高中數(shù)學選修第一冊：2.3.1兩條直線的交點坐標 2.3.2　兩點間的距離公式

1、2.3直線的交點坐標與距離公式2.3.1兩條直線的交點坐標2.3.2兩點間的距離公式基礎過關練題組一兩條直線的交點坐標1.直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點坐標是() A.(2,2)B.(2,-2)C.(-2,2)D.(-2,-2)2.直線3x+my-1=0與4x+3y-n=0的交點為(2,-1),則m+n的值為()A.12B.10C.-8D.-63.兩直線2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交點在y軸上,那么k的值為.4.三條直線mx+2y+7=0,y=14-4x和2x-3y=14相交于一點,則m的值為.5.若直線l:y=kx-3與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限

2、,則k的取值范圍是.6.已知直線l1:x-y+4=0與l2:2x+y-1=0相交于點P,求滿足下列條件的直線方程:(1)過點P且過原點;(2)過點P且平行于直線l3:x-2y-1=0.題組二兩點間的距離7.直線y=x上的兩點P,Q的橫坐標分別是1,5,則|PQ|等于()A.4B.42C.2D.228.點P(-2,5)為平面直角坐標系內一點,線段PM的中點是(1,0),那么點M到原點O的距離為()A.41B.41C.39D.399.到A(1,3),B(-5,1)的距離相等的動點P滿足的方程是()A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=010.在直線x-y+4

3、=0上有一點P,它到點M(-2,-4),N(4,6)的距離相等,則點P的坐標為.11.已知點A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5),求證:ABC是等腰三角形.題組三兩直線交點、兩點間距離公式的綜合應用12.若點A在x軸上,點B在y軸上,線段AB的中點M的坐標為(3,4),則AB的長度為()A.10B.5C.8D.613.已知點A(-1,2),B(2,7),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P,則|PA|的值為()A.1B.2C.2D.2214.直線x-2y+1=0關于直線x=1對稱的直線方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=015.

4、直線l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y軸所圍成的三角形的面積為.16.如圖,ABC中,BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0,BAC的平分線所在直線的方程為y=0,若點B的坐標為(1,2),求點A和點C的坐標.能力提升練題組一兩條直線的交點坐標1.(2020河北唐山一中高二上期中,)過直線x+y-3=0和2x-y=0的交點,且與2x+y-5=0垂直的直線方程是() A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=02.(2019四川雅安中學高二上期中,)已知直線l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求證:無論m為何實

5、數(shù),直線l1恒過一定點M;(2)若直線l2過點M,且與x軸負半軸、y軸負半軸圍成的三角形面積最小,求直線l2的方程.題組二兩點間的距離3.()已知直線l:kx-y+2-k=0過定點M,點P(x,y)在直線2x+y-1=0上,則|MP|的最小值是()A.10B.355C.6D.354.()點P1(a,b)關于直線x+y=0的對稱點是P2,P2關于原點O的對稱點是P3,則|P1P3|=.5.()(1)已知點P是平面上一動點,點A(1,1),B(2,-2)是平面上兩個定點,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此時P的坐標;(2)求函數(shù)f(x)=x2-4x+13+x2-12x+37的最小值.題組三交

6、點、兩點間距離公式的綜合應用6.()若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2恒過定點()A.(4,-2)B.(0,4)C.(-2,4)D.(0,2)7.(2020安徽六安一中高二上期中,)入射光線在直線l1:2x-y-3=0上,先經(jīng)過x軸反射到直線l2上,再經(jīng)過y軸反射到直線l3上,則直線l3的方程為()A.x-2y+3=0B.2x-y+3=0C.2x+y-3=0D.2x-y+6=08.(2020山西大同一中高二上期中,)已知直線y=2x是ABC中ACB的平分線所在的直線,若點A,B的坐標分別是(-4,2),(3,1),則點C的坐標為()A.(-2,4)B.(-2

