高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：3.1.1 橢圓（第一課時(shí)）（精講）（解析版）

1、3.1.1 橢圓思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法考點(diǎn)一 橢圓的定義【例1】（1）（2020上海徐匯.高二期末）已知是定點(diǎn)，.若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）直線B線段C圓D橢圓（2）（2019寧波市第四中學(xué)高二期中）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于( )A4B5C8D10【答案】（1）B（2）D【解析】（1）對(duì)于在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和等于6，而6正好等于兩定點(diǎn)、的距離，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為端點(diǎn)的線段故選：B（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，由橢圓的的定義知，故選D橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，

2、否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件【一隅三反】1（2020河南省魯山縣第一高級(jí)中學(xué)高二月考）若橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，則其到右焦點(diǎn)的距離為（ ）ABCD【答案】D【解析】由題意a=3,P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2a-5=12（2020東城.北京五十五中高二月考）若橢圓上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為6，則到另一焦點(diǎn)的距離為( )A4B194C94D14【答案】D【解析】依題意，且.故選：D3.下列命題是真命題的是_(將所有真命題的序號(hào)都填上)已知定點(diǎn)F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿足|PF1|PF2|eq r(2)的點(diǎn)P的軌跡為橢圓；已知定點(diǎn)F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿足|PF

3、1|PF2|4的點(diǎn)P的軌跡為線段；到定點(diǎn)F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓【答案】【解析】eq r(2)B0，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)的取值范圍橢圓，必須要滿足解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【一隅三反】1（2020廣東高三月考（文）“”是“方程表示橢圓”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓的充要條件是，即且，故“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件.故選：B.2（2017浙江東陽(yáng).高二期中）如果方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）ABC或D或【答案】D【解析】橢圓的焦點(diǎn)在軸上

4、，解得或，故選D.3（2019北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，故：，且；又該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故只需，解得.故選：D.【例2-2】（1）（2018黑龍江哈爾濱三中高二期中（文）已知的頂點(diǎn)，在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在上，則的周長(zhǎng)是（）ABCD（2）（2019廣西田陽(yáng)高中）已知是橢圓上一點(diǎn)， 為橢圓的兩焦點(diǎn)，且，則面積為（ ）ABCD【答案】（1）C【解析】（1）的頂點(diǎn)，在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在上，由橢圓的定義可得：的周長(zhǎng)是故選：C（2）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得

5、：a5，b3，c4，設(shè)|PF1|t1，|PF2|t2，所以根據(jù)橢圓的定義可得：t1+t210，在F1PF2中，F(xiàn)1PF260，所以根據(jù)余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2（2c）264，整理可得：t12+t22t1t264，把兩邊平方得t12+t22+2t1t2100，所以得t1t212，F(xiàn)1PF23故選A【一隅三反】1（2019黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考（文）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在此橢圓上,則的周長(zhǎng)等于（ ）A20B16C18D14【答案】C【解析】根據(jù)橢圓方程可知，根據(jù)橢圓的定義可知，的周長(zhǎng)為，故選C.2（2018湖南高二期

6、中（理）已知E、F分別為橢圓x225+y29=1的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為60的直線l過(guò)點(diǎn)E，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則FAB的周長(zhǎng)為( )A10B12C16D20【答案】D【解析】橢圓x225+y29=1，可得a=5，三角形AF2B的周長(zhǎng)=|AF2|+|BF2|+|AB|，|AB|=|AF1|+|BF1|，所以：周長(zhǎng)=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|，由橢圓的第一定義，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，所以，周長(zhǎng)=4a=20故選：D3已知P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且F1PF260，則F1PF2的面積是_【答案】【解析】|PF1|PF2|

7、4，又F1PF260，由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos6012(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|PF1|PF2|，.考點(diǎn)三 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3】（2020四川內(nèi)江,高二期末）分別求適合下列條件的方程：（1）焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）與橢圓具有相同的離心率且過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（3）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】（1）；（2）或（3）【解析】（1）由已知條件可得，可得，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）易知橢圓的離心率當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的方程為，把點(diǎn)代入方程

8、，得又，解得，所以所求橢圓的方程為當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，同理可設(shè)橢圓的方程為，把點(diǎn)代入方程，得又，解得，所以所求橢圓的方程為（2）因設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或.根據(jù)焦點(diǎn)位置分類討論，再根據(jù)離心率以及點(diǎn)在橢圓上列方程組解得，即得結(jié)果.【一隅三反】1（2019全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,2)；(2)ca513，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.（3）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和【答案】(1) (2)或（3）【解析】(1)由焦距是4，可得c2，且

9、焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，(0,2)由橢圓的定義知，所以a4，所以b2a2c216412.又焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意知，2a26，即a13，又因?yàn)閏a513，所以c5，所以b2a2c213252144，因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（2）設(shè)橢圓的方程為將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，得，解得，故所求橢圓的方程為考點(diǎn)四 離心率【例4】（1）（2020武威第八中學(xué)高二期末（理）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為 。（2）（2019江西南昌十中高二期中（文）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若為正三角形，則橢圓的離心率為【答案】（1）（

10、2）【解析】（1）根據(jù)題意，可知，因?yàn)?，所以，即，所以橢圓的離心率為.（2）根據(jù)題意，如圖所示，可得為正三角形，可得在中，有，點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義可得，則該橢圓的離心率1橢圓的離心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用eeq r(1f(b2,a2)，求出eq f(b,a)后求e.(2)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，利用b2a2c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構(gòu)造關(guān)于eq f(c,a)(e)的方程求e.2求離心率范圍時(shí)，常需根據(jù)條件或橢圓的范圍建立不等式關(guān)系，通過(guò)解不等式求解，注意最后要與區(qū)間(0,1)取交集【一隅三反】1（2020江蘇淮安.高二期中）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)

11、為，若過(guò)原點(diǎn)作的垂線交橢圓的右準(zhǔn)線于點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，則此橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，所以，由于點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上，且到軸的距離為，則，所以，由題得，則，即，則有，即，而，所以，整理得：，則，即，解得：，即橢圓的離心率為.故選：C.2（2019歷下.山東師范大學(xué)附中）橢圓的短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于9，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)橢圓的短軸長(zhǎng)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，則，即；或，若，由得：，橢圓的離心率；若，由得：，不符合題意，舍去，故橢圓的離心率為.故選：C.3（2019內(nèi)蒙古通遼實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）橢圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)