高中數(shù)學(xué)選修第一冊：2.2.3 直線的一般式方程-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版選擇性必修第一冊）

1、2.2.3 直線的一般式方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握直線的一般式方程(重點(diǎn)).2.理解關(guān)于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同時(shí)為0)都表示直線.3.會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化(重、難點(diǎn))1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運(yùn)算3、數(shù)形結(jié)合【自主學(xué)習(xí)】1.直線的一般式方程形式 條件A，B 2.直線的一般式與點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式的關(guān)系【小試牛刀】任何直線方程都能表示為一般式嗎？在方程AxByC0(A，B不同時(shí)為零)中，A，B，C為何值時(shí)，方程表示的直線(1)平行于x軸；(2)平行于y軸；(3)與x軸重合；(4)與y軸重合3與x軸平行且過點(diǎn)(0，6)的直線的一般式方程為()A

2、x60 By60Cxy6 Dxy64已知直線的方程為2xy40，則該直線的斜率為_【經(jīng)典例題】題型一直線的一般式方程與其他形式轉(zhuǎn)化注意：對于直線方程的一般式，一般做如下約定：一般按含x項(xiàng)、含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列；x項(xiàng)的系數(shù)為正；x，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；無特殊要求時(shí)，求直線方程的結(jié)果寫成一般式已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(6，4)，斜率為eq f(4,3)，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程例2 根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程(1)斜率是eq r(3)，且經(jīng)過點(diǎn)A(5，3)；(2)斜率為4，在y軸上的截距為2；(3)經(jīng)過A(1，5)，B(2，1)兩點(diǎn)；(4)在x，y軸上的截距分別是3，

3、1.跟蹤訓(xùn)練 1 （1）直線l與兩直線y1，xy70分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ中點(diǎn)是(1，1)，則l的斜率是_(2)直線eq r(3)x5y90在x軸上的截距等于()A.eq r(3) B5 C.eq f(9,5) D3eq r(3)題型二直線的一般式方程的應(yīng)用1.已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值或范圍的步驟2利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10或A1C2A2C10.(2)l1l2A1A2B1B20.3過一點(diǎn)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)由已知直線求出斜率，再利

4、用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫方程(2)可利用如下待定系數(shù)法：與直線AxByC0平行的直線方程可設(shè)為AxByC10(C1C)，再由直線所過的點(diǎn)確定C1；與直線AxByC0垂直的直線方程可設(shè)為BxAyC20，再由直線所過的點(diǎn)確定C2.例3 （由含參數(shù)的一般式求參數(shù)的值或取值范圍）(1)若方程(m25m6)x(m23m)y10表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足_(2)已知方程(2m2m3)x(m2m)y4m1表示直線當(dāng)m_時(shí)，直線的傾斜角為45；當(dāng)m_時(shí)，直線在x軸上的截距為1.例4（一般式下直線的平行與垂直問題）已知A(2,2)和直線l：3x4y200.求：(1)過點(diǎn)A

5、和直線l平行的直線方程；(2)過點(diǎn)A和直線l垂直的直線方程跟蹤訓(xùn)練 2 已知直線l的方程為3x4y120，求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過點(diǎn)(1，3)，且與l平行；(2)過點(diǎn)(1，3)，且與l垂直【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1若方程AxByC0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為()AA0 BB0CAB0 DA2B202在直角坐標(biāo)系中，直線xeq r(3)y30的傾斜角是()A30 B60C150 D1203已知直線(a2)xay10與直線2x3y50平行，則a的值為()A6 B6Ceq f(4,5) D.eq f(4,5)4已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，且與直線2xy20平行，那么直線l的方程是()A2x

6、y30 Bx2y40C2xy40 Dx2y405過點(diǎn)A(2，3)且垂直于直線2xy50的直線方程為()Ax2y40 B2xy70Cx2y30 Dx2y506設(shè)直線l的方程為2x(k3)y2k60(k3)，根據(jù)下列條件分別確定k的值：(1)直線l的斜率為1；(2)直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0.【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】AxByC0 不同時(shí)為0【小試牛刀】1.能因?yàn)槠矫嫔先我庖粭l直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示2.當(dāng)A0，B0時(shí)，方程變?yōu)閥eq f(C,B)，當(dāng)C0時(shí)表示的直線平行于x軸，當(dāng)C0時(shí)與x軸重合；當(dāng)A0，B0時(shí)，方程變?yōu)閤eq f(C,A)，當(dāng)C0時(shí)表示的直線平行于y

