薄壁槽形截面壓桿彈性整體屈曲數(shù)值計(jì)算研究

1、薄壁槽形截面壓桿彈性整體屈曲數(shù)值計(jì)算研究黃麗華，史婷偉，徐嘉摘要：為研究薄壁槽鋼整體屈曲下的數(shù)值算法的適用性，以4種不同桿端約束下的薄壁槽形截面壓桿為研究對(duì)象，根據(jù)廣義梁理論確定其發(fā)生彈性整體屈曲的有效長(zhǎng)度及臨界荷載，與開(kāi)口薄壁理想壓桿的線性及非線性解析解進(jìn)行對(duì)比，得到一致的臨界荷載。利用ABAQUS有限元分析軟件建立殼體有限元模型，采用桿端截面形心集中加載，依據(jù)約束情況確定桿端約束，以及根據(jù)有效長(zhǎng)度施加不同初始缺陷的計(jì)算模型，開(kāi)展特征值算法和隱式弧長(zhǎng)法數(shù)值計(jì)算分析。計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)開(kāi)口薄壁壓桿的有效長(zhǎng)度足夠大時(shí)，臨界荷載的特征值數(shù)值解與理論解一致，弧長(zhǎng)法計(jì)算得到的非線性解誤差相對(duì)較大。當(dāng)有效

2、長(zhǎng)度不夠大時(shí)，弧長(zhǎng)法計(jì)算得到的極限荷載與理論解基本一致，且弧長(zhǎng)法可有效追蹤后屈曲路徑。關(guān)鍵詞：薄壁槽鋼截面；壓桿；整體屈曲；后屈曲；數(shù)值計(jì)算；臨界荷載；弧長(zhǎng)法隨著冶金技術(shù)的不斷發(fā)展和鋼產(chǎn)量的急劇增加，冷彎薄壁型鋼以其自身突出的優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在桁架結(jié)構(gòu)、塔架結(jié)構(gòu)以及各類(lèi)板殼結(jié)構(gòu)的格構(gòu)支撐中。薄壁構(gòu)件的承載力主要由穩(wěn)定條件控制，其中細(xì)長(zhǎng)的受壓薄壁構(gòu)件，常發(fā)生彈性整體失穩(wěn)。由于不同截面形式的薄壁構(gòu)件的失穩(wěn)形式復(fù)雜多樣，薄壁構(gòu)件的穩(wěn)定性計(jì)算研究一直以來(lái)受到廣泛關(guān)注。開(kāi)口薄壁構(gòu)件彈性整體屈曲分析的常用理論包括忽略位移耦合項(xiàng)的小變形理論，以及包含位移耦合項(xiàng)的非線性大變形理論。這兩種理論都能給出理想壓桿平衡

3、形式發(fā)生變化時(shí)的臨界荷載，且基于MOHRI等提出的非線性大變形理論，能夠確定壓桿的后屈曲極限承載力。由于實(shí)際壓桿的不完善性，理論計(jì)算結(jié)果通常是實(shí)際壓桿承載力的上限值?；诒“搴土旱姆€(wěn)定性理論與數(shù)值分析相結(jié)合的半解析方法，常用于實(shí)際問(wèn)題的分析和工程設(shè)計(jì)。有效寬度法（effective width method，EWM）是一種把截面單元化，通過(guò)在設(shè)計(jì)應(yīng)力下使用有效的板寬來(lái)計(jì)算后屈曲承載力方法，但隨著構(gòu)件截面形式的復(fù)雜化，板件的有效寬度計(jì)算過(guò)程變得非常煩瑣，在計(jì)算中難以實(shí)現(xiàn)。SILVESTRE等基于廣義梁理論（generalized beam theory，GBT），推導(dǎo)了卷邊可傾斜槽鋼和Z形鋼構(gòu)件

