廣州市2020屆普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(一)(理數(shù))教師版

1、2020年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共 要求的.12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目1.設(shè)集合M x|0 x 1, x R,N x| x2,x R,則(A. M I N M1.答案：AB.C. M UN MD. MUN解析：M x|0 x1,xR,x| x2, x R x| 2 x2, x R, M2.若復(fù)數(shù)z滿足方程0,B.2,2C.2、2iD.2、,2i2.答案:解析：z22 0,2,v/2i)32 .3.若直線kx y0與圓y2 2x4y則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A 3,B.(,3C.(0,)D.(3.答案:解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)

2、方程為(x 1)2(y 2)2圓心為C( 1,2)r 2 ,直線kx1 0過定點(diǎn)P(0,1),因?yàn)?CP所以直線與圓恒有公共點(diǎn),所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（).4.已知p: x 1q:2A充分不必要條件C.充要條件4.答案：BB.D.必要不充分條件既不充分又不必要條件解析：由x 12,得x2或 x 1 2,因?yàn)閤|2 x3 x|x3或x 1,所以p是q的必要不充分條件.5.設(shè)函數(shù)f (x)12cos - x一,若對(duì)任意x 3R 都有 f (Xi) f(x) 0(n 2)( n 10)010.已知點(diǎn)P(%,y0)是曲線C : y x3行，則(A. x02C. % 2 或 x010.答案：B解析：令y

3、 3x22，由 Sn 4an8,化簡(jiǎn)得:n 10 ,即n的最小值為10.1上的點(diǎn),曲線C在點(diǎn)P處的切線方程與直線y 8x 11 平D.X0X02或x0一 一 一一 2 一2x 8,得 3x 2x(3x4)(x 2) 0,解得4 一或x32,當(dāng)x 2時(shí)，y 5 ,此時(shí)M (2,5)在直線8x11上，故舍去，所以11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)雙曲線2 x c ：a2 上 b21(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,F2,點(diǎn)P是雙曲線C上位于第一象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)F2作F1PF2的平分線的垂線，垂足為 A,若bF1F22 OA ,則雙曲線C的離心率為(A. 5411.答案：C)B. 43解析：延長(zhǎng)F2

4、A交PF1于點(diǎn)B ,因?yàn)镻A是 F1PF2的平分線且PAF2B可得PBPF2 ,且 AB |AF2|所以O(shè)A是 F1 BF2的中位線, ,1所以O(shè)A BF1PF卜B|D. 2PF1C. 53r2h區(qū)，表3又由bF1F2所以3c2 8ac12.已知函數(shù)點(diǎn) x1, x2, x3, LA. 404212.答案：B解析：f(x)所以mXi12 0A5a2f (x)0, 3e22x x2x x則 f (Xi)F(2c 2a,8e 5 01, x 01, x 0得x2sin(2020 x)，圖象,sin(2020在每個(gè)區(qū)間10,1010共有2020個(gè)交點(diǎn),即又F (0) 0 ,所以m一一 2_2所以 b

5、(2c 2a)，(3e 5)(e 1)F(x) f(x),2,2-4c 4a 8ac,f(x2) f(X3)Lf(Xm)B. 4041C. 4040sin(2020 x)1在區(qū)間1,1上有m個(gè)零D. 4039,所以 F(x) f(x)sin(2020 x)sin(2020 x)為奇函數(shù),1) F(0) F(1) 0,當(dāng) 00 x01 時(shí),在同一坐標(biāo)系中作出yx)的最小正周期1 2_, 1010 ,1010,L由 F(x)2. x x sin(2020 x) 0,2x x (0 x v 1)和 ysin(2020 x) (011010 L 100910101010七內(nèi)各有1010所以兩函數(shù)在區(qū)間

6、(0,1內(nèi)F(x)在(0,1內(nèi)共有2020個(gè)零點(diǎn),由對(duì)稱性,F(x)在1,0)內(nèi)也有2020個(gè)零點(diǎn),4041,所以 f(x1) f(x2) f (x3) L4041f(Xm)(X Xi 11) 4041 .二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.13.如圖，如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為圓心，則這個(gè)幾何體的體積為1的圓及其13.答案：去3 (第1個(gè)空2分，第二個(gè)空3分)解析：該幾何體是一個(gè)圓錐，其底面半徑r 1 ,高h(yuǎn) J3,母線長(zhǎng)l 2,體積V 13面積 Sr2rl 3 .114.在 ax (x2 1)5的展開式中，

