高中數(shù)學(xué)選修第一冊：1.4.1 空間向量的應(yīng)用（一）（精講）（解析版）

1、 1.4.1 空間向量應(yīng)用（一）思維導(dǎo)圖常見考法考法一 平面的法向量【例1】（2020年廣東潮州）如圖已知ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，ADeq f(1,2)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?1)求平面ABCD的一個法向量；(2)求平面SAB的一個法向量；(3)求平面SCD的一個法向量【答案】見解析【解析】以點A為原點，AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，S(0,0,1)(1)SA平面ABCD，eq o(

2、AS,sup7()(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量(2)ADAB，ADSA，AD平面SAB，eq o(AD,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)是平面SAB的一個法向量(3)在平面SCD中，eq o(DC,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，0)，eq o(SC,sup7()(1,1，1)設(shè)平面SCD的法向量是n(x，y，z)，則neq o(DC,sup7()，neq o(SC,sup7()，所以eq blcrc (avs4alco1(no(DC,sup7()0，,no(SC,sup7()0，)得方程組eq b

3、lcrc (avs4alco1(f(1,2)xy0，,xyz0，)eq blcrc (avs4alco1(x2y，,zy，)令y1，得x2，z1，n(2，1,1)1.利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n(x，y，z)(2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個不共線向量eq o(AB,sup7()，eq o(AC,sup7()(3)列方程組：由eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup7()0，,no(AC,sup7()0，)列出方程組(4)解方程組：eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup7()0，,no(AC,sup7()0.)(5)賦非零值

4、：取其中一個為非零值(常取1)(6)得結(jié)論：得到平面的一個法向量2.求平面法向量的三個注意點(1)選向量：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量(2)取特值：在求n的坐標時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量(3)注意0：提前假定法向量n(x，y，z)的某個坐標為某特定值時一定要注意這個坐標不為0【一隅三反】1（2020年廣東惠州）正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：(1)平面BDD1B1的一個法向量；(2)平面BDEF的一個法向量【答案】見解析【解析】設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱

5、長為2，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)(1)連接AC(圖略)，因為AC平面BDD1B1，所以eq o(AC,sup7()(2,2,0)為平面BDD1B1的一個法向量(2)eq o(DB,sup7()(2,2,0)，eq o(DE,sup7()(1,0,2)設(shè)平面BDEF的一個法向量為n(x，y，z)eq blcrc (avs4alco1(no(DB,sup7()0，,no(DE,sup7()0，)eq blcrc (avs4alco1(2x2y0，,x2z0，)eq blcrc (avs4alco1(yx，,zf(1,2)x.)令x2

6、，得y2，z1.n(2，2，1)即為平面BDEF的一個法向量.2（2019漣水縣第一中學(xué)高二月考）四棱錐中，底面，為正方形的對角線，給出下列命題：為平面PAD的法向量； 為平面PAC的法向量； 為直線AB的方向向量； 直線BC的方向向量一定是平面PAB的法向量 其中正確命題的序號是_【答案】，【解析】因為底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；由底面是正方形知，因為底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，為平面PAC的法向量，正確；因為底面是正方形，所以，則為直線AB的方向向量，正確；易知，因為底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面P

7、AB，所以平面PAB，故正確.故答案為：，考點二 空間向量證明平行【例2】（2019年廣東湛江二中周測）如圖所示，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點求證：PB平面EFG.（2）證明平面EFG平面PBC【答案】見解析【解析】證明平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2

8、)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)eq o(PB,sup6()(2，0，2)，eq o(FE,sup6()(0，1，0)，eq o(FG,sup6()(1，1，1)，設(shè)eq o(PB,sup6()seq o(FE,sup6()teq o(FG,sup6()，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，eq blcrc (avs4alco1(t2，,ts0，,t2，)解得st2，eq o(PB,sup6()2eq o(FE,sup6()2eq o(FG,sup6()，又eq o(FE,sup6()與eq o(FG,sup6()不共線，eq o(PB,sup6()，eq

9、 o(FE,sup6()與eq o(FG,sup6()共面PB平面EFG，PB平面EFG.（2）證明eq o(EF,sup6()(0，1，0)，eq o(BC,sup6()(0，2，0)，eq o(BC,sup6()2eq o(EF,sup6()，BCEF.又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC，同理可證GFPC，從而得出GF平面PBC.又EFGFF，EF，GF平面EFG，平面EFG平面PBC.線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行證明兩平面的法向量為共線向量；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行

10、問題【一隅三反】1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點求證：MN平面A1BD【答案】見解析【解析】法一如圖，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，1)，于是eq o(DA1,sup7()(1,0,1)，eq o(DB,sup7()(1,1,0)，eq o(MN,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(

