計(jì)算材料學(xué)之蒙特卡洛方法論述

1、 計(jì)算材料學(xué)之蒙特卡洛方法計(jì)算材料學(xué)要緊內(nèi)容計(jì)算材料學(xué)涉及材料的各個(gè)方面，如不同層次的結(jié)構(gòu)、各種性能等等，因此，有專門多相應(yīng)的計(jì)算方法。在進(jìn)行材料計(jì)算時(shí)，首先要依照所要計(jì)算的對(duì)象、條件、要求等因素選擇適當(dāng)?shù)姆椒āＲ胱龊眠x擇，必須了解材料計(jì)算方法的分類。目前，要緊有兩種分類方法：一是按理論模型和方法分類，二是按材料計(jì)算的特征空間尺寸(Characteristic space scale)分類。材料的性能在專門大程度上取決于材料的微結(jié)構(gòu)，材料的用途不同，決定其性能的微結(jié)構(gòu)尺度會(huì)有專門大的差不。例如，對(duì)結(jié)構(gòu)材料來講，阻礙其力學(xué)性能的結(jié)構(gòu)尺度在微米以上，而關(guān)于電、光、磁等功能材料來講可能要小到納米，

2、甚至是電子結(jié)構(gòu)。因此，計(jì)算材料學(xué)的研究對(duì)象的特征空間尺度從埃到米。時(shí)刻是計(jì)算材料學(xué)的另一個(gè)重要的參量。關(guān)于不同的研究對(duì)象或計(jì)算方法，材料計(jì)算的時(shí)刻尺度可從10-15秒（如分子動(dòng)力學(xué)方法等）到年（如關(guān)于腐蝕、蠕變、疲勞等的模擬）。關(guān)于具有不同特征空間、時(shí)刻尺度的研究對(duì)象，均有相應(yīng)的材料計(jì)算方法。 目前常用的計(jì)算方法包括第一原理從頭計(jì)算法，分子動(dòng)力學(xué)方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。下面要緊介紹蒙特卡羅方法：蒙特卡羅方法：一、方法的簡(jiǎn)介蒙特卡羅方法（Monte Carlo method），也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指

3、導(dǎo)的一類特不重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決專門多計(jì)算問題的方法。與它對(duì)應(yīng)的是確定性算法這種方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。蒙特卡羅方法是一種計(jì)算方法，但與一般數(shù)值計(jì)算方法有專門大區(qū)不。它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應(yīng)用領(lǐng)域日趨廣泛。蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)(如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。二、方法的思想當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的

4、期望值時(shí)，通過某種“實(shí)驗(yàn)”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率可能這一隨機(jī)事件的概率，或者得到那個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。三、方法的工作過程蒙特卡羅方法的解題過程能夠歸結(jié)為三個(gè)要緊步驟：構(gòu)造或描述概率過程；實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種可能量。 蒙特卡羅方法解題過程的三個(gè)要緊步驟： （1）構(gòu)造或描述概率過程 關(guān)于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問題，如粒子輸運(yùn)問題，要緊是正確描述和模擬那個(gè)概率過 程，關(guān)于本來不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題，比如計(jì)算定積分，就必須事先構(gòu)造一個(gè)人為的概率過程，它的某些參量正好是所要求問題的解。即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。 （2）實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽

5、樣 構(gòu)造了概率模型以后，由于各種概率模型都能夠看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量），就成為實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實(shí)驗(yàn)的差不多手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機(jī)抽樣的緣故。最簡(jiǎn)單、最差不多、最重要的一個(gè)概率分布是（0，1）上的均勻分布（或稱矩形分布）。隨機(jī)數(shù)確實(shí)是具有這種均勻分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)數(shù)序列確實(shí)是具有這種分布的總體的一個(gè)簡(jiǎn)單子樣，也確實(shí)是一個(gè)具有這種分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的問題，確實(shí)是從那個(gè)分布的抽樣問題。在計(jì)算機(jī)上，能夠用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。如此產(chǎn)生的序列，與真正

