舉重問題建模分析報(bào)告

1、.東北電力大學(xué)數(shù)學(xué)模型論文舉重比賽成績(jī)與體重關(guān)系問題分析專業(yè)資料.舉重問題分析摘要本文分析了題目條件與表中數(shù)據(jù),建立了幾個(gè)有關(guān)舉重總成績(jī)和體重的幾種模型，并對(duì)其進(jìn)行誤差分析。 運(yùn)用數(shù)據(jù)擬合， 最小二乘法等常用方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和建立模型， 并運(yùn)用回歸分析對(duì)所建立模型進(jìn)行檢驗(yàn)，最后進(jìn)行模型的評(píng)價(jià)和推廣。同時(shí)還利用MATLAB 做出分析和判斷。用scatter函數(shù)畫出表中總成績(jī)散點(diǎn)圖，讓數(shù)據(jù)可視化， 從而判斷體重與舉重成績(jī)大概呈線性關(guān)系。用一次函數(shù)進(jìn)行擬合，得到線性模型C=2.6x+162.1 ，并據(jù)此模型求出了相應(yīng)的舉重總成績(jī)理論值，與實(shí)際值進(jìn)行比較。求得誤差為30.8651 ，較大，線性模型過

2、于簡(jiǎn)單粗略。運(yùn)用 MATLAB 進(jìn)行二階擬合求得C=-0.0345X2+8.16X-49.8857，對(duì)模型的建立融合了運(yùn)動(dòng)員的生理特點(diǎn)，得到模型為3 ，假定人體體重有一部分是與成年人的尺寸無關(guān)， 上述模型作進(jìn)一步改進(jìn)。 根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析人體中非肌肉重量為 35kg 時(shí)，得到模型（ 1） C 28.3301x0.5207，得到模型為算得誤差為7.7245 ，相對(duì)較小。并用回歸分析對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)異常點(diǎn)，剔除異常點(diǎn)后得到新的模型 (3) C 132.6959*( x 35) 0.2755,再次用回歸分析， 沒發(fā)現(xiàn)異常點(diǎn)， 結(jié)果比較理想。 根據(jù) C 191.3993*( x45)0.1886這個(gè)

3、模型算得總成績(jī)的實(shí)際值與理論值列表如下：（單位：千克）最后提出了模型的推廣與改進(jìn)方向。體重 54 59 64 70 76 83 91 99 108實(shí)際值 287.5 307.5 335.0 357.5 367.5 392.5 402.5 420.0 430.0理論值 284.8 313.1 334.3 354.5 371.2 387.8 403.9 418.1 432.1專業(yè)資料.關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)擬合、線性回歸分析、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛦栴}的重述運(yùn)動(dòng)員在高度和體重方面差別很大，為了在舉重比賽中對(duì)此做出補(bǔ)償，規(guī)定要從運(yùn)動(dòng)員舉起的重量中減去其體重, 以下是奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上優(yōu)勝者的舉重成績(jī)：1 54 132.5 1

4、55.0 287.52 59 137.5 170.0 307.5世界記錄3 64 147.5 187.5 335.04 70 162.5 195.0 357.5世界記錄5 76 167.5 200.0 367.56 83 180.0 212.5 392.5世界記錄7 91 187.5 213.0 402.58 99 185.0 235.0 420.0世界記錄9 108 195.0 235.0 430.010 超過 108 197.5 260.0 457.5結(jié)合上表說明舉重能力和體重之間關(guān)系。假定體重中有一部分是與成年人的尺寸無關(guān)的，提出一個(gè)把這種改進(jìn)融合進(jìn)去的模型，并討論兩個(gè)模型各自的優(yōu)缺點(diǎn)，

5、然后提出一種經(jīng)驗(yàn)法則， 對(duì)不同體重的舉重運(yùn)動(dòng)員設(shè)定障礙，使得比賽受體重因素的影響較小，從而更加公平。專業(yè)資料.2問題的分析1在現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)舉重比賽中，比賽前運(yùn)動(dòng)員都要稱體重，并且最后運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)只計(jì)算抓舉和挺舉的總成績(jī)， 如總成績(jī)相同則賽前體重輕者列前， 如再相同，則以賽后即稱體重輕者列前。2從表中數(shù)據(jù)可以得到：級(jí)別越高，體重越重，舉起的重量也越大，那么可設(shè)想同一級(jí)別的運(yùn)動(dòng)員，體重越大的，舉起的重量應(yīng)該越大。也就是說，運(yùn)動(dòng)員的體重與總成績(jī)級(jí)別最大體重（千克） 抓舉（千克） 挺舉（千克） 總重量（千克）1 54 132.5 155.0 287.52 59 137.5 170.0 307.5世界記錄