11、f(1,2)，0，f(1,2).設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(no(DA1,sup7()，,no(DB,sup7()，)即eq blcrc (avs4alco1(no(DA1,sup7()xz0，,no(DB,sup7()xy0，)取x1，則y1，z1，平面A1BD的一個法向量為n(1，1，1)又eq o(MN,sup7()neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(1,2)(1，1，1)0，eq o(MN,sup7()n.MN平面A1BD法二eq o(MN,sup7()eq o(C1N,sup7()eq o(C1M,

12、sup7()eq f(1,2)eq o(C1B1,sup7()eq f(1,2)eq o(C1C,sup7()eq f(1,2)(eq o(D1A1,sup7()eq o(D1D,sup7()eq f(1,2)eq o(DA1,sup7()，eq o(MN,sup7()eq o(DA1,sup7()，MN平面A1BD法三eq o(MN,sup7()eq o(C1N,sup7()eq o(C1M,sup7()eq f(1,2)eq o(C1B1,sup7()eq f(1,2)eq o(C1C,sup7()eq f(1,2)eq o(DA,sup7()eq f(1,2)eq o(A1A,sup7(

13、)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(o(DB,sup7()o(BA,sup7()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(o(A1B,sup7()o(BA,sup7()eq f(1,2)eq o(DB,sup7()eq f(1,2)eq o(A1B,sup7().即eq o(MN,sup7()可用eq o(A1B,sup7()與eq o(DB,sup7()線性表示，故eq o(MN,sup7()與eq o(A1B,sup7()，eq o(DB,sup7()是共面向量，故MN平面A1BD2（2020上海楊浦.復(fù)旦附中高二期中）已知平面的一個法向量為，則

14、直線與平面的位置關(guān)系為_.【答案】直線在平面上或直線與平面平行【解析】由，所以.又向量為平面的一個法向量.所以直線在平面上或直線與平面平行.故答案為：直線在平面上或直線與平面平行.3（2019江蘇海陵.泰州中學(xué)高二月考）已知直線平面，且的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則_.【答案】【解析】由題意，知，即，.故答案為：考法三 空間向量證垂直【例3】（2020.廣東.田家炳中學(xué)）如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點求證：AB1平面A1BD.【答案】見解析【解析】方法一設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，

15、則存在實數(shù)，使meq o(BA1,sup6()eq o(BD,sup6().令eq o(BB1,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，eq o(BA,sup6()c，顯然它們不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它們?yōu)榭臻g的一個基底，則eq o(BA1,sup6()ac，eq o(BD,sup6()eq f(1,2)ab，eq o(AB1,sup6()ac，meq o(BA1,sup6()eq o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)abc，eq o(AB1,sup6()m(ac)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(

16、avs4alco1(f(1,2)abc)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)240.故eq o(AB1,sup6()m，結(jié)論得證方法二取BC的中點O，連接AO.因為ABC為正三角形，所以AOBC.因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O(shè)為原點，分別以O(shè)B，OO1，OA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，eq r(3)，A(0，0，eq r(3)，B1(1，2，0)設(shè)平面A1BD的

17、一個法向量為n(x，y，z)，eq o(BA1,sup6()(1，2，eq r(3)，eq o(BD,sup6()(2，1，0)因為neq o(BA1,sup6()，neq o(BD,sup6()，故eq blcrc (avs4alco1(no(BA1,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x2yr(3)z0，,2xy0，)令x1，則y2，zeq r(3)，故n(1，2，eq r(3)為平面A1BD的一個法向量，而eq o(AB1,sup6()(1，2，eq r(3)，所以eq o(AB1,sup6()n，所以eq o(AB1,sup6()n

18、，故AB1平面A1BD.利用空間向量證明線線垂直時，確定兩條直線的方向向量，由向量數(shù)量積為0即可得證利用空間向量法證明線面垂直的方法有兩種：利用判定定理，即通過證明向量數(shù)量積為0來驗證直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直；求出平面的法向量，驗證直線的方向向量與平面的法向量平行利用空間向量法證明面面垂直有兩種方法：證明其中一個平面過另一個平面的垂線，即轉(zhuǎn)化為線面垂直；證明兩平面的法向量垂直【一隅三反】1（2018浙江高三其他）已知平面的法向量為，則直線與平面的位置關(guān)系為（ ）ABC與相交但不垂直D【答案】A【解析】.本題選擇A選項.2（2020安徽池州。高二期末（理）已知平面的法向量為，若直線平面，則直線l的方向向量可以為（ ）ABCD【答案】B【解析】因為直線平面，故直線l的方向向量與平面的法向量平行，因為,故選：B.3（2019瓦房店市實驗高級中學(xué)高二月考）四棱錐中，底面是平行四邊形，則直線與底面的關(guān)系是( )A平行B垂直C在平面內(nèi)D成60角【答案】B【解析】依題意，而，所以，而，所以平面.故選：B4（2020江蘇省邗江中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，分別是的中點，試用空間向量知識解決下列