專(zhuān)題17.1條件概率與全概率公式(精講精析篇)(原卷版)

1、浙W考茴中須學(xué)核心知點(diǎn)圭涎觀專(zhuān)題171條件概率與全概率公式(精講精析篇)提綱挈領(lǐng)點(diǎn)點(diǎn)突破熱門(mén)考點(diǎn)01條件概率1.條件概率定義一般地，當(dāng)事件萬(wàn)發(fā)生的概率大于0時(shí)(即X5) 0),己知事件色發(fā)生的條件下事 件g發(fā)生的概率，稱(chēng)為事件槪率表示尸(川勸計(jì)算- 甩g P(A S =n -公式凡g)2.條件概率的性質(zhì) 0WF(3 月)W1；(2)P(J|J)=1：(3)如果萬(wàn)與C互斥，則P(BU C A) =PB A) P(C A)【兩點(diǎn)說(shuō)明】1.如果知道事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)HP(BL4)；2.已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當(dāng)于AB發(fā)生，要求P(BA),相當(dāng)于把A看作新的基本事件

2、空間汁川A3)算AB發(fā)生的概率，即P(BL4) =n(AB) n(Q) P(AB) n(A) n(A) P(A) *n(Q)【典例1】一個(gè)袋中有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，如果不放回地抽取兩個(gè)球，記事件“第一次抽到黑球”為4事件“第二次抽到黑球?yàn)?(1)分別求事件5, AHB發(fā)生的概率:求P(B A).【典例2】現(xiàn)有6個(gè)肖目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè) 節(jié)目，求:第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率：第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的槪率.【典例3】在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球，設(shè)有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)

3、白球，從中依次摸2個(gè)球, 求在第一個(gè)球是紅球的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球的概率.【總結(jié)提升】1.用左義法求條件概率P(BA)的步驟(1)分析題意，弄清概率模型：(2)計(jì)算 PC4), P(AOB),(3)代入公式求尸(萬(wàn)力)=%釘2.典例2第(3)問(wèn)給出了兩種求條件概率的方法，法一為左義法，法二利用基本事件個(gè)數(shù)直接作商，是一種 重要的求條件概率的方法.3.計(jì)算條件概率的方法(1)在縮小后的樣本空間2.中計(jì)算事件萬(wàn)發(fā)生的概率，即P0, 2 = 1,2,，n.則對(duì)Q中的任意事件5都有5=冊(cè) 緘 觸，且P(B) = Z 尺陰)=Z HAWB 凡).1 1 2 12.貝葉斯公式(1)一般地，當(dāng) 00

4、 時(shí)，有萬(wàn)月）A） F（A）F（B A）（2） 泄理2若樣本空間Q中的事件九，丘，禮滿(mǎn)足：1任意兩個(gè)事件均互斥，即恥尸0, i，尸1,2,，”，i*2凡 出 兒=（3） 1PU）O, j = 1, 2 ,n則對(duì)中的任意概率菲零的事件萬(wàn)，有7 , I 兒）只凡）H萬(wàn)凡）pg m = 2 = 只兒）只萬(wàn)凡）i-1【拓展】貝葉斯公式充分體現(xiàn)了尸（萬(wàn)），F(xiàn)（J）, P（5）, P（5 A）, P（B A）, F（個(gè)之間的轉(zhuǎn)化.即P（A 5）=P(A) =P(A Bp3)=P(B A)P(J) P(B) =P(A)P(B A) P( A )PB 萬(wàn))之間的內(nèi)在聯(lián)系.【典例4】甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)

5、次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個(gè)正品和3個(gè)次品.（1） 從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品，求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率：（2） 若從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中，然后再?gòu)囊蚁渲腥稳∫粋€(gè)產(chǎn)品，求取岀的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率.【典例5】一項(xiàng)血液化驗(yàn)用來(lái)鑒別是否患有某種疾病.在患有此種疾病的人群中，通過(guò)化驗(yàn)有95%的人呈陽(yáng) 性反應(yīng)，而健康的人通過(guò)化驗(yàn)也會(huì)有1%的人呈陽(yáng)性反應(yīng).某地區(qū)此種病的患者僅占人口的0.5%.若某人化 驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，問(wèn)此人確實(shí)患有此病的概率是多大？【典例6】假定具有癥狀S=5t, &, $的疾病有叢，叢三種，現(xiàn)從20 000份患有疾病叢， &的病歷卡中統(tǒng)計(jì)得到下列數(shù)字：疾病人數(shù)出現(xiàn)S癥狀人數(shù)d7 750

6、7 500&5 2504 200&7 0003 500試問(wèn)當(dāng)一個(gè)具有S中癥狀的病人前來(lái)要求診斷時(shí)，他患有疾病的可能性是多少？在沒(méi)有別的資料可依據(jù)的 診斷手段情況下，診斷該病人想有這三種疾病中哪一種較合適？【總結(jié)提升】1.以上三例分別代表全概率公式及其應(yīng)用、貝葉斯公式及英應(yīng)用及全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用.2.利用貝葉斯公式求概率的步驟 第一步：利用全概率公式計(jì)算PC4）,即P3 = 2P（B）P（AB）；i-1第二步：計(jì)算P（AB）,可利用P（A）=P（B）P（A B）求解： 第三步：代入尸（3力=鬻求解.3貝葉斯公式實(shí)質(zhì)上是條件概率公式尸(5月)=-十，P(Bg=P(B) P(A 全概率