4、在軸壓、純彎曲和偏壓下的彈性畸變屈曲荷載計(jì)算公式。不足之處在于需編程計(jì)算，使用不方便。里斯本大學(xué)科研人員基于廣義梁理論開(kāi)發(fā)了GBTUL計(jì)算軟件，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)棱柱薄壁構(gòu)件進(jìn)行彈性屈曲和振動(dòng)分析。該程序利用廣義梁模態(tài)特征，使構(gòu)件變形模式信息化和可視化，通過(guò)開(kāi)展變形模式分析，可深入了解變形機(jī)制。直接強(qiáng)度法（direct strength method，DSM）是由SCHAFER提出、采用全截面特性進(jìn)行冷彎薄壁型鋼承載力計(jì)算的方法。該方法不僅能考慮截面畸變屈曲對(duì)構(gòu)件承載力的影響，還無(wú)需對(duì)截面的各組成板件進(jìn)行有效截面及其特性的計(jì)算，使計(jì)算更為簡(jiǎn)便，特別適用于求解截面形狀復(fù)雜的構(gòu)件。但在某些情況下，直接強(qiáng)度

5、法的精度低于有效寬度法。SCHAFER等將傳統(tǒng)有限條法（finite strip method，F(xiàn)SM）與約束有限條法（constrained finite strip method，CFSM）結(jié)合起來(lái)開(kāi)發(fā)的CUFSM軟件，可對(duì)冷彎薄壁型鋼構(gòu)件進(jìn)行屈曲分析，區(qū)分不同屈曲模式及其交互作用，并被廣泛應(yīng)用。隨著荷載不斷增加，實(shí)際軸壓薄壁結(jié)構(gòu)通常出現(xiàn)線性屈曲-非線性后屈曲-壓潰3個(gè)階段，結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性后屈曲并不意味著結(jié)構(gòu)失去了承載力，仍有可能繼續(xù)承載。后屈曲行為包含了幾何非線性和材料非線性，因此很難通過(guò)解析方法分析失穩(wěn)過(guò)程。目前，有限元方法已成為求解殼體結(jié)構(gòu)屈曲及后屈曲最有效的途徑，許多大型通用有限元

6、軟件均包含了以非線性理論為基礎(chǔ)的板殼結(jié)構(gòu)屈曲及后屈曲求解模塊，并均已在各種航空結(jié)構(gòu)上得到了廣泛應(yīng)用。GUNALAN等通過(guò)ABAQUS軟件分析卷邊槽鋼在兩端固接條件下的承載力，得出澳大利亞-新西蘭標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范中的設(shè)計(jì)值偏低的結(jié)論。張磊等考慮橫向正應(yīng)力的影響，提出了新的薄壁構(gòu)件穩(wěn)定計(jì)算方法，對(duì)ANSYS軟件中梁?jiǎn)卧蜌んw單元計(jì)算結(jié)果開(kāi)展了討論，提出新的殼體單元模型。熊曉莉等對(duì)開(kāi)口薄壁柱彎扭屈曲中的Wagner效應(yīng)進(jìn)行了研究，揭示出薄壁構(gòu)件彎扭屈曲時(shí)的三維空間變形可簡(jiǎn)化為繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的本質(zhì)。韓慶華等對(duì)工程中可能出現(xiàn)的非線性屈曲計(jì)算值大于特征值屈曲計(jì)算值的機(jī)理進(jìn)行探討，分析了缺陷對(duì)不同類(lèi)型的屈曲臨界點(diǎn)