7、,-4)C.(2,4)D.(2,-4)9.()已知A(2,4),B(1,0),動點P在直線x=-1上,當|PA|+|PB|取最小值時,點P的坐標為()A.-1,85B.-1,215C.(-1,2)D.(-1,1)10.(2019北京密云高一期末,)對于平面直角坐標系內任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2),定義它們之間的一種“新距離”:|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|.給出下列三個命題:若點C在線段AB上,則|AC|+|CB|=|AB|;在ABC中,若C=90,則|AC|2+|CB|2=|AB|2;在ABC上,|AC|+|CB|AB|.其中的真命題為()A.B.C.D.11.()已

8、知點M(3,5),在直線l:x-2y+2=0和y軸上各找一點P和Q,使MPQ的周長最小.答案全解全析基礎過關練1.C由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,解得x=-2,y=2.故所求交點坐標是(-2,2).2.B將(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,將(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.3.答案6解析在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=k3,將0,k3代入x-ky+12=0,解得k=6.4.答案-34解析解方程組y=14-4x,2x-3y=14得x=4,y=-2,所以這兩條直線的交點坐標為(4,-2).由題意知點(4,-2)在直線mx+2y+7=0上

9、,將(4,-2)代入,得4m+2(-2)+7=0,解得m=-34.5.答案33,+解析解法一:由題意知直線l過定點P(0,-3),直線2x+3y-6=0與x軸,y軸的交點分別為A(3,0),B(0,2),如圖所示,要使兩直線的交點在第一象限,則直線l的斜率kkAP,而kAP=-3-00-3=33,k33.解法二:解方程組y=kx-3,2x+3y-6=0,得x=33+63k+2,y=6k-233k+2.由題意知x=33+63k+20且y=6k-233k+20.3k+20,且6k-230,解得k33.6.解析(1)x-y+4=0,2x+y-1=0 x=-1,y=3P(-1,3),所以過點P與原點的

10、直線方程為y=-3x.(2)根據(jù)題意設所求直線方程為x-2y+c=0(c-1),由(1)知點P(-1,3),又點P在該直線上,所以c=7,則所求的直線方程為x-2y+7=0.7.B由題意得P(1,1),Q(5,5),|PQ|=42+42=42.8.B設M(x,y),由中點坐標公式得x-22=1,y+52=0,解得x=4,y=-5.所以點M(4,-5).則|OM|=42+(-5)2=41.9.B設P(x,y),則(x-1)2+(y-3)2=(x+5)2+(y-1)2,即3x+y+4=0.10.答案-32,52解析設點P的坐標是(a,a+4),由題意可知|PM|=|PN|,即(a+2)2+(a+4

11、+4)2=(a-4)2+(a+4-6)2,解得a=-32.故P點的坐標是-32,52.11.證明|AB|=(-4+2)2+(-3+1)2=22,|AC|=(0+2)2+(-5+1)2=25,|BC|=(0+4)2+(-5+3)2=25,|AC|=|BC|.又A,B,C三點不共線,ABC是等腰三角形.12.A由題意可得點A的坐標為(6,0),點B的坐標為(0,8),所以由兩點間的距離公式得|AB|=10.13.D線段AB的中點坐標為12,2+72,線段AB所在直線的斜率kAB=7-22-(-1)=7-23.線段AB的垂直平分線方程為y-2+72=-37-2x-12.令y=0,得-2+72=-37

12、-2x-12.解得x=1,因此,P(1,0).|PA|=(1+1)2+22=22,故選D.14.D設所求直線上任一點(x,y),它關于x=1的對稱點為(x0,y0),則x0=2-x,y0=y,(x0,y0)在直線x-2y+1=0上,2-x-2y+1=0,化簡得x+2y-3=0,故選D.15.答案9解析易知直線l1、l2與y軸的交點坐標分別為(0,12),(0,3).由3x-y+12=0,3x+2y-6=0,解得x=-2,y=6.故所求三角形的面積S=12(12-3)|-2|=9.16.解析由方程組x-2y+1=0,y=0得頂點A(-1,0),則邊AB所在直線的斜率kAB=2-01-(-1)=1

