粒子物理與核物理實驗中的數據分析范本學習培訓模板課件

1、粒子物理與核物理實驗中的數據分析本講要點矩的定義、矩的應用與參數估計矩方法與最大似然法和最小二乘法的比較統(tǒng)計誤差中的標準誤差問題經典置信區(qū)間問題利用似然函數或二乘函數確定置信區(qū)間貝葉斯上限2矩的一般表達式假設對隨機變量 x 有n 次測量 x1,xn，服從概率密度函數分布 f (x; ) 。其中有 m 個未知參數 1,m。如果可以構造 m 個線性獨立函數 ai(x), i=1,m，其均值可寫為為了確定參數，上述獨立函數必須進行適當選擇使得含參數的函數 ei( ) 可以確定。此時，函數 ei( ) 可以通過計算無偏的樣本平均值來估計因此，參數值可以通過求解 m 個 ei( ) 方程組來確定。矩的一

2、般表達式3線性獨立函數的方差矩陣參數 1,m 估計值的協(xié)方差矩陣可以首先進行無偏估計它可以與樣本平均值的協(xié)方差矩陣相聯(lián)系, 即4線性獨立函數均值的方差矩陣根據線性獨立函數均值和其估計值的定義，可以有5參數估計值的方差矩陣由于待定參數 是 e 的函數，由誤差傳遞（教材式1.54） 因此待定參數 的協(xié)方差矩陣估計值也可以確定。而根據線性獨立函數的均值估計值表達式 可知參數值的估計值 可通過求解 m 個 方程組來確定。參數估計任務完成 6簡單矩、代數矩和中心矩如果令 x0=0，則一階矩就是隨機變量 x 的期待值定義(也稱作一階代數矩)如果令 x0=Ex , 隨機變量 x 圍繞期待值的二階矩就是隨機變

3、量 x 的方差定義(也稱作二階中心矩)代數矩7代數矩與中心矩的關系代數矩中心矩低階矩之間的關系一般情況下，它們的關系可以有如下表示高階矩對研究概率密度函數在|x-|大值區(qū)間的行為很有幫助。對稱分布的所有奇數中心矩為零。8角分布理論的簡單驗證在實驗 中，理論預言角分布為將角分布化為 cos 的概率密度函數，則其二階代數矩期待值 n=事例數為了驗證理論，我們計算 cos 二階代數樣本矩平均值假設的統(tǒng)計檢驗可以通過簡單比較二階代數矩的期待值與樣本矩平均值來完成。9簡單驗證中的誤差估計在前面例子中對于不含參數的簡單情形 cos 二階代數矩平均值的誤差估計可以按下列方法進行已知真值樣本矩的方差為樣本矩平

4、均值的方差可以證明為0.390.01 觀測值在一個標準誤差范圍內與理論預期相符。10含參數情況舉例在上例中，假設已知理論中包含一未知參數 ，例如和前例一樣，計算出 cos 二階代數矩的理論期待值 則參數 與二階代數矩的關系為 只要函數是可積的，采用矩方法原則上就可以測定參數。11簡單矩方法應用的其它問題非物理解問題：利用矩方法測定參數，可能會出現非物理結果。例如前例的二階代數矩中，如果在矩方法中，我們無法加上限制條件使得參數的測定值保持在物理允許的范圍內。假設檢驗問題：利用矩方法測定參數，由于只比較積分值并解方程得到參數估計值，信息含量不足，因此無法判斷所得到的參數是否合理。實際應用中需要輔之

5、以其它方法來檢驗。適用范圍問題：矩方法雖然簡單，但在處理多參數問題中，由于涉及更高階的積分，使研究變得復雜。在這種情況下，可以考慮采用所謂的“廣義矩方法”。12最大似然法、最小二乘法和矩矩方法最大似然法最小二乘法數據輸入單個事例單個事例直方圖多維問題最容易歸一化較復雜較難充分性會有信息丟失最具充分性有時與區(qū)間大小有關一致性收斂于真值收斂于真值收斂于真值有效性不是最有效通常最有效基本上與似然法一樣無偏性漸進無偏漸進無偏漸進無偏擬合優(yōu)度較難評估較難評估很容易充分性：估計量應包含觀測值對于未知參數的全部信息；一致性：樣本容量增大時，估計值收斂于真值；有效性：估計量的分布對其期望值具有最小方差；無偏性

