72線性變換的運(yùn)算

1、第七章線性變換學(xué)習(xí)單元2 :線性變換的運(yùn)算導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解線性變換的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的定義；了解線性變換關(guān)于加法、數(shù)乘、乘 法的運(yùn)算性質(zhì)；理解線性變換的募運(yùn)算及線性變換的多項(xiàng)式。學(xué)習(xí)建議：建議大家多看書(shū)，多看例題，一個(gè)一個(gè)的對(duì)運(yùn)算進(jìn)行理解掌握，可以自己對(duì)某個(gè)具 體線性空間的某些線性變換進(jìn)行加法、 數(shù)乘、乘法運(yùn)算，看看運(yùn)算后的線性變換是怎樣 的。重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：深刻理解線性變換的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的定義。難點(diǎn)：理解可逆線性變換的概念及線性變換的多項(xiàng)式。學(xué)習(xí)內(nèi)容一、線性變換的加法、數(shù)乘、乘法的定義及性質(zhì)定義 設(shè)V為數(shù)域P上線性空間，k P,A, B L(V)令kA:V VkA()；A B:

2、V V:A( ) B( )AB : V VoA( B( )稱(chēng)kA為k與A的數(shù)乘，A B為A與B的和，AB為A與B的積注：(kA)( ) k(A()(寫(xiě)成 kA()；(A B)( ) A( ) B()；(AB)( ) A(B()。定理 kA, A B, AB L(V) o性質(zhì)(1) A B B A；(A B) C A (B C )； A O A;(4)對(duì) A L(V),存在 B L(V),使 A B O； 1A A；(6) (kl)A k(lA);(k l)A kA lA ；k(A B) kA kB ; A(BC)=(AB) C ;A(B+ C )=AB+AC ;(A+B) C =AC +BC

3、;EA=AE=A;k(AB) (kA)B；( 1)A A。推論L(V)關(guān)于線性變換加法及數(shù)與線性變換的數(shù)乘構(gòu)成P上線性空間(當(dāng)dimV n 時(shí)，dim L(V) n2 , L(V) Pn n)。推論L(V)關(guān)于線性變換加法及線性變換乘法構(gòu)成一個(gè)有單位元的環(huán)。注：線性變換的乘法不滿足變換律，例如： V是閉區(qū)間0, 1上多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的 x線性空間，D(f (x) f (x) , G(f(x)0 f (t)dt,則DG(x+1) = x + 1,而 GD(x+1) = x,所以 DG GD。一般由AB = 0推不出A = 0,或B = 0。一般由AB = AC, A 0推不出B = Co二、線性變

4、換的可逆性定義 令V為P上線性空間，A為V的線性變換，若A是可逆的，則稱(chēng)A為可逆 線性變換，記A的逆變換為A-1。注：A為V的變換，A可逆當(dāng)且反當(dāng)A為雙射。定理 若A為V的可逆線性變換，則A-1也是V的線性變換。 TOC o 1-5 h z 證明 顯然A-1是V的變換，對(duì)任何k P , , V ,有 1111A () A (AA )( ) (AA )()111A A(A )( ) A(A )() 111A A(A ( ) A () 111(A A)(A ( ) A () 11 A ( ) A ()。同理 A 1(k ) kA 1( ) o所以A-1為V的線性變換。三、線性變換的多項(xiàng)式定義 令A(yù)

5、 L(V),若n為正整數(shù)，則規(guī)定An AAL4A n若n 0 ,則規(guī)定A0 E。當(dāng)A可逆時(shí)，可規(guī)定A(A1)n, n為正整數(shù)。注：(AB)n AnBn定義 A L(V), f (x) amxm L ax aQ Px,定義f (A) am A L ai A a0 E,稱(chēng)f(A)為A的多項(xiàng)式。注 f(A) L(V)f(A)g(A) g(A)f(A)。例1設(shè) 為V2中非零向量，是過(guò)原點(diǎn)且與垂直的平面， ()是 在 方向的內(nèi)射影，x()是關(guān)于的反射，則x= E 2 ，即x為的多項(xiàng)式。例2在Pxn中，D是微商變換(為Pxn的線性變換)于是Dn = 0。a： Pxn Pxnf (x) f (x a)2n 1則 a E aD D2 L Dn，2!(n 1)!即a為D的多項(xiàng)式?！窘處熃庾x】在代數(shù)學(xué)中，要研究某些對(duì)象，通常會(huì)對(duì)這些對(duì)象規(guī)定運(yùn)算，把它變成代數(shù)系統(tǒng)進(jìn) 行研究。要研究線性變換，就對(duì)線性變換定義運(yùn)算，并把它做成線性空間，可利用線性 空間的結(jié)果來(lái)研究線性變換。拓展資料設(shè)，是線性變換，且2, 2