7、x3的系數(shù)是15,則實(shí)數(shù)a x14.答案：5解析：ax 1 (x2 1)5 ax (x2 1)5 1 (x2 1)5, xx而(x2 1)5的展開式中含x2的項(xiàng)為C54x2( 1)45x2,含 x4 的項(xiàng)為 C3(x2)2( 1)310 x4,一,1 O所以 ax (x x1)5的展開式中,的系數(shù)是5a1015,15.已知單位向量ur uu目與e2的夾角為若向量ur0urur2% 與 20urrke2的夾角為則實(shí)數(shù)k的值為15.答案:10解析：不妨取ureuu(1,0), e2ure1urr2e2_r ur(2,73) , b2e1inke2r r貝U cos a,brabbk 3k22 k2

8、2:32兩邊平方，并整理得2k219k 100,(k 10)(2 k1) 0,解得k 10或k16.記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知12 an又因?yàn)閍n 1ncos 2sin (n2m S20191009 ,一 19 .一一am 0 ,則一一的取小值為a1 m16.答案:16解析：當(dāng)n2時(shí)，得a2 a321,a51,a4a2 a3a4a52,同理可得a6 a7a8a9a10ana12a13La2014a2015a2017a 20192，又 a2018 a201920181,a2018a20192018 ,所以 S2019a1(a2a3a4a5)(a6 a7 a8a9 ) L(a2018a201

9、9)a1 504 2 2018 a1 1010,由 m S20191009，得 a1 m 1 ,一 19所以1三a1mai9(a1 m) 10 mai9a1 10 2 mm 9ala1 m16.三、解答題：共生都必須作答.第 (一)必考題：共17.(本小題滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.60分.12分)ABC的內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知J3,且滿足1721題為必考題，每個(gè)試題考absin Casin A bsin B33csinC(1)求角C的大小；(2)求b 2a的最大值.17.解：(1)根據(jù)正弦定理 a-sin

10、 B sin C/日 abc信 a2 b2 c2V3.因?yàn)閏 、3,所以ab a2b2【或ab a2b2 3】.2由余弦定理，得cosC b22ab【或cosC2, 2-a b 32ab1,因?yàn)?，所以C 3(2)由已知與(1)73, c由正弦定理asin Absin Bcsin C2,得 a 2sin A, b 2sin B2sinsin 一32所以 b 2a 2sin 一 A 3(其中 tan-3, 0 TOC o 1-5 h z 4sin A 5sin A V3cos A 2V7sin( A),一一2一一一5一).因?yàn)?A，0,所以0A52366所以A 時(shí)，b 2a 2sin(A)取得最大

11、值2J7 .所以b 2a的最大值為26.218.(本小題滿分12分)隨著馬拉松運(yùn)動(dòng)在全國(guó)各地逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加.為此，某市對(duì)參加馬拉松運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中一項(xiàng)是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取100人，對(duì)其每月參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表：平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)xx 20人數(shù)156025(1)以這100人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替該市參與馬拉松訓(xùn)練的人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于該區(qū)間的概率.從該市所有參與馬拉松訓(xùn)練的人中隨機(jī)抽取4個(gè)人，求恰好有2個(gè)人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的概率；(2)依據(jù)統(tǒng)計(jì)表，用

12、分層抽樣的方法從這 100個(gè)人中抽取12個(gè)，再?gòu)某槿〉?2個(gè)人中隨機(jī)抽取3個(gè)，Y表示抽取的是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的人數(shù)，求 Y的分布列及數(shù)學(xué)期望 E(Y).解：(1)設(shè)從該市參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的人中隨機(jī)抽取一個(gè)人，抽到的人剛好是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”記為事件為 A,則P(A)25100設(shè)抽到的人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”,1的人數(shù)為，則:B 4 -.4所以恰好抽到2個(gè)人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的概率為27128(2)用分層抽樣的方法從100個(gè)馬拉松訓(xùn)練者中抽取 12個(gè)，則其中“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”有3個(gè).現(xiàn)從這12