7、軸，當(dāng)C0時(shí)與y軸重合3.B4. 2【經(jīng)典例題】例1 解經(jīng)過點(diǎn)A(6，4)，斜率等于eq f(4,3)的直線的點(diǎn)斜式方程是y4eq f(4,3)(x6)化成一般式，得4x3y120.例2 解(1)由點(diǎn)斜式方程可知，所求直線方程為：y3eq r(3)(x5)，化為一般式為：eq r(3)xy35eq r(3)0.(2)由斜截式方程可知，所求直線方程為：y4x2，化為一般式為：4xy20.(3)由兩點(diǎn)式方程可知，所求直線方程為：eq f(y5,15)eq f(x（1）,2（1）).化為一般式方程為：2xy30.(4)由截距式方程可得，所求直線方程為eq f(x,3)eq f(y,1)1，化成一般式

8、方程為：x3y30.跟蹤訓(xùn)練 1 （1）答案eq f(2,3) 解析設(shè)P(m,1)，則Q(2m，3)，(2m)370，m2，P(2,1)，keq f(11,21)eq f(2,3).D 解析 令y0，則x3eq r(3).例3 解析(1)m3若方程不能表示直線，則m25m60且m23m0.解方程組eq blc(avs4alco1(m25m60，,m23m0，)得m3，所以m3時(shí)，方程表示一條直線(2)1eq f(1,2)或2 因?yàn)橐阎本€的傾斜角為45，所以此直線的斜率是1，所以eq f(2m2m3,m2m)1，所以eq blc(avs4alco1(m2m0，,2m2m3（m2m），)解得eq

9、 blc(avs4alco1(m0且m1，,m1或m1.)所以m1.因?yàn)橐阎本€在x軸上的截距為1，令y0得xeq f(4m1,2m2m3)，所以eq f(4m1,2m2m3)1，所以eq blc(avs4alco1(2m2m30，,4m12m2m3，)解得eq blc(avs4alco1(m1且mf(3,2)，,mf(1,2)或m2.)所以meq f(1,2)或m2.例4 解(1)將與直線l平行的方程設(shè)為3x4yC10，又過點(diǎn)A(2,2)，所以3242C10，所以C114.所求直線方程為3x4y140.(2)將與l垂直的直線方程設(shè)為4x3yC20，又過點(diǎn)A(2,2)，所以4232C20，所以

10、C22，所以直線方程為4x3y20.跟蹤訓(xùn)練 2 解l的方程可化為yeq f(3,4)x3，l的斜率為eq f(3,4).法一(1)l與l平行，l的斜率為eq f(3,4).又l過點(diǎn)(1，3)，由點(diǎn)斜式知方程為y3eq f(3,4)(x1)，即3x4y90.(2)l與l垂直，l的斜率為eq f(4,3)，又l過點(diǎn)(1，3)，由點(diǎn)斜式可得方程為y3eq f(4,3)(x1)，即4x3y130.法二(1)由l與l平行，可設(shè)l的方程為3x4ym0.將點(diǎn)(1，3)代入上式得m9.所求直線的方程為3x4y90.(2)由l與l垂直，可設(shè)l的方程為4x3yn0.將(1，3)代入上式得n13.所求直線的方程為4x3y130.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1. D 解析方程AxByC0表示直線的條件為A，B不能同時(shí)為0，即A2B20.2.C 解析直線斜率keq f(r(3),3)，所以傾斜角為150，故選C.3.B 解析由(a2)3a20得a6，且當(dāng)a6時(shí)兩直線平行，故選B.4.A 解析由題意可設(shè)所求的方程為2xyc0(c2)，代入已知點(diǎn)(2，1)，可得41c0，即c3，故所求直線的方程為：2xy30，故選A.5. A 解析過點(diǎn)A(2，3)且垂直于直線2xy50的