7、的影響。對(duì)柱殼結(jié)構(gòu)求解非線性后屈曲問(wèn)題可采用Newton-Raphon平衡迭代法，但會(huì)出現(xiàn)收斂問(wèn)題。RIKS提出了位移控制弧長(zhǎng)法（arc-length method，ALM），有效解決了收斂問(wèn)題。后被POWELL等和CRISFIELD加以修正和發(fā)展，成為現(xiàn)在結(jié)構(gòu)隱式非線性分析普遍采用的方法。該方法能夠追蹤整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡路徑，即能夠跨越屈曲分叉點(diǎn)或極限強(qiáng)度點(diǎn)，較為準(zhǔn)確有效地追蹤整個(gè)失穩(wěn)過(guò)程中的實(shí)際荷載、位移關(guān)系，從而獲得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前后的全部信息。為建立合理的數(shù)值分析模型，有效開(kāi)展開(kāi)口薄壁壓桿彈性穩(wěn)定性分析，本文以薄壁槽形截面細(xì)長(zhǎng)壓桿為研究對(duì)象，利用廣義梁理論確定壓桿發(fā)生整體彈性失穩(wěn)的有效長(zhǎng)度和臨界

8、荷載，推導(dǎo)開(kāi)口薄壁壓桿線性及非線性整體失穩(wěn)的理論解，以此為依據(jù)探討有限元數(shù)值分析模型的合理性，對(duì)比廣義特征值法和弧長(zhǎng)法的數(shù)值分析結(jié)果，建立開(kāi)口薄壁受壓構(gòu)件的整體屈曲分析的可靠數(shù)值算法。01開(kāi)口薄壁構(gòu)件彈性屈曲理論1.1 線性特征值理論任意薄壁構(gòu)件的簡(jiǎn)化圖形如圖1所示。其中，O為形心；坐標(biāo)軸為形心主慣性軸；C為剪切中心，也稱(chēng)為彎曲中心。圖1 薄壁構(gòu)件簡(jiǎn)化圖形Fig.1 Simplified diagram of thin-walled member經(jīng)典的薄壁桿件穩(wěn)定微分方程為：式中：E為彈性模量;G為剪切模量;P為軸向壓力;v為剪切中心y向位移;w為剪切中心x向位移;x為軸向轉(zhuǎn)角;（yc，zc）

9、為剪切中心的坐標(biāo);J 為自由扭轉(zhuǎn)慣性矩;Iw為主扇形慣性矩。得臨界荷載的行列式為：1.2 非線性彈性屈曲理論考慮大變形和耦合項(xiàng)的平衡方程表達(dá)式為：可以使用后向差分公式來(lái)精確求解式（6）式（8）。對(duì)于兩端鉸接構(gòu)件，本文采用正弦函數(shù)的近似位移函數(shù)，式中：v0、w0和0均為位移幅值。將近似位移函數(shù)式（9）帶入微分方程組式（6）式（8），利用伽遼金近似方法，得出下面的非線性方程組：由于3個(gè)耦合的代數(shù)方程組中有4個(gè)變量，首先設(shè)置一系列0，本文采用HOM4PS軟件求解。HOM4PS是基于同倫法求解該非線性方程組的軟件。因此可得到失穩(wěn)荷載和位移幅值。其他三種邊界條件采用類(lèi)似方法求解，設(shè)置位移函數(shù)如下：02幾

10、何模型及理論解2.1 計(jì)算模型本文以薄壁槽形截面壓桿為研究對(duì)象，如圖2所示。幾何尺寸為：壁厚t為 0.7mm，寬度b為15mm，高度h為30mm，桿件長(zhǎng)度為L(zhǎng)。整個(gè)結(jié)構(gòu)采用鋼板冷彎制成，材料彈性模量為201 GPa，泊松比為0.35。圖2 槽鋼幾何尺寸（單位：mm）Fig.2 Geometric size of the channel（Unit：mm）2.2 廣義梁理論解利用GBTUL軟件，根據(jù)廣義梁理論（GBT）對(duì)空間薄壁構(gòu)件進(jìn)行整體屈曲分析。構(gòu)件截面劃分為連續(xù)折板，屈曲模態(tài)分解為一系列截面基本變形模態(tài)的線性組合，根據(jù)弗拉索夫假設(shè)和各基本模態(tài)單位翹曲、橫向位移構(gòu)造位移函數(shù)，計(jì)算截面剛度系數(shù)矩

