2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：第6章第6節(jié)課時分層訓(xùn)練37數(shù)學(xué)歸納法

1、課時分層訓(xùn)練（三十七）數(shù)學(xué)歸納法A組根底達(dá)標(biāo)（建議用時：30分鐘）、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n2n+1, n的第一個取值應(yīng)是（A.C. 32D. 4C =1 時，21 = 2,2X1 + I = 3,2n2n+1 不成立；n = 2 時，22 = 4,2X2+1 = 5,2n2n+1 不成立；n = 3 時，23 = 8,2X3+1 = 7,2n2n+1 成立.；n的第一個取值應(yīng)是3. 一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗證當(dāng)n=1時命題成立，并在假設(shè)當(dāng)n = k（Q 1且kCN ）時命題成立的根底上，證明了當(dāng)n = k+2時命題成立，那么綜 合上述，對于（）一切正整數(shù)命題成立一切正奇數(shù)命題成立

2、一切正偶數(shù)命題成立D.以上都不對B 此題證的是對n=1,3,5,7,命題成立，即命題對一切正奇數(shù)成立.1.在數(shù)列an中，a=a，且 Sn=n（2n1）an,通過求 a2, a3, a4,猜測 an 3的表達(dá)式為（）A1BA. n-1 n+1B.2n 2n+1C1D12n1 2n+1D, 2n+1 2n+ 21c_1 _L_1 _L_1C 由 a1 = 3, Sn = n（2n- 1）an 求彳可 a2= 15 = 3x5，a3 = 35= 5x 7，a4 = 63=1猜測an =7 A 912n1 2n+14.凸n多邊形有f(n)條對角線，那么凸(n+1)邊形的對角線的條數(shù)f(n+1)為()【

3、導(dǎo)學(xué)號:57962322A. f(n)+n+1B. f(n)+nC. f(n)+n1D. f(n)+n 2C邊數(shù)增加1,頂點也相應(yīng)增加1個，它與和它不相鄰的n 2個頂點連接成對角線，原來的一條邊也成為對角線，因此，對角線增加 (n1)條.5.用數(shù)學(xué)歸納法證明3(2+7k)能被9整除，證明n=k+1時，應(yīng)將3(2+7k+ 1)配湊成()A. 6+21 7kB. 3(2+7k)+ 21C. 3(2+7k)D. 21(2+7k)-36D 要配湊出歸納假設(shè)，故 3(2+7k+1) = 3(2+7 7k) = 6 + 21 7k=21(2+7k) 36.二、填空題.用數(shù)學(xué)歸納法證明”當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn

4、+yn能被x+ y整除，當(dāng)?shù)谝徊郊僭O(shè)n=2k1(kCN*)命題為真時，進(jìn)而需證n =時，命題亦真.【導(dǎo)學(xué)號：579623232k+ 1 n為正奇數(shù)，假設(shè)n = 2k1成立后，需證明的應(yīng)為n = 2k+1時成立c n4+n2 _.用數(shù)學(xué)歸納法證明1 + 2+3+-+n2 = ,那么當(dāng)n=k+ 1時左端應(yīng)在n = k的根底上加上的項為 :(k2+1)+(k2 + 2)+ - + (k+ 1)2 當(dāng) n = k 時左端為 1+2+3+ 卜+*+ 1)+ (k+2)+-+k2,那么當(dāng)n=k+1時，左端為1+2 + 3+- + k2+(k2+ 1)+(k2+2)+-+(k+1)2,故增加的項為(k2+

5、1)+(k2+2)+ - +(k+1)2. TOC o 1-5 h z . f(n)= 1 + 1 + 1+ - +1(nN*),經(jīng)計算得 f2, f(8)5 f(16)3, f(32)7 2 31122那么其一般結(jié)論為:f(2n)喈(n2, nCN*)因為 f(22)4 f(23)5 f(24)6, f(25)所以當(dāng)n+ 2n+ 2*n2 時，有 f(2n)-2-.故填 f(2n)-2-(n2, n N ).三、解答題.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 +宗+ 上十2). 231111.1 51 3證明(1)當(dāng)n = 2時，1+22= 422 = 2,命題成立.3分(2)假設(shè)n = k時命題成立，即11

6、111+22+ 32+ k22k.rt 1111112、一2 k十k1k+11_kk 1 一2-k+當(dāng) n=k+1 時，1 + 22+32+語+ UP2時均成立.12分.在數(shù)列an中，a1 = 2, an+1=入計 11 + (2；)2n(nC N*, 0).(1)求 a2, a3, a4；猜測an的通項公式，并加以證明.解(1)a2=2 狂均2(2-)=r+ 2；a3= X 猿+22)+ 23+(2丹22=2充+23,a4= 2(2 23+23)+ k+(223=3 資+ 245 分(2)由 (1)可猜測數(shù)列通項公式為：an=(n1)欠 +2n.7 分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1,2,3,

7、4時，等式顯然成立，假設(shè)當(dāng)n = k(k4, kCN )時等式成立，即 ak=(k1)資 + 2k, 9 分那么當(dāng)n=k+1時，ak+1=入町+ 廿 1 + (2 ；)2k=冰一1)犬+ 屹k+ k 1 + 2k+1 :2k= (k 1)尸1+ 尸 1 + 2耳1= (k+1)1戶 1 + 2k+ 1,所以當(dāng)n=k+1時，猜測成立，由知數(shù)列的通項公式為an=(n-1)；n + 2n(n N*, 0).12分B 組 能力提升(建議用時：15分鐘 )1.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且 f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時， 總可推出f(k+ 1)(k+1)2成立.那么，以下命題總成立的是(

8、)A 假設(shè)f(1)1 成立，那么 f(10)100 成立B .假設(shè)f(2)1成立C.假設(shè)f(3)9成立，那么當(dāng)k1時，均有f(k)k2成立D.假設(shè)f(4戶16成立，那么當(dāng)k4時，均有f(k)k2成立D -. f(k)k2成立時，f(k+ 1)(k+ 1)2 成立， .f(4)16 時，有 f(5)52, f(6)62,，f(k)k2成立.2.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三 條直線不過同一點.假設(shè)用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，那么 f(4) =;當(dāng)n4時，f(n) =網(wǎng) n表示).【導(dǎo)學(xué)號：579623241,5 2(n+1)(n-2)(n3) f(3)

9、= 2, f(4) = f(3)+3 = 2 + 3 = 5,f(n) = f(3) + 3 + 4+(n1)= 2+3 + 4+ (n1)1= 2(n+1)(n-2)(n3).3.設(shè)數(shù)列an的前n項和為8,滿足Sn=2nan+1 3n24n, nCN*,且Ss = 15.(1)求 a1，a2, a3的值;(2)求數(shù)列an的通項公式.解(1)由題意知& = 4a3 20,S3=& + a3=5a320.2 分又 白=15, . .a3=7, S2=4a320= 8.又 $ = S + a2= (2a27)+ a2 = 3a2 7, a2= 5, a1 = S = 2a27= 3.綜上知，a = 3, a2 = 5, a3=7.5 分(2)由(1)猜測an=2n+1,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立；7分假設(shè)當(dāng)n = k(k1)時，ak=2k+1,k3+ 2k+1 那么