極坐標(biāo)系 (3)

1、高中數(shù)學(xué)北師大版選修44江西省南康中學(xué)申其華第2課時(shí)簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程解析幾何之父笛卡爾因數(shù)學(xué)與瑞典公主Christine邂逅，在交流數(shù)學(xué)的過程中互生愛慕之心.但身份的懸殊和年齡的差距使得他們不能為世人所容，笛卡爾被瑞典國王流放了.兩人從此斷絕了聯(lián)系，后來笛卡爾的身體每況愈下，臨近生命的終點(diǎn)，他向公主寫了一封信，內(nèi)容只有一個(gè)方程:a(1sin ). 眾人對(duì)其不甚了解，當(dāng)信件終于輾轉(zhuǎn)到了公主的手中.當(dāng)她根據(jù)方程作出圖形的剎那間淚流滿面原來這個(gè)方程對(duì)應(yīng)的曲線就是著名的“心形線”.對(duì)這個(gè)浪漫的傳說，人們不再去追究它的真實(shí)性，在這里我們知道原來在極坐標(biāo)的世界里，曾流傳著一個(gè)美麗的傳說滾輪線預(yù)學(xué)1:極

2、坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程f(，)0，并且坐標(biāo)適合方程f(，)0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(，)0叫作曲線C的極坐標(biāo)方程.預(yù)學(xué)2:常見的圓的極坐標(biāo)方程(1)圓心在極軸上的點(diǎn)(a，0)處，且圓過極點(diǎn)的圓的方程為2acos .(2)半徑為a，圓心在極點(diǎn)上的圓的方程為a.預(yù)學(xué)3:常見的直線的極坐標(biāo)方程(1)過極點(diǎn)且與極軸所成的角為的直線的極坐標(biāo)方程為a(0)和(0).(2)過點(diǎn)A(a，0)(a0)且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程為cos a.(3)過點(diǎn)M(1，1)且與極軸成角的直線的極坐標(biāo)方程為sin()1sin(1).練一練:在極坐標(biāo)系中，曲線C1

3、和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.【方法指導(dǎo)】前兩題可直接利用公式寫出，后兩題需要先通過構(gòu)造滿足條件的三角形的邊角關(guān)系，再利用正、余弦定理求解.【解析】(1)圓心在極點(diǎn)，半徑為3，該圓的極坐標(biāo)方程為3.(2)圓心為C(3，0)，半徑為3，該圓的極坐標(biāo)方程為6cos .(3)如圖，在圓上任取一點(diǎn)M(，)，連接OM，MP，由題意可知，OP6且MOP為直角三角形，OMOPsin ，故該圓的極坐標(biāo)方程為6sin (0).變式訓(xùn)練1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3，0)，P是圓x2y21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AOP的平分線交PA于點(diǎn)Q，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，求點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程.【解析】(1)由2sin 4cos ，得22sin 4cos ，所以x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2(y1)25.3.極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，主要有兩種方法:(1)直接利用極坐標(biāo)求解，合理建立極坐標(biāo)系，使所求曲線方程盡量簡(jiǎn)單，求解時(shí)要有數(shù)形結(jié)合的思想，充分利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出兩極坐標(biāo)，是求曲線的極坐標(biāo)方程的法寶;(2)巧妙利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的互化公式，