現(xiàn)代平差技術(shù)

1、 現(xiàn)代 1 序貫平差 序慣平差也叫逐次相關(guān)間接平差，它是將觀測值分成兩組或多組，按組的順序分別做相關(guān)間接平差，從而使其達(dá)到與兩期網(wǎng)一起做整體平差同樣的結(jié)果。分組后可以使每組的法方程階數(shù)降低，減輕計算強(qiáng)度，現(xiàn)在常用于控制網(wǎng)的改擴(kuò)建或分期布網(wǎng)的平差計算，即觀測值可以是不同期的，平差工作可以分期進(jìn)行 2序慣平差原理 設(shè)某平差問題，觀測向量 ，現(xiàn)把它分為兩組 ，組內(nèi)相關(guān)，組間互不相關(guān)，即： 按間接平差原理選取參數(shù) ，取近似 ，改正數(shù)為 ，分組后兩組的誤差方程分別為 權(quán)陣 權(quán)陣 （i=1、2） 3序慣平差原理若按整體平差，誤差方程可以寫為 權(quán)陣為 按間接平差原理可得其法方程為 即 由上式可得 4序慣平差

2、原理按分組平差，先對第一組誤差方程進(jìn)行第一次平差（因未顧及第二組觀測值，所以第一次平差只能得到的第一次近似值，用 表示）。函數(shù)模型可改寫為 權(quán)陣 按間接平差原理，可直接給出公式，其法方程為 未知參數(shù)的第一次改正數(shù) 未知參數(shù)的第一次平差值 5序慣平差原理 第一次平差后未知參數(shù)的權(quán)陣為 觀測值的第一次改正數(shù) ，而 。再單獨對第二組誤差方程作第二次平差，此時，應(yīng)把第一次平差后求得的參數(shù) 作為虛擬觀測值參與平差，其權(quán)陣為 。誤差方程為： 聯(lián)合第二組誤差方程。即： 其中 或 。6序慣平差原理聯(lián)合組成法方程為 即 由上式可得參數(shù)的第二次改正數(shù)為 將上式代入 即可求得第二組觀測值的整體改正數(shù)。那么第一組觀測

3、值的第二次改正數(shù)如何求呢？我們可以用 分別代替 ，即： 7序慣平差原理 因為經(jīng)過第一次平差后，已使 成立，所以有 最后的平差值為： 8 秩虧自由網(wǎng)平差 不同類型控制網(wǎng)的秩虧數(shù)就是經(jīng)典平差時必要的起算數(shù)據(jù)的個數(shù)。即有： 在控制網(wǎng)秩虧的情況下，法方程有解但不唯一。也就是說僅滿足最小二乘準(zhǔn)則，仍無法求得的唯一解，這就是秩虧網(wǎng)平差與經(jīng)典平差的根本區(qū)別。為求得唯一解，還必須增加新的約束條件，來達(dá)到求唯一解的目的。秩虧自由網(wǎng)平差就是在滿足最小二乘和最小范數(shù)的條件下，求參數(shù)一組最佳估值的平差方法。 9秩虧網(wǎng)平差秩虧網(wǎng)平差主要有以下三種:普通的秩虧網(wǎng)平差.它是在最小范數(shù)的要求下選擇基準(zhǔn),以求定未知參數(shù)的唯一估

4、值 XTX=Min10秩虧網(wǎng)平差擬穩(wěn)平差.將網(wǎng)中的未知的參數(shù)分為兩類,即設(shè) XT=X1T, X2T 它是在部分參數(shù)最小范數(shù)的要求下選擇 X2T X2= Min基準(zhǔn),以求定未知參數(shù)的唯一估值.11秩虧網(wǎng)平差加權(quán)秩虧網(wǎng)平差.它是在加權(quán)最小范數(shù)的要求下選擇基準(zhǔn),以求定未知參數(shù)的唯一估值 XT PXX= Min 12直接解法 根據(jù)廣義逆理論，相容方程組 雖然具有無窮多組解，但它有唯一的最小范數(shù)解，即： （5-1)式中 ，稱為矩陣的最小范數(shù)g逆。 稱為矩陣 的g逆。代入上式得 (5-2)上式就是根據(jù)廣義逆理論直接求解參數(shù)的唯一最小范數(shù)解的公式。由于廣義逆計算較為復(fù)雜，下面將公式做進(jìn)一步改化： 13直接解

