2023高中物理步步高大一輪 第四章 專題強化七　圓周運動的臨界問題

1、專題強化七圓周運動的臨界問題目標(biāo)要求1.掌握水平面內(nèi)、豎直面內(nèi)的圓周運動的動力學(xué)問題的分析方法.2.會分析水平面內(nèi)、豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題題型一水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題1運動特點(1)運動軌跡是水平面內(nèi)的圓(2)合外力沿水平方向指向圓心，提供向心力，豎直方向合力為零，物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運動2過程分析重視過程分析，在水平面內(nèi)做圓周運動的物體，當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時，物體的受力可能發(fā)生變化，轉(zhuǎn)速繼續(xù)變化，會出現(xiàn)繩子張緊、繩子突然斷裂、靜摩擦力隨轉(zhuǎn)速增大而逐漸達到最大值、彈簧彈力大小方向發(fā)生變化等，從而出現(xiàn)臨界問題3方法突破(1)水平轉(zhuǎn)盤上的物體恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體與盤間恰好達到最大

2、靜摩擦力(2)物體間恰好分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零(3)繩的拉力出現(xiàn)臨界條件的情形有：繩恰好拉直意味著繩上無彈力；繩上拉力恰好為最大承受力等4解決方法當(dāng)確定了物體運動的臨界狀態(tài)和臨界條件后，要分別針對不同的運動過程或現(xiàn)象，選擇相對應(yīng)的物理規(guī)律，然后再列方程求解例1(2018浙江11月選考9)如圖所示，一質(zhì)量為2.0103 kg的汽車在水平公路上行駛，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.4104 N，當(dāng)汽車經(jīng)過半徑為80 m的彎道時，下列判斷正確的是()A汽車轉(zhuǎn)彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力B汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時所需的向心力為1.4104 NC汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m

3、/s時汽車會發(fā)生側(cè)滑D汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過7.0 m/s2答案D解析汽車轉(zhuǎn)彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A錯誤；汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時，根據(jù)Fnmeq f(v2,R)，得所需的向心力為1.0104 N，沒有超過最大靜摩擦力，所以汽車不會發(fā)生側(cè)滑，B、C錯誤；汽車安全轉(zhuǎn)彎時的最大向心加速度為ameq f(Ff,m)7.0 m/s2，D正確例2(多選)如圖所示，兩個質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點)放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l.木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸

4、緩慢地加速轉(zhuǎn)動，用表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度，下列說法正確的是()Ab一定比a先開始滑動Ba、b所受的摩擦力始終相等Ceq r(f(kg,2l)是b開始滑動的臨界角速度D當(dāng)eq r(f(2kg,3l)時，a所受摩擦力的大小為kmg答案AC解析小木塊a、b做圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，即Ffm2R.當(dāng)角速度增大時，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時，發(fā)生相對滑動，對木塊a：Ffama2l，當(dāng)Ffakmg時，kmgma2l，aeq r(f(kg,l)；對木塊b：Ffbmb22l，當(dāng)Ffbkmg時，kmgmb22l，beq r(f(kg,2l)，eq r(f(kg,2l)是b開始滑動的臨界角速度，

5、所以b先達到最大靜摩擦力，即b比a先開始滑動，選項A、C正確；兩木塊滑動前轉(zhuǎn)動的角速度相同，則Ffam2l，則Ffbm22l，F(xiàn)faFfb，選項B錯誤；eq r(f(2kg,3l)aeq r(f(kg,l)，a沒有滑動，則Ffam2leq f(2,3)kmg，選項D錯誤例3(多選)如圖所示，三角形為一光滑錐體的正視圖，錐面與豎直方向的夾角為37.一根長為l1 m的細(xì)線一端系在錐體頂端，另一端系著一可視為質(zhì)點的小球，小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運動，重力加速度g10 m/s2，sin 370.6，不計空氣阻力，則()A小球受重力、支持力、拉力和向心力B小球可能只受拉力和重力C當(dāng)0eq f(

6、5,2)eq r(2) rad/s時，小球?qū)﹀F體的壓力剛好為零D當(dāng)2eq r(5) rad/s時，小球受重力、支持力和拉力作用答案BC解析轉(zhuǎn)速較小時， 小球緊貼圓錐面，則FTcos FNsin mg，F(xiàn)Tsin FNcos m2lsin ，隨著轉(zhuǎn)速的增加，F(xiàn)T增大，F(xiàn)N減小，當(dāng)轉(zhuǎn)速達到0時支持力為零，支持力恰好為零時有mgtan m02lsin ，解得0eq f(5,2)eq r(2) rad/s，A錯誤，B、C正確；當(dāng)2eq r(5) rad/s時，小球已經(jīng)離開斜面，小球受重力、拉力的作用，D錯誤題型二豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題1兩類模型對比輕繩模型(最高點無支撐)輕桿模型(最高點有支撐)實

