以得，又因?yàn)榍芯€(xiàn)也過(guò)點(diǎn)，所以得，所以，是方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得，因?yàn)?，所以，將，代入，得，則以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)10（2020廣州一模）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（1）判斷點(diǎn)是否在直線(xiàn)上？說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程【解答】解：（1）由拋物線(xiàn)的方程可得頂點(diǎn)，由題意可得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程：，整理可得：，即，因?yàn)椋?，所以，解得，滿(mǎn)足判別式大于0，即直線(xiàn)方程為，所以恒過(guò)可得點(diǎn)在