11、陣?？紤]構(gòu)件的長(zhǎng)度和邊界約束情況，建立GBT平衡微分方程和邊界條件，利用有限差分法、有限元法或伽遼金法求解次特征值問(wèn)題，最終通過(guò)線性組合求得此構(gòu)件屈曲應(yīng)力及相應(yīng)屈曲模態(tài)。利用GBTUL軟件，四種約束條件下的一階模態(tài)的彈性失穩(wěn)荷載Pcr隨柱長(zhǎng)的變化曲線如圖3所示。分析四種邊界條件下的屈曲模式，得到桿件發(fā)生彈性整體屈曲的最小長(zhǎng)度為650mm。四種邊界條件下的臨界荷載值如表1所示。由結(jié)果可見(jiàn)，根據(jù)廣義梁理論計(jì)算出的臨界荷載與彈性解析解一致。圖3 四種約束條件下荷載-長(zhǎng)度曲線Fig.3 Load-length curves under four different constraints2.3 屈曲荷

12、載的解析解將上述桿件幾何尺寸代入式（5）和式（11）式（13），利用HOM4PS程序，求解非線性微分方程組，得到不同桿端約束下壓桿承載力的解析解，如表1所示。由計(jì)算結(jié)果可知，根據(jù)線性和非線性控制方程計(jì)算得到的小變形下臨界荷載值基本相同，非線性分析的極限承載力（Pu-nonlinear）大于等于臨界荷載（Pcr-nonlinear）。采用非線性方程組計(jì)算大變形時(shí)，得到的后屈曲路徑如圖4所示。除一端固接、一端自由的邊界條件下，荷載隨位移的增大而減小外，其他三種約束形式下，隨著彈性變形的增大，壓桿承載力繼續(xù)增加，由此可確定理想壓桿失穩(wěn)過(guò)程中的極限承載力。表1 不同桿端約束條件下臨界荷載線性解析解與非

13、線性解析解比較Tab.1 Comparison of the critical loads betweenlinear analytical solutions and non-linear analyticalsolutions under different end constraints圖4 不同桿端約束下的后屈曲路徑Fig.4 Post-buckling path under four different constraints03有限元模型及數(shù)值解目前很多完善的工程計(jì)算軟件均包含穩(wěn)定性分析模塊，只要合理地建立有限元數(shù)值分析模型，就能夠快速準(zhǔn)確地模擬各類(lèi)屈曲過(guò)程。基于線性和非線性穩(wěn)定性

14、理論，常用的數(shù)值分析方法主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是基于歐拉穩(wěn)定理論的廣義特征值算法，另一類(lèi)是求解極值穩(wěn)定問(wèn)題的增量解法弧長(zhǎng)法。3.1 有限元模型本文以圖2中的薄壁槽形截面壓桿為算例，采用S4R殼單元建立有限元計(jì)算模型。綜合考慮計(jì)算精度和效率，經(jīng)多次試算最終確定網(wǎng)格尺寸為：4mm4mm。有限元模型如圖5a）所示。彈性模量和泊松比分別Es=201GPa，=0.35。對(duì)于單軸對(duì)稱(chēng)的開(kāi)口薄壁截面壓桿，由于梁?jiǎn)卧獰o(wú)法考慮薄壁構(gòu)件中的Wagner效應(yīng)的影響，通常在短桿中無(wú)法給出準(zhǔn)確結(jié)果，因此殼單元計(jì)算模型更為合理。采用殼單元開(kāi)展數(shù)值分析時(shí)，加載形式和約束處理方式對(duì)計(jì)算結(jié)果影響如下。（1） 加載形式施加在桿件端部