6、3 64 147.5 187.5 335.04 70 162.5 195.0 357.5世界記錄5 76 167.5 200.0 367.56 83 180.0 212.5 392.5世界記錄7 91 187.5 213.0 402.58 99 185.0 235.0 420.0世界記錄9 108 195.0 235.0 430.010 超過 108 197.5 260.0 457.5應(yīng)該有著密切的關(guān)系。 同時(shí)已經(jīng)提出的生理學(xué)論證建議肌肉的強(qiáng)度和其橫截面的面積成比例 1 ，而生理學(xué)已證明肌肉強(qiáng)度近似正比于力量的大小，從這個(gè)角度出發(fā)建立舉重總成績(jī)與體重的關(guān)系模型，并用表中數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。專業(yè)資料.

7、3模型的假設(shè)與符號(hào)說明1、舉重運(yùn)動(dòng)員的總成績(jī)是生理?xiàng)l件，心理因素等眾多因素共同作用的結(jié)果，這里只考慮體重的因素，假設(shè)運(yùn)動(dòng)員其他條件相差不大。2、符號(hào)說明：人的體重 x肌肉橫截面積 S肌肉強(qiáng)度 T舉重成績(jī) C4模型的準(zhǔn)備結(jié)合表中也可得：體重越重的，級(jí)別越高，舉起的重量就越大。表中體重一列是呈上升趨勢(shì)，抓舉、挺舉和總重量三列也是呈上升趨勢(shì)的。綜合以上兩點(diǎn)觀察所得，這個(gè)規(guī)定暗示了舉重總成績(jī)與體重近似成正比。用圖形和數(shù)據(jù)擬合來驗(yàn)證一下觀察的結(jié)論，把表中所給總成績(jī)和體重的數(shù)據(jù)用scatter函數(shù)繪制成散點(diǎn)圖 .專業(yè)資料.440420400）克 380千（績(jī)成360總3403203005560657075

8、80859095100105體重M（千克）從上圖可以直觀地看出，體重越大，舉重總成績(jī)?cè)胶?，因此，舉重總成績(jī)與體重大概成線性關(guān)系。下面我們用一次函數(shù)x=aC+b對(duì)它們進(jìn)行擬合。得到擬合后的函數(shù)是： C=2.6153x+162.0959,擬合的圖像（圖中直線）如圖：450400）克千（績(jī)成總 3503005060708090100110體重M（千克）從上圖看出實(shí)際的舉重成績(jī)值在擬合的線性函數(shù)上下波動(dòng)，說明擬合的函數(shù)與實(shí)際具有一定的誤差，根據(jù)擬合的函數(shù)，我們求出了相對(duì)應(yīng)的一些理論值，并用scatter函數(shù)畫出它的散點(diǎn)圖（用星號(hào)表示），再跟實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比,從圖上看出每個(gè)體重值對(duì)應(yīng)的總成績(jī)實(shí)際值（小圓圈

9、）和總成績(jī)理論值（星號(hào)）不是很專業(yè)資料.吻合，誤差比較明顯，計(jì)算得到誤差為30.8651 ，說明用線性函數(shù)對(duì)舉重總成績(jī)與體重進(jìn)行擬合的模型過于簡(jiǎn)單、粗略，考慮的因素比較少。5模型的建立與求解1.模型的建立一般舉重運(yùn)動(dòng)員的舉重能力是用舉重成績(jī)來衡量，而舉重運(yùn)動(dòng)員的舉重能力與其肌度近似成正比關(guān)系，從而舉重運(yùn)動(dòng)員的舉重總成績(jī)與其肌肉強(qiáng)度近似成正比，即Ck1T (k1為常數(shù)且 k1 0)由運(yùn)動(dòng)生理學(xué)得知，肌肉的強(qiáng)度與其橫截面積近似成正比，即：Tk2S k2為常數(shù)且 k2 0假設(shè)肌肉的橫截面積正比于身高的平方，人的體重正比于身高的三次方,即可得：Sk3 h2 , xk4 h3 k3, k4 為常數(shù)且 k