13、人中抽取3個(gè)，則“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的數(shù)量Y服從超幾何分布， Y的所有可能的取值為0 , 13.c0c3 則 P(Y 0) CC9 C；22155P(Y1)C；C2CT2755P(Y 2)等C1227220P(Y3)3 0C3c9 CT1220所以Y的分布列如下:Y0123P212727155552202203 X 型=3220 220 4212727所以E Y 01 一 2555522019.(本小題滿分12分)如圖2的等邊ZXABC中,D, E分別為邊AC, AB的中點(diǎn).將AED沿DE折起，使得ABAD, AC求證：AH 求二面角BAE ,得到如圖2的四棱錐ABCDE ,

14、連結(jié) BD , CE ,且BD與CE交于點(diǎn)H .平面AEBCDE ;D的余弦值.J H、AD. (1)證明1：在圖1中，因?yàn)?ABC為等邊三角形，且 D為邊AC的中點(diǎn)，所以BD AC .xy在 ABCD 中，BD CD, BC 2, CD 1,所以 BD 書.因?yàn)镈, E分別為邊AC, AB的中點(diǎn)，所以ED/ BC .在圖2中，有DH ED 1 所以DH - BD HB BC 23因?yàn)锳B AD ,所以AABD為直角三角形.因?yàn)锳D1,BDAD邪，所以cos ADB BD在AADH中，由余弦定理得2_ 2AH 2 AD22 一DH 2 2ADDHcosADB2、, 6一,所以AH 33在AAD

15、H中,因?yàn)锳H 2DH 2AD2,所以AH同理可證AH CE .因?yàn)镃EI BD平面BCDE,BD 平面BCDE ,所以AH平面BCDE.證明2：在圖1中，因?yàn)閦XABC為等邊三角形，且 D為邊AC的中點(diǎn)，所以BD AC .在 4BCD 中，BD CD, BC 2, CD 1,所以 BD 串.因?yàn)镈, E分別為邊AC, AB的中點(diǎn)，所以ED/ BC .在圖”有黑EC 2,所以DH1 一BD3在 RtA BAD 中,DB在ABAD和 AHD中，因?yàn)镈ADADHBDAADH ,所以BADsAHD .所以 AHD BAD 90.所以AH同理可證AH CE .因?yàn)?CEI BD H , CE平面BCD

16、E,BD平面BCDE ,所以AH 平面BCDE .(2)解法1：以E為原點(diǎn),EB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸，平行于AH的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E xyz,則 B(1,0,0),c(o3,o),0,LUUEAn 3 .6uur0, ，,EB33uuur(1,0,0), ED1 uuur -BC 213八一，一,02 2設(shè)平面ITABE的法向量為mLT mLT muurEAuuuEB3、6一y1一Z133(X,y1,4),01T ，取 m (0, V2,1).X102設(shè)平面ADE的法向量為(X2, y2,Z2),則3Ty26z丁21 X22 2,35 y20uur EDu

17、uuEA0,取ur r 所以 cos；： m, nur r m nITm_3_ _33:33由圖可知，二面角 BAED的平面角是鈍角，故二面角AED的余弦值為解法2:在四棱錐ABCDE中，分別取AE, AB的中點(diǎn)M，連接DM ,因?yàn)?ADE為等邊三角形，所以 DMAE,因?yàn)锽EEC, BE AH , CEI AH且 CE, AH平面AEC ,所以BE 平面AEC .因?yàn)锳E平面AEC ,所以BE AE.因?yàn)辄c(diǎn)MN分別為邊AEAB的中點(diǎn),所以NM / BE .所以NMDH所以 DMN為所求二面角的平面角.在等邊三角形 ADE中，因?yàn)锳D1,所以DM在 RtABD 中，AD 1, BD、/3 ,所