15、的荷載可采用兩種形式：沿截面板殼邊緣施加均布荷載或在形心位置施加集中荷載。本算例的計(jì)算結(jié)果表明，兩種加載方式對(duì)臨界荷載影響不大，但集中加載的計(jì)算結(jié)果更精確，且荷載-位移曲線更易提取，故建議采用集中荷載的加載方式開(kāi)展數(shù)值分析。（2） 邊界條件有限元模型中桿端約束的施加方式如圖5b）d）所示。角點(diǎn)約束，即約束兩塊薄板的交點(diǎn)的3個(gè)互相垂直方向的線位移;多點(diǎn)約束，即約束兩塊薄板的交點(diǎn)及每塊薄板的中點(diǎn)的3個(gè)互相垂直方向的線位移;全截面約束，即約束整個(gè)端部截面上所有節(jié)點(diǎn)的線位移。圖5 槽鋼有限元模型Fig.5 Finite element model of the channel steel不同約束形式下

16、的計(jì)算結(jié)果如表2所示。可以看出，全截面約束比角點(diǎn)約束和多點(diǎn)約束的約束能力更強(qiáng)。與理論值相比，有固接的約束下，全截面約束誤差小;有鉸接的約束下，角點(diǎn)約束誤差小。因此，建議邊界條件的確定視鉸接和固接情況而定。表2 不同約束施加方法對(duì)臨界荷載的影響Tab.2 Influence of different constraint methods oncritical loads3.2 廣義特征值分析采用上述有限元模型，利用廣義特征值算法得到的臨界荷載如表4所示。與線彈性解析解對(duì)比可知，除一端固接、一端鉸接件外，其他三種邊界條件的特征值解與理論解基本一致，計(jì)算誤差在4%以內(nèi)；一端固接、一端鉸接的約束條件下

17、，當(dāng)桿件計(jì)算長(zhǎng)度不斷增加時(shí)，其臨界荷載也越接近理論解。3.3 弧長(zhǎng)法數(shù)值分析實(shí)際薄壁構(gòu)件的失穩(wěn)過(guò)程是非線性大變形問(wèn)題，弧長(zhǎng)法采用位移控制，可有效解決非線性迭代收斂問(wèn)題，通過(guò)追蹤桿件的平衡路徑，準(zhǔn)確地反映整個(gè)失穩(wěn)過(guò)程中的屈曲路徑。該算法成為各類(lèi)大型計(jì)算軟件中非線性穩(wěn)定性分析的普遍使用方法。采用弧長(zhǎng)法分析時(shí)，初始缺陷的設(shè)置對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定影響，因此需要對(duì)初始缺陷進(jìn)行合理選擇。一般情況下，由于缺少充足的缺陷的測(cè)量檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，單個(gè)構(gòu)件缺陷形狀的測(cè)試也不具有代表性，所以計(jì)算時(shí)要施加理論初始缺陷。根據(jù)北美冷成型鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（AISI/COS/NASPEC 2016），初始缺陷是通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)施加一個(gè)最大的初

18、始位移來(lái)實(shí)現(xiàn)的。構(gòu)件發(fā)生彎扭屈曲時(shí)，初始缺陷取L/（1 000d），L為立柱長(zhǎng)度，d為立柱截面高度。根據(jù)澳大利亞冷成型鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范（AS/NZS 4600：2005）規(guī)定的缺陷值為L(zhǎng)/1,000。兩種缺陷下弧長(zhǎng)法計(jì)算結(jié)果如表3所示。可以看出，不同邊界條件下初始缺陷需采用不同值，當(dāng)桿端約束較強(qiáng)時(shí)（如兩端固接），初始缺陷取L/1,000;當(dāng)桿端約束較弱時(shí)（一端固接、一端自由），初始缺陷取L/（1,000d）。四種桿端約束下的荷載-豎向位移曲線如圖6所示?？梢钥闯?，前三種約束形式下，荷載-位移達(dá)到臨界荷載后突然下降。此時(shí)，軸壓光滑槽鋼柱后屈曲承載力與理論解相差不到4%;而在兩端固接條件下，槽鋼發(fā)生彎扭