10、3,k4 0 ，1從 x3可得：x3k4hh，k42222x 3代入得：33（7）C k1k2k3h k1k2 k3k4k1k2 k3 k4x從而可得舉重運(yùn)動(dòng)員舉重總成績(jī)與其體重的關(guān)系為：22C kx 3 （ kk1k2k3k43）上述模型是根據(jù)比例關(guān)系推導(dǎo)得出，又稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。專業(yè)資料.2、模型的求解利用題目表格中所給的體重和舉重總成績(jī)數(shù)據(jù)，運(yùn)用曲線擬合求出上述模型的系2數(shù) K。得到 K=20.0880,于是舉重運(yùn)動(dòng)員的舉重總成績(jī)與體重的關(guān)系模型為C 20.0880 x3這個(gè)模型主要是依據(jù)比例關(guān)系得到的，假設(shè)條件都比較粗糙， 是比較粗略的計(jì)算模型。通過這個(gè)模型只能大概得到舉重總成績(jī)與體重的關(guān)

11、系，但計(jì)算得到的理論值與實(shí)際值不是很相符。 由于人的重量并非完全均勻的， 并且通過查找資料得知，人的體重并不完全正比于身高的三次方，有人做過統(tǒng)計(jì)得到人的體重和身高的關(guān)系為x17.1h2.32假設(shè)人的體重跟身高的關(guān)系為xk1h同時(shí)由于人體中不同部位的肌肉橫截面積不相同，所以橫截面積不一定完全正比于身高的平方。假設(shè)肌肉橫截面積跟身高的關(guān)系為S k2h，類似于上面的推導(dǎo)，可得到2C kx 3 （ k k1k2k3k43）利用表格中的數(shù)據(jù)對(duì)上述模型進(jìn)行求解，首先將上述函數(shù)化成對(duì)數(shù)形式2lg C lg klg x ,3然后利用表中的數(shù)據(jù)用線性最小二乘法和MATLAB 軟件編程，得K=28.3301 =0

12、.5207 的函數(shù)為C28.3301x0.5207用上述模型計(jì)算得到的理論值（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）見下表（單位：千克）專業(yè)資料.表 1下面對(duì)此模型進(jìn)行數(shù)據(jù)檢驗(yàn)：利用 scatter函數(shù)畫出表格中舉重總成績(jī)實(shí)際值的散點(diǎn)圖（用小圓圈表示），并畫出舉重總成績(jī)與體重?cái)M合后的函數(shù)3 ，得到圖象如下：4604404204003803603403203002806070809010011050體重 54 59 64 70 76 83 91 99 108總成績(jī)理論值287.0 304.4 321.4 341.2 360.4 382.2 406.4 429.9 455.6從上圖可以看出，實(shí)際數(shù)據(jù)在函數(shù)曲線上下波動(dòng)

13、，第一個(gè)點(diǎn)跟理論值非常接近，而第八個(gè)點(diǎn)則跟理論值偏差比較大。根據(jù)擬合的函數(shù)， 我們求出了相對(duì)應(yīng)的一些理論值（單位：千克）體重 54 59 64 70 76 83 91 99 108專業(yè)資料.總成績(jī)實(shí)際值287.5 307.5 335.0 357.5 367.5 392.5 402.5 420.0 430.0總成績(jī)理論值287.0 304.4 321.4 341.2 360.4 382.2 406.4 429.9 455.6根據(jù)擬合的函數(shù)，求出了相對(duì)應(yīng)的一些理論值體重 54 59 64 70 76 83 91 99 108總成績(jī)實(shí)際值287.5 307.5 335.0 357.5 367.5 3

14、92.5 402.5 420.0 430.0總成績(jī)理論值297.8 313.4 328.5 345.9 362.8 381.7 402.5 422.6 444.4計(jì)算得到它們的誤差為 25.8672， 因此此模型擬合的效果比模型好，用它來描 3 述舉重運(yùn)動(dòng)員的總成績(jī)和體重的關(guān)系比較準(zhǔn)確，最后得到模型為：C28.3301x0.5207（15 ）6模型結(jié)果的分析與檢驗(yàn)將Ckx 化成對(duì)數(shù)形式lg Clg klg x,再用回歸分析中對(duì)此模型進(jìn)行檢驗(yàn)。對(duì)此模型進(jìn)行檢驗(yàn)。計(jì)算lnK=3.3439=0.5775,跟用polyfit函數(shù)擬合的結(jié)果相同。舉重運(yùn)動(dòng)員的舉重總成績(jī)和體重的關(guān)系模型1 為：專業(yè)資料.C