7、例球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運動的“過山車”等球與桿連接、球在光滑管道中運動等圖示受力示意圖 F彈向下或等于零F彈向下、等于零或向上力學(xué)方程mgF彈meq f(v2,R)mgF彈meq f(v2,R)臨界特征F彈0 mgmeq f(vmin2,R)即vmineq r(gR)v0即F向0F彈mg討論分析(1)最高點，若veq r(gR)，F(xiàn)彈mgmeq f(v2,R)，繩或軌道對球產(chǎn)生彈力F彈(2)若veq r(gR)，則不能到達最高點，即到達最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道(1)當(dāng)v0時，F(xiàn)彈mg，F(xiàn)彈背離圓心(2)當(dāng)0veq r(gR)時，mgF彈meq f(v2,R)，F(xiàn)彈指向圓心并隨v的增

8、大而增大2解題技巧(1)物體通過圓周運動最低點、最高點時，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程；(2)物體從某一位置到另一位置的過程中，用動能定理找出兩處速度關(guān)系；(3)注意：求對軌道的壓力時，轉(zhuǎn)換研究對象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力例4如圖所示，一小球以一定的初速度從圖示位置進入光滑的軌道，小球先進入圓軌道1，再進入圓軌道2，圓軌道1的半徑為R，圓軌道2的半徑是軌道1的1.8倍，小球的質(zhì)量為m，若小球恰好能通過軌道2的最高點B，則小球在軌道1上經(jīng)過其最高點A時對軌道的壓力大小為(重力加速度為g)()A2mg B3mg C4mg D5mg答案C解析小球恰好能通過軌道2的最高

9、點B時，有mgeq f(mvB2,1.8R)，小球在軌道1上經(jīng)過其最高點A時，有FNmgeq f(mvA2,R)，根據(jù)機械能守恒定律，有1.6mgReq f(1,2)mvA2eq f(1,2)mvB2，解得FN4mg，結(jié)合牛頓第三定律可知，小球在軌道1上經(jīng)過其最高點A時對軌道的壓力大小為4mg，C正確例5(2022山東棗莊八中月考)如圖，輕桿長2l，中點裝在水平軸O上，兩端分別固定著小球A和B，A球質(zhì)量為m，B球質(zhì)量為2m，重力加速度為g，兩者一起在豎直平面內(nèi)繞O軸做圓周運動(1)若A球在最高點時，桿的A端恰好不受力，求此時B球的速度大??；(2)若B球到最高點時的速度等于第(1)問中的速度，求

10、此時O軸的受力大小、方向；(3)在桿的轉(zhuǎn)速逐漸變化的過程中，能否出現(xiàn)O軸不受力的情況？若不能，請說明理由；若能，求出此時A、B球的速度大小答案(1)eq r(gl)(2)2mg，方向豎直向下(3)能；當(dāng)A、B球的速度大小為eq r(3gl)時O軸不受力解析(1)A在最高點時，對A根據(jù)牛頓第二定律得mgmeq f(vA2,l)解得vAeq r(gl)因為A、B球的角速度相等，半徑相等，則vBvAeq r(gl)(2)B在最高點時，對B根據(jù)牛頓第二定律得2mgFTOB2meq f(vB2,l)代入(1)中的vB，可得FTOB0對A有FTOAmgmeq f(vA2,l)可得FTOA2mg根據(jù)牛頓第三

11、定律，O軸所受的力的大小為2mg，方向豎直向下(3)要使O軸不受力，根據(jù)B的質(zhì)量大于A的質(zhì)量，設(shè)A、B的速度為v，可判斷B球應(yīng)在最高點對B有FTOB2mg2meq f(v2,l)對A有FTOAmgmeq f(v2,l)軸O不受力時FTOAFTOB可得veq r(3gl)所以當(dāng)A、B球的速度大小為eq r(3gl)時O軸不受力題型三斜面上圓周運動的臨界問題物體在斜面上做圓周運動時，設(shè)斜面的傾角為，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力相等，解決此類問題時，可以按以下操作，把問題簡化例6(多選)如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸2.5 m處有一小物體與圓