7、公式A J) = LjiP(B) P(A 5)的綜合應(yīng)用.4.若隨機(jī)試驗(yàn)可以看成分兩個(gè)階段進(jìn)行，且第一階段的各試驗(yàn)結(jié)果具體結(jié)果怎樣未知，那么：(1)如果要 求的是第二階段某一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，則用全槪率公式；(2)如果第二個(gè)階段的某一個(gè)結(jié)果是已知的， 要求的是此結(jié)果為第一階段某一個(gè)結(jié)果所引起的槪率，一般用貝葉斯公式，類(lèi)似于求條件概率，熟記這個(gè) 特征，在遇到相關(guān)的題目時(shí)，可以準(zhǔn)確地選擇方法進(jìn)行計(jì)算，保證解題的正確高效.【提醒】1. 全概率公式P(B尸fp(A,)P(BA )在解題中體現(xiàn)了化整為零的轉(zhuǎn)化化歸思想.J-12.貝葉斯概率公式反映了條件槪率P(BL4)=牛字，全概率公式P(A)=ip(B

8、f)P(AI)及乘法公式P(AB)=尸 hiP(B)P(A1B)之間的關(guān)系.熱門(mén)考點(diǎn)03獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系事件的獨(dú)立性(1)事件A與萬(wàn)相互獨(dú)立的充要條件是P(AB) =P(A) P( 當(dāng)0時(shí)，A與萬(wàn)獨(dú)立的充要條件是P(A 5)=P(A)=P0. 與萬(wàn)獨(dú)立，則 P(B A) =P(B)成立.PB A)=【典例7】判斷下列各對(duì)事件是否是相互獨(dú)立事件.(1)甲組3需男生，2名女生：乙組2需男生，3需女生.現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選岀1需女生”: (2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的

9、7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”；(3)擲一顆骰子一次，“岀現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”【典例8】而對(duì)某種流感病毒，各國(guó)醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研究疫苗，現(xiàn)有叢B、Q三個(gè)獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一泄 的時(shí)期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是右*扌求:(1)他們都研制出疫苗的概率；(2)他們都失敗的概率：他們能夠研制出疫苗的概率.【典例9】在一段線(xiàn)路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開(kāi)開(kāi)關(guān)，只要苴中1個(gè)開(kāi)關(guān)能夠閉合，線(xiàn)路就能正常工作.假泄在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開(kāi)關(guān)能夠閉合的概率都是0. 7,計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線(xiàn)路正常工作的概率.【規(guī)律方法】1.判斷事件是否相互獨(dú)立的方法(1)左義法：事件月，萬(wàn)相互獨(dú)立P(AOB)=P(A) P(

10、5).(2)由事件本身的性質(zhì)直接判泄兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.(3 )條件概率法：當(dāng)P(J) 0時(shí)，可用P(B A)=P(砂判斷.2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟(1)首先確泄各事件之間是相互獨(dú)立的：(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積.3.使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的槪率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而 且它們能同時(shí)發(fā)生.4.求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；(2)理淸各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的并” “交”表示所求事件；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算.5

11、.計(jì)算事件同時(shí)發(fā)生的概率常用直接法，當(dāng)遇到“至少”至多”問(wèn)題可以考慮間接法.鞏固提升1.有朋自遠(yuǎn)方來(lái)，乘火車(chē).船.汽車(chē)、飛機(jī)來(lái)的概率分別為03, 0. 2, 0. 1,0.4,遲到的概率分別為0. 25, 0. 3, 0. 1, 0.則他遲到的概率為( )學(xué)不及格，則他語(yǔ)文也不及格的概率是()是()4兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)的廢品率為0. 04,第二臺(tái)的廢品率為0. 07,加工出來(lái)的零件混放,并設(shè)第一臺(tái)加工的零件是第二臺(tái)加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件.則它是合格品的概率為()5.已知5)=0. 6, PB A) =0. 3且月，萬(wàn)相互獨(dú)立，則尸(胭等于( )A. 0. 18 B. 0.9C

12、. 0.3 D.無(wú)法求解6.拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，於=既有正面向上又有反而向上, 5= 至多有一個(gè)反而向上,則月與萬(wàn)的 關(guān)系是()A.互斥事件 B.對(duì)立事件C.相互獨(dú)立事件 D.不相互獨(dú)立事件7.把一枚硬幣投擲兩次，事件月=第一次出現(xiàn)正而,萬(wàn)=第二次岀現(xiàn)正面,則PB A) = .3 18.某種元件用滿(mǎn)6 000小時(shí)未壞的概率是孑用滿(mǎn)10 000小時(shí)未壞的概率是y現(xiàn)有一個(gè)此種元件，已經(jīng)用過(guò)6 000小時(shí)未壞，則它能用到10 000小時(shí)的槪率為 9.已知月與萬(wàn)相互獨(dú)立，且尸(肋)=舟，尸(同=4，則尸(7萬(wàn))= 8 410.明天上午李明要參加“青年文明號(hào)”活動(dòng)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫

13、醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的槪率為0. 80,乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0. 90,則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是 .11.袋中有10個(gè)黑球，5個(gè)白球.現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從袋中取岀幾個(gè)球.若已知取出的球全是白球，則擲岀3點(diǎn)的概率為 .12.某小組有20名射手，其中一、二、三、四級(jí)射手分別有2、6、9、3名.又若選一、二、三、四級(jí)射手參加比賽,則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85、0.64、0.45、0. 32,今隨機(jī)選一人參加比賽，則該 小組在比賽中射中目標(biāo)的概率為 .4313.在同一時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)獨(dú)立預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率分別為三和名在同一時(shí)間內(nèi)，求：54(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率：(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率.14.設(shè)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分別為士 t,