專題12 高斯函數(shù)(教案)

1、專題12高斯函數(shù)（教案）前言：對于任意實(shí)數(shù)x，用表示不大于x的最大整數(shù)，稱為取整數(shù)。符號叫做取整符號，或者叫做高斯記號。一般地，y=lx!叫做取整函數(shù)，也叫做高斯函數(shù)或數(shù)論函數(shù)，自變量x的取值范圍是一切實(shí)數(shù)。一、專題知識xGR,tJ表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y=稱為高斯函數(shù)。記（x=x-lx稱為x的小數(shù)部分，0 x1。高斯函數(shù)y=tx的性質(zhì)和圖像（1）y=tx的圖像在y=x的圖像的下方。（2）y二L的圖像是一組階高為1的平行于x軸的平行線段，這組平行線段呈階梯形。函數(shù)y=L是一個不減（非單調(diào)）的非周期的函數(shù)，其圖像如圖12-1所示。設(shè)f（x）=x-L，其圖像如圖12-2所示基本結(jié)論l設(shè)x，

2、yGR，高斯函數(shù)y二L有如下性質(zhì):（1）LxL+1.3)4)（2）若xy，則Lx+x+y+y.二、例題分析2例題1若表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，求1_的值。、16-6/7解】116-6訐1_3斤x9：72QI17而2、73從而22-3從而1166“例題2Ixl,y,口分別不大于x,y,z的最大整數(shù)。若LL5,y_3,叮_-1，求L-yz的值?！窘狻坑梢阎獥l件知5x6,3y2,1z0,2-y3,0-z1,7xyz10Lyz的值為7,8,9。例題3已知n為正整數(shù)，證明:【證明】由于nIn對于任意實(shí)數(shù)x由于和（LJ由于n和n|+1n丿n闇皿nx1xx，所以n|_xnxx故I空|InInn嗎嗎+1，變形得有

3、xxx1或都是整數(shù)，且xxx1囲+1丿+1，所以應(yīng)_日例題4解方程竽3(2x+1)4【解】設(shè)_m,44m34+365則原方程化為_m，化簡得8m+315m因?yàn)? xU1，所以08m+3m1，解得12m，由于mgZ,1577所以m_0或m_1，代入x_4m_3得，x_1或x_762617原方程的解為x_或x_26三、專題訓(xùn)練專題練習(xí)已知n為正整數(shù)，S=1+丄+A+丄，求t的值。n2232n2n乘積1000 x1001x1002xAx1991中含有多少個11的因子?證明：對于任意實(shí)數(shù)x，有l(wèi)x+lx+2=bx。求方程山+1L2x-2的所有根的和。已知x0，lx=x(x-lx，求代數(shù)式x-1的值。x

4、解方程：x3-LL3。7.計算：衛(wèi)I的末尾兩位數(shù)字。1031+38.求S503訶305n的值503n=1x+x+x12!3!9.求方程+A+x10!=1001的正整數(shù)解。10.解方程：4x求1991！中末尾零的個數(shù)。-40lx+51=0。專題作業(yè)1.解方程：L1-L-4-6=0。3.已知n是正整數(shù)，計算A+vn21的值。四、參考答案專題練習(xí)2x1.解：對于任意的大于1的正整數(shù)k都有占占所以S=1+A+丄1+（1-丄）+（丄一丄）+A+（亠-丄）=2-1n2232n2223n-1nn即1S2，所以Is=1。nn1991!2.解：1000 x1001x1002xAx1991=！中含11的最高方次數(shù)

5、等于r1=1991+1991+1991111J112JL11+A=181+16+1=198而1991999!999!中含11的最高方次數(shù)等于r22999+999+99911112113+A=90+8=98故1000X1001X1002xAx1991中含有r-r=100個11的因子。123.證明：因?yàn)槿?x-，這里0 x1，所以x+=L+x+,221，02#2x1=1，從而得：22x=2口+2（x（1）當(dāng)0 x時，丄x+222=2Ix=I2x=x，bx=2口故有CJ+x+2（2）當(dāng)丄1時，1x+丄1+，2220一丄丄，又2x=2口+2%=2口+1+2x122這里02x-11，故有L+x+2x+2

6、=+1+x-2=2x+1=bx1，解得-2-解：設(shè)x=lx+x，其中0 x)1，則x3=x-x!+3代入得0&=3+x-x31，所以2x(x2-1)3當(dāng)x0時，則x21，所以-1x1，解得x1，所以1x2，所以=1于是由x3J=3得，f3=4，解得x=34。解：仝+33-亠=(062-3X1031+9)亠1031+31031+31031+31031+3由于10623X1031+810巧10623X1031+91031+3所以10巧=1062-3X1031+8，所以末兩位數(shù)字為08。1031+38.解：因?yàn)?03是一個質(zhì)數(shù)，所以當(dāng)n=1、2、3、502時，迴都不是整數(shù)。503305（503-n）

7、是305n305(503-n)由于+=305，于疋503503送305n305n+503503n=1n=1L503由題意可知x1001，所以S503則7=305n_503305(503-n)|503=305=304X251=76304。9.解：設(shè)蘭:2!（其中x4!x8!x9!xIxIxa，=b，2!L3!3a、b、c、d、ewt）,1），則原方程變?yōu)?x10!=0 xIxIx,c，=d4!I5!I5!x6!xe，6!x+a+b+c+d+e=10012!3!4!5!6!即x1+|=1001+(a+b+c+d+e)(2624120720丿則y1001x720+Ca+b+c+d+e)x720582

8、786+720需+c+d+e)=582+1237，因?yàn)?a+b+c+d+e5，且x是正整數(shù)，貝V786786+720(a+b+c+d+e)4386必有786+72血+b+c+d+e)=1或2或3,經(jīng)檢驗(yàn)只有x=584符合題意。123710.解：原方程化為LL如51，所以0 x-40解得32即14x2-40 x+5104x2-40 x+910(1)當(dāng)3x2時，2407717x或x-222(2)當(dāng)2x3時,=1，原方程化為4x2-40+51=0，方程無實(shí)數(shù)解;J原方程化為4x2-80+51=0，解得x;k=1（3）當(dāng)3x7時，口=3，原方程化為4x2-120+51=0，解得x=型，不合題意，舍去;

9、22（4）當(dāng)13x7時，LL6，原方程化為4x2-240+51=0，解得x189;22（5）當(dāng)7x8時，LL7，原方程化為4x2-280+51=0，解得x二空9;2（6）當(dāng)8x17時，LL8，原方程化為4x2-320+51=0，解得x269;22綜上（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）可得原方程的解為x=旦、型、22229269、。22專題作業(yè)1.解：原方程等價于L1-L-2=0odx-2XL+1)=0，所以LL2或LL-1若LL2，則2x3；若LL-1，則-1x0綜上（1）、（2）可得，原方程的解為2x3或-1x0。2.解：由于1991！中含有5的最高方次數(shù)等于199119911991+5253541991+A=398+79+15+3=4955dk+1)2上共有所以1991!中末尾有495個零。3.解：由于1到n2-1之間的完全平方數(shù)是：1,4,9,，I?-丿，在區(qū)間于是所求的和：卡+J)2-22+1個整數(shù)，11+V2+13+A+R廠=3x1+5x2+7x3+9x4+A+(2(n-1)+1U-1=5+1=6乙-1)4n+1X所以t=-2或t=-3（1）當(dāng)t=-2時，原方程的解為x1（2）當(dāng)t=-3時，原方程的解為x.綜上（1）、（2）可知