級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)

1、第十一章無窮級(jí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容目錄：18本章主要內(nèi)容：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：無窮級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的定義，無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，級(jí)數(shù)收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，P級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)，萊布尼茲定理，絕對(duì)收斂和條件收斂。幕級(jí)數(shù)：幕級(jí)數(shù)概念，阿貝爾（Abel）定理，幕級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，幕級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算，和的連續(xù)性、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分。泰勒級(jí)數(shù)，函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的唯一性，函數(shù)（ex、sinx、cosx、ln（1+x）、（1+x）m等）的冪級(jí)數(shù)展開式，冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用舉例，“歐拉（Euler）公式。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念，收效域及和函數(shù)。教學(xué)目的與要求：1、

2、理解無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、掌握幾何級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)的收斂性。3、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。4、理解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法（萊布尼茲定理）。5、了解無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。6、了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7、掌握比較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點(diǎn)的收斂性可不作要求）。8、了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。9、了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。10、掌握應(yīng)用ex,sinx,cox,en（1+x和（1+x）u的馬克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡(jiǎn)單的的函數(shù)間接展開成

3、冪級(jí)數(shù)的方法。11、了解函數(shù)展開為傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)的狄利克雷（Dirchet）條件，會(huì)將定義在（-nn）上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，并會(huì)將定義在（-nn）上的函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。本章重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn):正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法；將一些簡(jiǎn)單的的函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)難點(diǎn)：應(yīng)用逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微分的性質(zhì)求和函數(shù)、本章計(jì)劃學(xué)時(shí)：16學(xué)時(shí)（2節(jié)習(xí)題課）教學(xué)手段：課堂講授、習(xí)題課、討論，同時(shí)結(jié)合多媒體教學(xué)推薦閱讀文獻(xiàn)：高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（下）高等數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)雙博士課堂推薦閱讀文獻(xiàn)：高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（下）高等數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)雙博士課堂（第十一章）主編（第十一章）主編（第十一章）主編

4、同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系彭舟航空工業(yè)出版社大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書編寫組中國水利水電出版社北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院機(jī)械工業(yè)出版社作業(yè)：習(xí)題111：2（2、4）、3（2）、4（1、3、5）習(xí)題112:1（1、3、5）、2（2、4）、3（1、3、4）、4（1、3、5）、5（1、3、5）習(xí)題113:1（1、3、5、6、8）、2（1、3）習(xí)題114:1、2（2、3、5）、4、6習(xí)題117:1（1、3）、2（1）4、6能力培養(yǎng)及措施：通過精講多練，啟發(fā)式教學(xué)，討論式教學(xué)，重點(diǎn)講授重點(diǎn)、難點(diǎn)，自學(xué)部分內(nèi)容，課堂討論，結(jié)合習(xí)題課及多媒體教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的比較熟練的運(yùn)算能力、邏輯推理的能力及抽象思維能力，推薦學(xué)生閱讀相關(guān)文獻(xiàn)培

5、養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力11-1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)問題的提出一一計(jì)算半徑為R圓的面積用內(nèi)接正3X2n邊形的面積逐步逼近圓面積：正六邊形面積Aa1,正十二邊形面積Aa1+a2,正32n形面積Aa+a?+an若內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n無限增大，則和a1+a2+的極限就是所要求的圓面積A。這時(shí)和式中的項(xiàng)數(shù)無限增多，出現(xiàn)了無窮多個(gè)數(shù)量依次相加的數(shù)學(xué)式子。一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如果給定一個(gè)數(shù)列U1,U2,U3,Un，,則表達(dá)式u1+u2+u3+un+（1）叫（常數(shù)項(xiàng)）無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)，記為n1注1:怎樣理解級(jí)數(shù)中無窮多個(gè)數(shù)量相加呢？觀察有限項(xiàng)和的變化趨勢(shì)2.級(jí)數(shù)的部分和：前n項(xiàng)的和SnUi