19、失穩(wěn)。荷載-位移達(dá)到極限點(diǎn)后下降，沿著原荷載-位移曲線返回。該曲線的極值點(diǎn)與理論結(jié)果更為貼近。此時(shí)，軸壓光滑槽鋼柱后屈曲極限承載力為13.415kN，與理論解相差0.08%。由此可見(jiàn)，弧長(zhǎng)法能夠準(zhǔn)確計(jì)算發(fā)生整體屈曲槽鋼的極限荷載。表3 不同幾何缺陷下弧長(zhǎng)法計(jì)算結(jié)果比較Tab.3 Comparison of calculation results with arc-lengthmethod under different geometric defects注：缺陷I表示初始缺陷取L/（1,000d），缺陷II表示初始缺陷取L/1,000。圖6 不同桿端約束下的屈曲路徑Fig.6 Buckling

20、 paths under different end constraints04數(shù)值解與理論解對(duì)比根據(jù)本文建立的薄壁槽形截面壓桿的有限元模型，采用廣義特征值法和弧長(zhǎng)法計(jì)算得到的臨界荷載和極限荷載與理論解對(duì)比如表4所示。除一端固接、一端鉸接的邊界條件下，其他三種桿端約束，特征值法計(jì)算得到的臨界荷載與理論解誤差均在4%以內(nèi)，原因是一端固接、一端鉸接邊界條件下，前兩階模態(tài)比較接近，隨著桿件有效長(zhǎng)度的增加，彎扭失穩(wěn)模態(tài)分開(kāi)，計(jì)算精度會(huì)不斷提高?；￠L(zhǎng)法計(jì)算得到的極限荷載與理論解誤差在4%以內(nèi)，弧長(zhǎng)法采用的是非線性迭代求解，因此隨著桿件有效長(zhǎng)度的降低，非線性程度提高，計(jì)算結(jié)果越精確。此外，弧長(zhǎng)法可以追蹤構(gòu)

21、件的后屈曲路徑，在開(kāi)展非線性大變形屈曲分析時(shí)，弧長(zhǎng)法更有優(yōu)勢(shì)。表4 屈曲荷載的數(shù)值解與理論解對(duì)比Tab.4Comparison of buckling loads betweennumerical solutions and theoretical solutions05結(jié) 論本文討論了薄壁槽形截面細(xì)長(zhǎng)壓桿彈性屈曲的數(shù)值算法，探討了采用不同加載形式、初始缺陷、約束條件等有限元模型對(duì)屈曲分析結(jié)果的影響。通過(guò)采用廣義特征值法和弧長(zhǎng)法計(jì)算壓桿的臨界荷載和極限荷載，并與經(jīng)典的線性、非線性解析解和基于廣義梁理論的半解析解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證數(shù)值分析模型的可靠性。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，采用桿端截面形心集中加載，依據(jù)

22、約束情況確定桿端約束，以及根據(jù)有效長(zhǎng)度施加不同初始缺陷的數(shù)值計(jì)算模型，當(dāng)開(kāi)口薄壁壓桿的有效長(zhǎng)度足夠大時(shí)，臨界荷載的特征值解與理論解一致，弧長(zhǎng)法計(jì)算得到的非線性解誤差相對(duì)較大。當(dāng)有效長(zhǎng)度不夠大時(shí)，雖然也發(fā)生整體彈性失穩(wěn)，臨界荷載的特征值解與理論解差別較大，此時(shí)弧長(zhǎng)法計(jì)算得到的極限荷載與理論解基本一致。弧長(zhǎng)法的非線性結(jié)果均略小于理論值，能夠反映實(shí)際構(gòu)件的非理想受壓狀態(tài)，且能夠揭示壓桿屈曲及后屈曲的全過(guò)程，在薄壁構(gòu)件屈曲分析中更具優(yōu)勢(shì)。參考文獻(xiàn)：1MOHRI F，AZRAR L，POTIER-FERRY M.Flexural-torsional post-buckling analysis of t

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