18、以AB在4DMN中，由余弦定理得cosDMN123 122.2.2_12所以二面角B AE D的余弦值為20.(本小題滿分12分)已知e M過點(diǎn)A(6,0)，且與e N :(x J3)216內(nèi)切，設(shè)e M的圓心M的軌跡為曲線(1)求曲線C的方程;1(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)B(2,0)且與曲線C相交于P,Q兩點(diǎn).若直線 PB與直線QB的斜率之積為一， 判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.MN4 R220. (1)解：設(shè)eM的半徑為R,因?yàn)閑 M 過點(diǎn) A( J3,0)，且與e N相切，所以MA,即MNMA 4 .因?yàn)镹A 4 ,所以點(diǎn)M的軌跡是以NA為焦點(diǎn)的橢圓

19、.22設(shè)橢圓的方程為。4 1(a b 0),a b所以a 2, b 1 .所以曲線C的方程為(2)解法1：依題意，直線BP, BQ的斜率均存在且不為0,設(shè)直線BP的斜率為k(k 0),則直線BP的方程為y k(x 2).由y k(x2)，得(1 4k2)x2 1_ 2_ 216kx 16k4 0,解之得x18k21 4k28k2P的坐標(biāo)為8k- -1 4k2 12 4k4k2因?yàn)橹本€BQ的斜率為 ,所以可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2k2 2k2k22k1 k2當(dāng)k 時(shí)，直線l的斜率為23k2(1 2k2)所以直線l的方程為y2k1 k23k22 2k22- x 22(1 2k2)1 k2整理得y3krx

20、22(1 2k2)1 2k2日口3k.即y 廠x2(1 2k2)此時(shí)直線l過定點(diǎn) 2,0 .當(dāng)k -直線l的方程為x32,顯然過定點(diǎn)3i0綜上所述，直線l過定點(diǎn) 2,0 .3解法2:當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)直線l的方程為:設(shè)點(diǎn) P(Xi, y1)，則點(diǎn) Q(Xi,V1),依題意X12 ,因?yàn)?kep kBQy1X1 2y1X122ViX12 4x1 412-,所以y122x1 4x142因?yàn)檫| V12 1,且X1 2,解得X142_ , , _2-.此時(shí)直線l的方程為x 33當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：ykxy kx m,由 x22 得(4 k2 i)x27 y i8kmx4(m

21、21)0.需要滿足(8km)2 i6(4k2i)(m21) 0,設(shè)點(diǎn)P(xi, yi), Q(x2, y2),則有Xix28km4k2 i24(m i)xix224k i因?yàn)閥ikxim, y2kx2所以yi y2(kxim)(kx2 m)m2 4k24k2 i因?yàn)閗BPkBQyi_y2xi 2 x2%丫24(m2 i)4k2 ii6km244k i2m-k時(shí)，滿足m3m 2k時(shí)，滿足m22顯然直線x 也過定點(diǎn)3綜上所述，直線l過定點(diǎn)2i.(本小題滿分i2分)x(x2 2( x(x2) 4約mQ ,即3m, 4k i24k i ,直線l的方程為已知函數(shù)f(x)i ，一,所以 xix2 2 xi

22、 x228km 4k2 0.所以 m4 2yiy2 .4k2 i ,直線l的方程為y3,0(x 4)ex 3 x2 6x, g(x)k(x2),恒過定點(diǎn)(2,0),不合題意.(i)求函數(shù)f (x)在(0,)上的單調(diào)區(qū)間;(2)用maxm,n表示 m, n中的最大值，f(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù).設(shè)函數(shù) h(x)max f (x), g(x),若h(x) 0在區(qū)間(0,)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;i i i(3)證明：1Ln n i n 23n i 3nln3 (n N ).2i. (i)解：因?yàn)?f(x) (x 4)ex 3 x2 6x,所以 f (x) (x 3)ex 3 2x 6(x