6、U22.級(jí)數(shù)的部分和：前n項(xiàng)的和SnUiU2nUnUii1部分和數(shù)列Sn：qU1S2U1+U2SnUi+U2+U3+Un3.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散limSnsn定義（斂散性）如果級(jí)數(shù)Un的部分和數(shù)列Sn有極限S，即n1則稱無窮級(jí)數(shù)Un收斂，極限S為這級(jí)數(shù)的和，并寫成n1SU1+U2+U3+Un+如果數(shù)列Sn沒有極限，則稱無窮級(jí)數(shù)Un發(fā)散n1注2：若級(jí)數(shù)收斂，Sn是和S的近似值，rnSSnUn1Un2叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng).,Sn代替和S所產(chǎn)生的誤差是該余項(xiàng)的絕對(duì)值，即誤差是rn。判別級(jí)數(shù)1市市的收斂性-解Unk1（k2）（k3）k1（k2）（k3）1111111（n2n3）31limSn-n1所以級(jí)數(shù)收斂，

7、它的和是1例2討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）aqn（ak0,q:級(jí)數(shù)的公比）的收斂性n0分析：若q1,Snaaqnn1aaqaq1q當(dāng)q1時(shí)，limqn0,limSn級(jí)數(shù)收斂，其和二.當(dāng)q1時(shí),limqn,limSn,級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)|q1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散即:若q1,級(jí)數(shù)收斂；若q1，級(jí)數(shù)發(fā)散.例3討論調(diào)和級(jí)數(shù)11111的收斂性.n1n23n分析因?yàn)閤In1xx013141n11In2,InInIn2233nn11134n11In2InInInInn123n23nlimsnnlimInnn1,所以級(jí)數(shù)發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1若級(jí)數(shù)Un收斂于和S,則級(jí)數(shù)kUn也收斂，且其和為kS.TOCo1-5hzn1n

8、1分析：設(shè)Un與kUn的部分和分別為Sn與n，則nkS.,n1n1limnlimksnklimsnks.貝Ukun收斂，和為ks.nnnn1由nkSn知，若Sn無極限且k0,則n也無極限.結(jié)論：級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后，它的收斂性不會(huì)改變.3門333n02n22n級(jí)數(shù)收斂；2n1n2222n級(jí)數(shù)發(fā)散性質(zhì)2若Un、Vn分別收斂于S、，則(UnVn)也收斂,且其和為Sn1n1n1分析：Un、vn:sn、n)(UnVn）的部分和nsnnn1n1n1limns.則(unvn)收斂，且其和為s.nn1注3：性質(zhì)2也說成：兩收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加減.性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉或加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收

9、斂性.分析：只需證明“在級(jí)數(shù)的前面部分去掉或加上有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性”因?yàn)槠渌樾?即在級(jí)數(shù)中任意去掉、加上或改變有限項(xiàng)的情形)都可以看成在級(jí)數(shù)的前面先去掉有限項(xiàng),然后再加上有限項(xiàng)的結(jié)果.將級(jí)數(shù)Ui+U2+U3+Uk+Uk1+Ukn+的前k項(xiàng)去掉，得級(jí)數(shù)Uk1+Ukn+新級(jí)數(shù)的部分和為n=Uki+U=Snk其中S是原級(jí)數(shù)的前k+n項(xiàng)的和因Sk是常數(shù)，故n時(shí)，n與Skn或者同時(shí)有極限，或者同時(shí)沒有極限類似地，可以證明在級(jí)數(shù)的前面加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)Un收斂,則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)n1(U1Un1)(Un11Un2)(Unk1Unk)(2)仍然收斂

10、,且其和不變.即加括弧后所成的級(jí)數(shù)收斂,且其和不變.注意如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)收斂,則不能斷定去括號(hào)后原來級(jí)數(shù)也收斂.例如級(jí)數(shù)(1-1)+(1-1)+收斂于零但級(jí)數(shù)1-1+1-1+是發(fā)散的推論：如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原來級(jí)數(shù)也發(fā)散事實(shí)上，倘若原來級(jí)數(shù)收斂，則根據(jù)性質(zhì)4知道，加括弧后的級(jí)數(shù)就應(yīng)該收斂了.性質(zhì)5(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)若nUn收斂,則limUnn分析設(shè)mUn的部分和為且SnS(n),則燈山河&Sn1)0.注4:(1)limUn0是級(jí)數(shù)收斂的必要條件而非充分條件n如調(diào)和級(jí)數(shù)1-23雖然Un10(n),但它是發(fā)散的nlimUnn0(不存在)，則Un發(fā)散。n1例4討論下列級(jí)數(shù)的收斂性小結(jié):本節(jié)介紹了無窮級(jí)數(shù)