5、法令 (5-3）式中 行滿秩，即 ，于是有 （5-4）而 ，所以 為滿秩方陣，按照降階法求矩陣廣義逆的方法，即：如果有矩陣14直接解法其中 存在凱利逆，則有 的g逆 （5-5）根據(jù)上式可得 （5-6）代入（5-1）式，得 （5-7）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為： 15附加條件法（偽觀測值法） 附加條件法的基本思想：由于網(wǎng)中沒有起算數(shù)據(jù)，平差時多選了d個未知參數(shù)，因此在u個參數(shù)之間必定滿足d個附加條件式，即在原平差函數(shù)模型中需要加入d個未知參數(shù)間的限制條件方程，從而可以按附有條件的間接平差法求解。問題的關(guān)鍵是如何導(dǎo)出等價于的限制條件方程的具體形式。 16附加條件法（偽觀測值法）設(shè)等價于約束條件的限制條件

6、方程為 （5-8）式中 且滿足 稱為附加陣。故秩虧自由網(wǎng)平差的函數(shù)模型為 權(quán)陣為 17按照附有條件的間接平差可得法方程 （5-9）式中 ，且 ，唯一不同的是這里為秩虧陣。 18附加條件法（偽觀測值法） 為解決秩虧問題，將（5-9）中的第二式左乘矩陣后，再加到第一組中得： （5-10） 式中 ，且根據(jù)附有條件的間接平差原理，上式的解為 （5-11） （5-12） 由于上述解是通過增加未知參數(shù)間滿足的d個附加條件，按照附有條件的間接平差法而實現(xiàn)的，19附加條件法（偽觀測值法）因此人們把此法稱為附加條件法。但它又不同于經(jīng)典的附有條件的間接平差法，其主要表現(xiàn)為：當(dāng) 陣滿足 時，必定有下式成立 （5-1

7、3）將（5-13）式代入（5-12）式，得參數(shù)的解為 （5-14）實質(zhì)上最小二乘原則與未知參數(shù)附加基準(zhǔn)條件無關(guān)， 是一個不變量。20擬穩(wěn)平差設(shè) 則有 若令21擬穩(wěn)平差擬穩(wěn)平差的函數(shù)模型和平差原則為由附條件的間接平差法，組成法方程令 22秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)的動態(tài)平差假設(shè)某一時期內(nèi)各水準(zhǔn)點的高程變化時勻速的，則平差模型可采用線性運動模型式中，X是某一中心時刻T0時的水準(zhǔn)點高程參數(shù)， 為復(fù)測期間內(nèi)的水準(zhǔn)點的高程速率參數(shù)某一水準(zhǔn)網(wǎng)經(jīng)過m期重復(fù)觀測后，有觀測向量23秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)的動態(tài)平差第K期的誤差方程式中令24秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)的動態(tài)平差 以第K期的第ij測段的高差觀測值hij為例，導(dǎo)出誤差方程的純量形式25秩虧水準(zhǔn)網(wǎng)

8、的動態(tài)平差組成法方程式中，自由網(wǎng)平差時，系數(shù)矩陣B是列秩虧陣，按照秩虧網(wǎng)動態(tài)平差的解計算公式為 26附加系統(tǒng)參數(shù)的平差 經(jīng)典平差中總是假設(shè)觀測值中不含系統(tǒng)誤差，但測量實踐表明，盡管在觀測過程中采用各種觀測措施和預(yù)處理改正，仍會含有殘余的系統(tǒng)誤差。消除或減弱這種殘余系統(tǒng)誤差可借助于平差方法，即：通過在經(jīng)典平差模型中附加系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，這種平差方法稱為附加系統(tǒng)參數(shù)的平差法。 27附加系統(tǒng)參數(shù)的平差經(jīng)典的高斯馬爾可夫模型為 （5-1）當(dāng)觀測值中含有系統(tǒng)誤差時，顯然在這種情況下，需要對經(jīng)典的高斯馬爾可夫模型進(jìn)行擴(kuò)充。設(shè)觀測誤差 包含系統(tǒng)誤差 和偶然誤差 ，即考慮平差是線性模型，可設(shè) ，于是