12、盤始終保持相對靜止，物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為eq f(r(3),2)，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，盤面與水平面的夾角為30，g取10 m/s2，則以下說法中正確的是()A小物體隨圓盤做勻速圓周運動時，一定始終受到三個力的作用B小物體隨圓盤以不同的角速度做勻速圓周運動時，越大時，小物體在最高點處受到的摩擦力一定越大C小物體受到的摩擦力可能背離圓心D的最大值是1.0 rad/s答案CD解析當(dāng)物體在最高點時，可能只受到重力與支持力2個力的作用，合力提供向心力，故A錯誤；當(dāng)物體在最高點時，可能只受到重力與支持力2個力的作用，也可能受到重力、支持力與摩擦力三個力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也

13、可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上時，越大時，小物體在最高點處受到的摩擦力越小，故B錯誤；當(dāng)物體在最高點時，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圓心，也可能背離圓心，故C正確；當(dāng)物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點恰好不滑動時，轉(zhuǎn)盤的角速度最大，此時小物體受豎直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圓心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FNmgcos ，摩擦力FfFNmgcos ，又mgcos 30mgsin 30m2R，解得1.0 rad/s，故D正確課時精練1.如圖所示，雜技演員表演“水流星”節(jié)目一根長為L的細(xì)繩兩端系著盛水的杯子，演員握住繩中間，隨著演員的掄動，杯

14、子在豎直平面內(nèi)做圓周運動，杯子運動中水始終不會從杯子中灑出，重力加速度為g，則杯子運動到最高點的角速度至少為()A.eq r(f(g,L) B.eq r(f(2g,L) C.eq r(f(5g,L) D.eq r(f(10g,L)答案B解析杯子在豎直平面內(nèi)做半徑為eq f(L,2)的圓周運動，使水不流出的臨界條件是在最高點水的重力恰好提供向心力，則有mgeq f(m2L,2)，可得eq r(f(2g,L)，故B正確，A、C、D錯誤2一汽車通過拱形橋頂時速度為10 m/s，車對橋頂?shù)膲毫檐囍氐膃q f(3,4)，如果要使汽車在該橋頂對橋面恰好沒有壓力，車速為()A15 m/s B20 m/sC

15、25 m/s D30 m/s答案B解析當(dāng)FNFNeq f(3,4)G時，因為GFNmeq f(v2,r)，所以eq f(1,4)Gmeq f(v2,r)；當(dāng)FN0時，Gmeq f(v2,r)，所以v2v20 m/s，選項B正確3.細(xì)繩一端系住一個質(zhì)量為m的小球，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度處，繩長l大于h，使小球在桌面上做如圖所示的勻速圓周運動，重力加速度為g.若要小球不離開桌面，其轉(zhuǎn)速不得超過()A.eq f(1,2)eq r(f(g,l) B2eq r(gh)C.eq f(1,2)eq r(f(h,g) D.eq f(1,2)eq r(f(g,h)答案D解析對小球受力分析，小球受三個

16、力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、繩子拉力F.小球所受合力提供向心力，設(shè)繩子與豎直方向夾角為，由幾何關(guān)系可知Rhtan ，受力分析可知Fcos FNmg，F(xiàn)sin meq f(v2,R)m2R4m2n2R4m2n2htan ；當(dāng)球即將離開水平桌面時，F(xiàn)N0，轉(zhuǎn)速n有最大值，此時neq f(1,2)eq r(f(g,h)，故選D.4.如圖所示，兩段長均為L的輕質(zhì)線共同系住一個質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間距也為L，今使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，當(dāng)小球到達最高點時速率為v，兩段線中張力恰好均為零，若小球到達最高點時速率為2v，則此時每段線中張力大小為(重力加

17、速度為g)()A.eq r(3)mg B2eq r(3)mgC3mg D4mg答案A解析當(dāng)小球到達最高點速率為v時，兩段線中張力均為零，有mgmeq f(v2,r)，當(dāng)小球到達最高點速率為2v時，應(yīng)有Fmgmeq f(2v2,r)，所以F3mg，此時小球在最高點受力如圖所示，所以FTeq r(3)mg，A正確5(2022四川綿陽市診斷)如圖所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力忽略空氣阻力，重力加速度為g，則球B在最高點時()A球B的速度為零B球A的速

18、度大小為eq r(2gL)C水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mgD水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg答案C解析球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即僅重力提供向心力，則有mgmeq f(vB2,2L)，解得vBeq r(2gL)，故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小vAeq f(1,2)eq r(2gL)，故B錯誤；B球在最高點時，對桿無彈力，此時A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有Fmgmeq f(vA2,L)，解得：F1.5mg，即桿的彈力大小為1.5mg，根據(jù)牛頓第三定律可知，C正確，D錯誤6.(2022廣東省深圳中學(xué)模擬)如圖所示，小木塊a、b和c(可視為質(zhì)點)放

