大一下高數(shù)11曲線積分與曲面

1、第六節(jié) 高斯公式Green 公式Gauss 公式推廣一、高 斯 公 式證明根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法同理-高斯公式和并以上三式得：Gauss公式的實質(zhì) 表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知二、簡單的應(yīng)用解(利用柱面坐標得)使用Guass公式時應(yīng)注意:解空間曲面在 面上的投影域為曲面不是封閉曲面, 為利用高斯公式故所求積分為例3.設(shè) 為曲面取上側(cè), 求 例3.設(shè) 為曲面取上側(cè), 求 解: 作取下側(cè)的輔助面用柱坐標用極坐標三、小結(jié)2、高斯公式的應(yīng)用的條件1、高斯公式思考題曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題解答曲面應(yīng)是分片

2、光滑的閉曲面.練 習(xí) 題練習(xí)題答案練習(xí)題練習(xí)題答案曲面積分總結(jié) 曲 面 積 分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義聯(lián)系計 算代入,換元,投影(與側(cè)無關(guān))代入,投影,定向 (與側(cè)有關(guān))思 考 題1) 二重積分是哪一類積分? 答: 第一類曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面問下列等式是否成立? 不對 ! 對坐標的積分與 的側(cè)有關(guān) 曲面積分的計算法歸納曲面積分第一類( 對面積 )第二類( 對坐標 )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面曲面積分計算的基本技巧(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算

3、(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化例1. 其中 為半球面的上側(cè).計算例1. 其中 為半球面的上側(cè).且取下側(cè) , 提示: 以半球底面原式 =記半球域為 ,高斯公式有計算為輔助面, 利用例2.單位外法向向量, 試證設(shè) 為簡單閉曲面, a 為任意固定向量,n 為的 例2.證明: 設(shè)(常向量)則單位外法向向量, 試證設(shè) 為簡單閉曲面, a 為任意固定向量,n 為的 例3. 計算曲面積分其中,例3. 計算曲面積分其中,解:思考: 本題 改為橢球面時, 應(yīng)如何計算 ?提示: 在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式 .曲線積分

4、曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義計算定義計算聯(lián)系聯(lián)系曲線積分與曲面積分定積分曲線積分重積分曲面積分計算計算計算Green公式Guass公式各種積分之間的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓-萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式曲面面積的計算法SDxy曲頂柱體的表面積 如圖曲頂柱體，解由對稱性例5解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系練習(xí)題1、B；2、C3、B；4、C練習(xí)題1、B；2、C3、B；4、C3、B；4、C 9. 已知平面區(qū)域L為D 的邊界, 試證 9. 已知平面區(qū)域L為D 的邊界, 試證證: (1) 根據(jù)格林公式所