23、3)(ex 3 2).當(dāng) 0 x 3 時(shí)，f (x) 0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x 3時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3,).(2)解：由(1)可知，當(dāng)x 3,)時(shí)，f (x) 0 .所以要使h(x)0在區(qū)間(0,)上恒成立,1只需g(x)0在區(qū)間(0,3)上恒成立即可.因?yàn)?g(x) 0 a - x 1 ln x 0. 3以下給出四種求解思路:思路1 ：因?yàn)閤 0 ,所以a1x 1 ln x 0在區(qū)間0,3上恒成立, 311nx 1轉(zhuǎn)化為a 一在區(qū)間0,3上恒成立.x 311nx 1令 m(x) 一，貝Um(x)x 31n x

24、2 x因?yàn)楫?dāng) x (0,1)時(shí)，m(x) 0,當(dāng) x (1,3)時(shí)，m(x)0.所以m(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減.44 4所以m(x) 0,解得a) 幺工3.33此時(shí)實(shí)數(shù)a不合題意.2右-a w ,則g (x) w 0在(0,3)上恒成立，所以g(x)在(0,3)上單調(diào)遞減,3-,1-八，r 2 1n 3所以 g(x)g(3) a 13 1 1n3,由 g(3) 0,解得 a 2工3.33此時(shí)實(shí)數(shù)a不合題意.2右a 一，則當(dāng)33x 時(shí)，g (x)3a 1一 3一0,當(dāng)x 3時(shí)，g (x) 0 .3a 1 3,、，一 .所以函數(shù)g(x)在0,3一 上單調(diào)遞減，在3a 1

25、3一,3上單調(diào)遞增.3a 1所以g(x) g33a 13,1n,由3a 13-41n 0 ,斛得 a ) .3a 13，、一 一 4此時(shí)實(shí)數(shù)a滿足a 4 .3綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為思路3:因?yàn)間(x)111 In x,則 g (x) a -3 x因?yàn)間(x)1 ln x 0在（0,3）上恒成立，則g(1)因?yàn)間 (x)1 ，、一，-在（0,3）上單調(diào)遞增, x因?yàn)椤净騲 0時(shí),g (x)所以存在x0(0,3)，使得 g(%) a0.（x。）當(dāng) x (0,x)時(shí)，g(x) 0,當(dāng) x (x,3)時(shí)，g所以函數(shù)g（x）在（0, x0）上單調(diào)遞減，在（x0,3）上單調(diào)遞增.所以 g(x) g(

26、x0)13 x0，11 In x0In a3一八1要使 g(x)a - xIn0在（0,3）上恒成立，只要In所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為思路4:因?yàn)閤 0,所以x 1 In x ） 0在區(qū)間（0,3）上恒成立,轉(zhuǎn)化為（0,3）上恒成立.令 s(x)1Inx,則 s(x) 0, x (0,3).x所以s（x）在（0,3）上單調(diào)遞增.s(x) 1 In x相切于點(diǎn)(x0,y0),1- 而y a 1 x是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，設(shè)過原點(diǎn)的直線與3x3ty12t1則切線萬(wàn)程為y y0 一（x x0）,因?yàn)閥 y0 x。1，,(x %)過原點(diǎn)，所以y 1 . x0因?yàn)閥 1 ln x0,所以Xo 1.即切點(diǎn)為(1,

27、1).所以經(jīng)過原點(diǎn)且與 s（x）1 ln X相切的直線方程為1所以滿足a 1 x13In x的條件是a所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為43,(3)證明1:由（2）可知，當(dāng)ln xx 1 .即 ln(x 1)則1 nInln同理In -所以所以證明即證3n2:1en3n 13n 13nln n3nIn1n 11 要證一n_L L n 2n 113n13n先證明ex1 x (x0時(shí),所以P(x)所以1en1enn1所以一n13n3,即證3n1ln3.3n 11en-13n1e3ln3,0）,事實(shí)上，設(shè)p(x) = ex 1p(0)1 en（二）選考題：共22.【選修4 4:在平面直角坐標(biāo)系所以0,所以3n3nex1e3n3n3n13n 1P(x)= exp(x)在(0,(x0).）上單調(diào)遞增.3n 11 +13n3n10分.請(qǐng)考生在第 坐標(biāo)系與參數(shù)方程】n1ln 3 .3n22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所作的第一題計(jì)分.（本小題滿分10分）xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為,3cos (為參數(shù)且、3 tan(1)求