13、.BAC的平分線所在直線的方程為y=0,直線AC的斜率為-1,AC所在直線的方程為y=-(x+1).BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0,kBC=-2.又點B的坐標為(1,2),BC所在直線的方程為y=-2(x-1)+2.由y=-2(x-1)+2,y=-(x+1)得C(5,-6).綜上,A(-1,0),C(5,-6).能力提升練1.D解法一:由x+y-3=0,2x-y=0,得x=1,y=2.因此兩直線的交點為(1,2).又直線2x+y-5=0的斜率為-2,要求直線的斜率為12,直線方程為y-2=12(x-1),即x-2y+3=0,故選D.解法二:設要求的直線方程為(x+y-3)+(2x

14、-y)=0,即(1+2)x+(1-)y-3=0.又該直線與直線2x+y-5=0垂直,2(1+2)+1(1-)=0,解得=-1.因此所求直線方程為-x+2y-3=0,即x-2y+3=0.故選D.2.解析(1)證明:l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0m(x-2y-3)+(2x+y+4)=0.x-2y-3=0,2x+y+4=0 x=-1,y=-2,則M(-1,-2),無論m為何實數(shù),直線l1恒過一定點M(-1,-2).(2)由題意知直線l2的斜率k0,設直線l2:y+2=k(x+1),令x=0,得y=k-2.令y=0,得x=2k-1.三角形面積S=12|k-2|2k-1=122-4k-

15、k+2=124-4k-k,k0,-k0,-4k-k2-4k(-k)=4,當且僅當-4k=-k,即k=-2時取等號,y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.3.B由題易得直線l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,過定點M(1,2).點P(x,y)在直線2x+y-1=0上,y=1-2x,|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x2+2x+2=5x+152+95,故當x=-15時,|MP|取得最小值355,故選B.4.答案2|a-b|解析由題意得P2(-b,-a),P3(b,a),|P1P3|=(a-b)2+(b-a)2=2|a-b|.5.解析(1)設P(x,y)(xR,y

16、R),則|PA|=(x-1)2+(y-1)2,|PB|=(x-2)2+(y+2)2,|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+2y2+2y+10=2x-322+2y+122+5.當x=32,y=-12時,|PA|2+|PB|2的值最小.故|PA|2+|PB|2的最小值為5,此時P32,-12.(2)f(x)=(x-2)2+9+(x-6)2+1=(x-2)2+(0-3)2+(x-6)2+(0-1)2.設A(2,3),B(6,1),P(x,0),如圖,則上述問題轉化為求|PA|+|PB|的最小值.點A關于x軸的對稱點為A(2,-3),|PA|+|

17、PB|=|PA|+|PB|AB|=42,|PA|+|PB|42.f(x)的最小值為42.6.D由l1:y=k(x-4),得直線l1過定點A(4,0).又l1與l2關于點(2,1)對稱,因此,點A(4,0)關于點(2,1)對稱的點B(x,y)一定在直線l2上.由4+x2=2,0+y2=1,得x=0,y=2,直線l2恒過定點(0,2),故選D.7.B設直線l1:2x-y-3=0與x軸、y軸交點分別為A32,0,B(0,-3).如圖所示,則點A關于y軸的對稱點A1-32,0,點B關于x軸的對稱點B1(0,3)在反射光線l3上,其方程為x-32+y3=1,即2x-y+3=0,故選B.8.C設點A關于直

18、線y=2x對稱的點為A(x1,y1),則y1+22=2x1-42,y1-2x1+4=-12,解得x1=4,y1=-2,A(4,-2).由題意知,A在直線BC上,kBC=1-(-2)3-4=-3.從而直線BC的方程為y=-3x+10.由y=2x,y=-3x+10,得x=2,y=4.點C的坐標為(2,4),故選C.9.A點B關于直線x=-1對稱的點為B1(-3,0).由圖形知,當A、P、B1三點共線時,|PA|+|PB1|=(|PA|+|PB|)min.此時,直線AB1的方程為y=45(x+3),令x=-1,得y=85.故選A.10.C對于,若點C在線段AB上,設點C的坐標為(x0,y0),則x0在x1、x2之間,y0在y1、y2之間,則|AC|+|CB|=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=|AB|成立,故正確;對于,在ABC中,若C=90,則|AC|2+|CB|2=|AB|2是幾何距離而非題目定義的“新距離”,所以不正確;對于,在ABC中,|AC|+|CB|=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-