9、有 （5-2）及 28附加系統(tǒng)參數(shù)的平差將（5-2）式代入（5-1）式，即得附加系統(tǒng)參數(shù)的平差函數(shù)模型為： （5-3）由（5-3）式得誤差方程為 （5-4）其法方程為 （5-5）令上式可簡寫為29附加系統(tǒng)參數(shù)的平差 （5-6）由分塊矩陣求逆公式得 （5-7）式中 如果平差模型中不含有系統(tǒng)誤差，即 ，則有 考慮到此關(guān)系式，則（5-7）式可寫成 30附加系統(tǒng)參數(shù)的平差 （5-8）由（5-7）式知， 和 的協(xié)因數(shù)陣為 （5-9） （5-10）單位權(quán)中誤差為 （5-11）31 方差分量估計 平差前觀測值向量的方差陣一般是未知的，因此平差時隨機(jī)模型都是使用觀測值向量的權(quán)陣。而權(quán)的確定往往都是采用經(jīng)驗定權(quán)

10、，也稱為隨機(jī)模型的驗前估計，對于同類觀測值可按第一章介紹的常用定權(quán)方法定權(quán)；對于不同類的觀測值，就很難合理地確定各類觀測值的權(quán)。為了合理地確定不同類觀測值的權(quán)，可以根據(jù)驗前估計權(quán)進(jìn)行預(yù)平差，用平差后得到的觀測值改正數(shù)來估計觀測值的方差，根據(jù)方差的估計值重新進(jìn)行定權(quán)，以改善第一次平差時權(quán)的初始值，再依據(jù)重新確定的觀測值的權(quán)再次進(jìn)行平差，如此重復(fù)，直到不同類觀測值的權(quán)趨于合理，這種平差方法稱為驗后方差分量估計。 32赫爾默特方差分量估計公式 按間接平差時的數(shù)學(xué)模型為 （函數(shù)模型） （6-1） （ 隨機(jī)模型） （6-2）其誤差方程為 權(quán)陣 （6-3） 權(quán)陣 （6-4） 33赫爾默特方差分量估計公式

11、作整體平差時，法方程為 （6-5）式中 一般情況下，由于第一次給定的權(quán) 、是不恰當(dāng)?shù)模蛘哒f它們對應(yīng)的單位權(quán)方差是不相等的，設(shè)為 和 ，則有 （6-6） 34赫爾默特方差分量估計公式 但只有 才認(rèn)為定權(quán)合理。方差分量估計的目的就是根據(jù)事先初定的權(quán) 、 進(jìn)行預(yù)平差，然后利用平差后兩類觀測值的 、 來求估計量 ，再根據(jù)（6-6） 式求 ，由這個方差估值再重新定權(quán)，再平差，直到 為止。為此需要建立 、 與估計量 之間的關(guān)系式。 35赫爾默特方差分量估計公式由數(shù)理統(tǒng)計知識可知，若有服從任一分布的q維隨機(jī)變量 ，已知其數(shù)學(xué)期望為 ，方差陣為 ，則向量的任一二次型的數(shù)學(xué)期望可以表達(dá)為： （6-7） 式中

12、為任意q階的對稱可逆陣?，F(xiàn)用向量 代替上式中的 向量，則其中的 應(yīng)換為 ， 應(yīng)換為 ， 陣可以換成權(quán)陣 ，于是有 36赫爾默特方差分量估計公式前面已經(jīng)證明 ，于是有： （6-8）而 對上式應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律得 37赫爾默特方差分量估計公式將 代入上式，整理后得將上式代入（6-8）式，得 顧及矩陣跡的性質(zhì)，上式可寫為38赫爾默特方差分量估計公式去掉上面兩式的期望符號，相應(yīng)的單位權(quán)方差 也改用估值 符號表示，整理順序后得 （6-9） （6-10）其矩陣形式可寫為 （6-11） （6-12 ）39赫爾默特方差分量估計公式 兩式即為赫爾默特方差分量估計的嚴(yán)密公式。由此式可以求得兩類觀測值的單位權(quán)方差估值，從而可以根據(jù)（6-6）式求得觀測值方差的估值，以此方差估值再次定權(quán)，再次平差，直至滿足要求為止 。40論文題目1、談?wù)劕F(xiàn)代平差理論在變形監(jiān)測中的應(yīng)用前景和發(fā)展現(xiàn)狀2、秩虧自由網(wǎng)平差在