6、：無論樣本容量多大，估計值與真值無系統(tǒng)偏差。13再論統(tǒng)計分析的目標假設檢驗參數擬合檢驗數據是否與某一特定理論相符(注意，該理論可包含一些自由參數）。利用數據確定自由參數的大小。相符的程度由顯著水平來表示。參數的準確程度由對應的誤差大小來表示。如何定量計算顯著水平與確定誤差的大小。8/6/202214測量結果的表述與含義其真正的含義是什么呢？15參數估計值的分布可以用來作為誤差傳遞的輸入參量，以及用最小二乘法求平均值等等。中心置信區(qū)間應給出不對稱的誤差只有當要對不同實驗求平均值時，它的形式就會發(fā)揮作用。給出了 68.3% 置信區(qū)間范圍。16經典置信區(qū)間的定義17參數置信帶的定義不等式 等價于 1

7、8參數的置信區(qū)間確定或者合并成 根據置信帶的定義，有不等式19參數置信區(qū)間含義它的深刻含義是注意，該區(qū)間是隨機的，真值 是一個未知常數。包含真實參數的概率為1- -而是意味著：重復同樣樣本大小的實驗多次，每次按同樣的描述構造置信區(qū)間，有1- - 部分的實驗，置信區(qū)間將覆蓋。20單邊與中心置信區(qū)間通常，取 = = /2有時，單獨指定 或 單邊區(qū)間(極限，上限或下限)粒子與核物理的誤差慣例是：68.3%的中心置信區(qū)間。覆蓋概率為1- 中心置信區(qū)間21經典置信區(qū)間通常，我們并不構造置信帶，而是解下列方程得到 a 與 b 的區(qū)間極限。22高斯分布估計量的置信區(qū)間如果存在為了找到 置信區(qū)間，解下列方程

8、得到 a 與 b 的解23高斯分布的累積函數與分位點是標準高斯的累積函數，可以證明24標準高斯的分位點為了找到服從高斯分布的參數估計量的置信區(qū)間，需要確定下列分位點通常對分位點取整 有時對概率覆蓋率取整 10.682710.841320.954420.977230.997330.99870.901.6450.901.2820.951.9600.951.6450.992.5760.992.326中心 單邊中心 單邊25泊松分布均值的置信帶確定對于固定的 ，由于 只能取分立值，置信帶對任意的 并不一定存在。這種情況下，可考慮把方程變?yōu)?得出 a 與 b26泊松分布均值的置信區(qū)間確定利用27泊松分布

9、均值的置信水平上限值重要特例:對于置信水平 1-=95% 的上限，28例子: 無本底稀有衰變分支比已知實驗對稀有衰變 的單個事例靈敏度為如果實驗上沒有觀察到一個事例，要給出90%的置信水平，需計算如果實驗上觀察到一個事例，要給出68%的置信區(qū)間的分支比，需要給出重復實驗在 (1-0.68)/2=0.16 范圍內觀察到至少一個事例的下限以及不多于一個事例的均值上限29從log L或 2 近似給出置信區(qū)間若 log L( ) 呈拋物線狀，通過將log L( )展開, 則可得到即使 log L( )并不呈拋物線狀，也可給出置信區(qū)間的近似值例如在指數函數例子中，只有 n=5個觀測值時30多維置信區(qū)間研究中常遇到需要給出多參數擬合情況下的多維置信區(qū)間參數的聯(lián)合概率密度函數為其中這里 V-1 為協(xié)方差矩陣。當聯(lián)合概率密度函數值不變時，其等高線對應于常數的 Q。它們是在參數空間以真值為中央的橢圓（或對于兩維以上的超橢圓）。31二維參數的置信區(qū)間例如在中微子振蕩實驗中的雙參數擬合問題Phys.Rev.D74:072003,200632含本底泊松分布的經典置信區(qū)間在觀察到 nobs 個事例條件下的置信區(qū)間的確定可能會出現的問題：如果本底研究給出的預言值 b與實驗觀測值 nobs可比較，那么可能會出現信號事例上限 只可能取零值的情況。