15、28.3301x0.52077模型的推廣與改進(jìn)方向假設(shè)：人的體重可以看成肌肉重量和非肌肉重量，其中非肌肉的重量是與成年人的尺寸無關(guān)，除了肌肉重量之外其他重量為W0 則可得到關(guān)系式：x W0 k4h（1）其他假設(shè)條件和上面的模型一樣，類似于上面的推導(dǎo)，可得到舉重成績(jī) C 與肌肉重量 W 的關(guān)系為：C K ( x W0 )（2）目標(biāo)函數(shù)：CK ( xW0 )其中 K k1k2k3k43 ,。3模型求解：l o gCl oKgl xo g W()0假設(shè) W0 =35千克，然后利用表中的數(shù)據(jù)用線性最小二乘法得到擬合后的函數(shù)為：C132.6959*( x35)0.2755即舉重運(yùn)動(dòng)員的舉重總成績(jī)與體重之

16、間的關(guān)系模型為：C132.6959*( x35)0.2755畫出圖像如下：專業(yè)資料.440420400）克 380千（績(jī) 360成總340320300606570758085909510010555體重M（千克）舉重總成績(jī)與體重之間的關(guān)系模型圖從上圖可以看出擬合的曲線沒有完全經(jīng)過實(shí)際值所在的點(diǎn)，56 、85 公斤級(jí)的比賽的運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)基本上是經(jīng)過模型2 所擬合出的曲線，其他的點(diǎn)在擬合曲線上下波動(dòng)。通過計(jì)算，擬合的成績(jī)與實(shí)際成績(jī)之間的標(biāo)準(zhǔn)差是12.2078 ，顯然該模型比模型1 擬合效果更好。猜想：能否找到誤差更小的數(shù)學(xué)模型來表示舉重總成績(jī)與體重之間的關(guān)系。于是將（ 2）式化為：C K (x 4

17、5)（5）將（ 5）式轉(zhuǎn)化成一元線性函數(shù) log C log Klog( x 45) ，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，用 polyfit(x,y)擬合，得到 K=177.9023， =0.2142，即得到專業(yè)資料.總成績(jī)和體重的關(guān)系式是：C188.9244*( x45) 0.1973（6）從而改進(jìn)后的模型為：C188.9244*( x45)0.19738模型的優(yōu)缺點(diǎn)在所給的數(shù)據(jù)中，因?yàn)椴恢莱^108kg的運(yùn)動(dòng)員的具體體重，為了提高模型的準(zhǔn)確性，故沒有將超過108kg的運(yùn)動(dòng)員的總成績(jī)列入考慮的范圍。優(yōu)點(diǎn)：（1）利用生理學(xué)論證建議肌肉的強(qiáng)度和其橫截面的面積成比例這2個(gè)強(qiáng)度子模型和參考經(jīng)驗(yàn)公式，推導(dǎo)出模型C 20

18、.1779 x 3，并對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，得到優(yōu)化后的模型為C 28.3301x0.5207 ，通過線性回歸分析驗(yàn)證了優(yōu)化后模型的可靠性。（2 考慮到人的體重中的非肌肉因素導(dǎo)出模型C132.6959*( x35)0.2755 。（3）此模型能使舉重比賽受體重因素影響較小，從而更加公平。缺點(diǎn)：由于表中只提供了體重的數(shù)據(jù)而沒有其他數(shù)據(jù)，例如高度，臂長(zhǎng)之類的數(shù)據(jù)，以及運(yùn)動(dòng)員體積， 因此所建立的不同模型都產(chǎn)生了不同程度的誤差 ,運(yùn)動(dòng)員的心理因素等其他各方面因素，以及環(huán)境因素也將影響比賽成績(jī)，未納入考慮影響范圍之列。專業(yè)資料.參考文獻(xiàn)1姜啟源數(shù)學(xué)模型（第四版） M 北京：高等教育出版社，2010 2韓中庚數(shù)

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