數學物理方法1.1

1、 復變函數論多媒體教學課件Department of Mathematics第一章 復數及復平面第一節(jié) 復數及其幾何表示 1、復數域 2、復平面 3、復球面與無窮大復數域: 每個復數具有z=x+iy的形狀，其中x和y是實數，i是虛數單位(-1的平方根)。x和y分別稱為的實部和虛部，分別記作： 復數和相等是指它們的實部與虛部分別相等。 如果Imz=0，則z可以看成一個實數；如果 Imz不等于零，那么稱z為一個虛數；如果， Imz不等于零，而Rez=0，則稱z為一個純虛 數。復數的四則運算:復數的四則運算定義為： 復數在四則運算這個代數結構下，構成一個復數域(對加、減、乘、除運算封閉），記為C，復

2、數域可以看成實數域的擴張。復平面: 復數域C也可以理解成平面RxR，我們稱C為復平面.作映射： 則在復數集C與平面RxR之建立了一個1-1對應（雙射）。 平面上橫坐標軸我們稱為實軸，縱坐標軸稱為虛軸；復平面一般稱為z-平面，w-平面等。復平面: 復數可以等同于平面中的向量等價類（在平移關系下）。向量的長度稱為復數的模，定義為： 非零實軸之間的夾角稱為復數的輻角，定義為：復數的共軛定義為：復數的三角表示:非零復數的三角表示定義為：復數加、減法的幾何表示如下圖：基本不等式:關于兩個復數的和與差的模，有以下不等式：例1試用復數表示圓的方程:其中，a,b,c,d是實常數。解：利用例2設 、 是兩個復數

3、，證明：例2三角表示的乘法： 利用復數的三角表示，我們可以更簡單的表示復數的乘法與除法 ，設其中后一個式子應理解為集合相等。則有三角表示的乘法： 同理，對除法，也有：其中后一個式子也應理解為集合相等。例3設 、 是兩個復數，求證：例4、作出過復平面C上不同兩點a,b的直線及過不共線三點 a,b,c的圓的表示式。例4、作出過復平面C上不同兩點a,b的直線及過不共線三點 a,b,c的圓的表示式。a,c,b,z構成一個圓內接四邊形或在同以側復數的乘冪： 利用復數的三角表示，我們也可以考慮復數的乘冪：復數的乘冪： 進一步，有： 可以看到，k=0,1,2,n-1時，可得n個不同的值，即z有n個n次方根，

4、其模相同，輻角相差一個常數，均勻分布于一個圓上。這樣，復數的乘冪可以推廣到有理數的情形。例5、求所有值：解：由于所以有有四個根。復球面與無窮大: 在點坐標是(x,y,u)的三維空間中，把 xOy面看作是 z 平面?？紤]球面S： 取定球面上一點N(0,0,1)稱為球極。 我們可以建立一個復平面C到S-N之間的一個1-1對應（球極射影）：球極射影: 我們稱上面的映射為球極射影： 1、(x,y,0), (x,y,u), (0,0,1)三點共線 2、x:y:-1=x:y:u-1;無窮遠點: 對應于球極射影為N，我們引入一個新的非正常復數無窮遠點， 稱 為擴充復平面，記為 。無窮遠點: 關于無窮遠點，我們規(guī)定其實部、虛部、輻角無意義，模等于：它和有限復數的基本運算為：這些運算無意義：Its The