19、在水平圓盤上，a、b的質(zhì)量均為m，c的質(zhì)量為eq f(m,2)，a與轉(zhuǎn)軸OO的距離為l，b、c與轉(zhuǎn)軸OO的距離為2l且均處于水平圓盤的邊緣木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動，下列說法中正確的是()Ab、c所受的摩擦力始終相等，故同時從水平圓盤上滑落B當(dāng)a、b和c均未滑落時，a、c所受摩擦力的大小相等Cb和c均未滑落時線速度一定相同Db開始滑動時的角速度是eq r(2kgl)答案B解析木塊隨圓盤一起轉(zhuǎn)動，水平方向只受靜摩擦力，故由靜摩擦力提供向心力，當(dāng)需要的向心力大于最大靜摩擦力時，木塊開始滑動b、c質(zhì)量不等，由Ffmr2知b

20、、c所受摩擦力不等，不能同時從水平圓盤上滑落，A錯誤；當(dāng)a、b和c均未滑落時，a、b、c和圓盤無相對運動，因此它們的角速度相等，F(xiàn)fmr2，所以a、c所受摩擦力的大小相等，B正確；b和c均未滑落時，由vr知線速度大小相等，方向不相同，故C錯誤；b開始滑動時，最大靜摩擦力提供向心力，kmgm2l2，解得eq r(f(kg,2l)，故D錯誤7.如圖所示，一光滑的圓管軌道固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量為m的小球在圓管內(nèi)運動，小球的直徑略小于圓管的內(nèi)徑軌道的半徑為R，小球的直徑遠小于R，可以視為質(zhì)點，重力加速度為g.現(xiàn)從最高點給小球以不同的初速度v，關(guān)于小球的運動，下列說法正確的是()A小球運動到最低點時，對

21、外管壁的最小壓力為4mgB若小球從靜止沿軌道滑落，當(dāng)滑落高度為eq f(R,3)時，小球與內(nèi)、外管壁均沒有作用力C小球能再運動回最高點的最小速度veq r(gR)D當(dāng)veq r(gR)時，小球在最低點與最高點對軌道的壓力大小之差為5mg答案B解析當(dāng)在最高點速度為零時，到達最低點的速度最小，對外管壁的壓力最小，則由機械能守恒定律有mg2Req f(1,2)mv12，在最低點設(shè)外管壁對小球的支持力為F，由牛頓第二定律Fmgmeq f(v12,R)，聯(lián)立解得F5mg，由牛頓第三定律得，小球?qū)ν夤鼙诘膲毫ψ钚?mg，故A錯誤；小球從靜止沿軌道滑落，當(dāng)滑落高度為eq f(R,3)時，由機械能守恒定律有

22、mgeq f(R,3)eq f(1,2)mv22，設(shè)此時重力沿半徑方向的分力為F1，由幾何關(guān)系得F1eq f(2mg,3)，此時所需的向心力為F向meq f(v22,R)，聯(lián)立解得F向F1，此時重力沿半徑方向的分力恰好提供向心力，所以小球與內(nèi)、外管壁均沒有作用力，故B正確；因為管內(nèi)壁可以給小球支持力，所以小球在最高點的速度可以為零，故C錯誤；若在最高點速度veq r(gR)，在最高點時由牛頓第二定律得F2mgmeq f(v2,R)，從最高點到最低點由機械能守恒定律得mg2Req f(1,2)mv32eq f(1,2)mv2，在最低點時由牛頓第二定律得F3mgmeq f(v32,R)，聯(lián)立解得F

23、3F26mg，所以當(dāng)veq r(gR)時，小球在最低點與最高點對軌道的壓力大小之差為6mg，故D錯誤8.如圖所示，質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的B點和A點，繩a長為L，與水平方向成角時繩b恰好在水平方向伸直當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度勻速轉(zhuǎn)動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，a、b繩均拉直重力加速度為g，則()Aa繩的拉力可能為零Ba繩的拉力隨角速度的增大而增大C當(dāng)角速度eq r(f(g,Lsin )時，b繩中拉力不為零D當(dāng)角速度eq r(f(g,Lsin )時，若a繩突然被剪斷，則b繩仍可保持水平答案C解析小球做勻速圓周運動，在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，所以a繩在豎直方向上的分力與小球重力相等，可知a繩的拉力不可能為零，A錯誤；根據(jù)豎