6、的隨機(jī)數(shù)序列不同，因此稱為偽隨機(jī)數(shù)，或偽隨機(jī)數(shù)序列。只是，通過多種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表明，它與真正的隨機(jī)數(shù)，或隨機(jī)數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機(jī)數(shù)來使用。由已知分布隨機(jī)抽樣有各種方法，與從(0,1)上均勻分布抽樣不同，這些方法差不多上借助于隨機(jī)序列來實(shí)現(xiàn)的，也確實(shí)是講，差不多上以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)為前提的。由此可見，隨機(jī)數(shù)是我們實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬的差不多工具。 （3）建立各種可能量 一般講來，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后，我們就要確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問題的解，我們稱它為無偏可能。建立各種可能量，相當(dāng)于對(duì)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問題的解。四、減小方差的各種技

7、巧 顯然，當(dāng)給定置信度后，誤差由和N決定。要減小，或者是增大N，或者是減小方差2。在固定的情況下，要把精度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，試驗(yàn)次數(shù)N需增加兩個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，單純?cè)龃驨不是一個(gè)有效的方法。另一方面，如能減小可能的均方差，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于N增大四倍的效果。因此降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。后面課程將會(huì)介紹一些降低方差的技巧。 五、方法的優(yōu)勢(shì)1、能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程從那個(gè)意義上講，蒙特卡羅方法能夠部分代替物理實(shí)驗(yàn)，甚至能夠得到物理實(shí)驗(yàn)難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實(shí)際問題，能夠直接從實(shí)際問題本身動(dòng)身，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式動(dòng)

8、身。它有直觀、形象的特點(diǎn)。受幾何條件限制小 在計(jì)算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分時(shí)，不管區(qū)域Ds的形狀多么專門，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就能夠從Ds中均勻產(chǎn)生N個(gè)點(diǎn) 得到積分的近似值。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。另外，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀專門復(fù)雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，可不能有原則上的困難。 3、收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡羅方法的收斂速度為 ，與問題本身的維數(shù)無關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時(shí)刻及可能量計(jì)算時(shí)刻的變化，不阻礙誤差。也確實(shí)是講，使用蒙特卡羅方法時(shí)，抽取的子樣總數(shù)N與

9、維數(shù)s無關(guān)。維數(shù)的增加，除了增加相應(yīng)的計(jì)算量外，不阻礙問題的誤差。這一特點(diǎn)，決定了蒙特卡羅方法對(duì)多維問題的適應(yīng)性。而一般數(shù)值方法，比如計(jì)算定積分時(shí)，計(jì)算時(shí)刻隨維數(shù)的冪次方而增加，而且，由于分點(diǎn)數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，這些差不多上一般數(shù)值方法計(jì)算高維積分時(shí)難以克服的問題。 4、具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量的能力關(guān)于那些需要計(jì)算多個(gè)方案的問題，使用蒙特卡羅方法有時(shí)不需要像常規(guī)方法那樣逐個(gè)計(jì)算，而能夠同時(shí)計(jì)算所有的方案，其全部計(jì)算量幾乎與計(jì)算一個(gè)方案的計(jì)算量相當(dāng)。例如，關(guān)于屏蔽層為均勻介質(zhì)的平板幾何，要計(jì)算若干種厚度的穿透概率時(shí)，只需計(jì)算最厚的一種情況，其他厚度的穿透

10、概率在計(jì)算最厚一種情況時(shí)稍加處理便可同時(shí)得到。 另外，使用蒙特卡羅方法還能夠同時(shí)得到若干個(gè)所求量。例如，在模擬粒子過程中，能夠同時(shí)得到不同區(qū)域的通量、能譜、角分布等，而不像常規(guī)方法那樣，需要逐一計(jì)算所求量。誤差容易確定關(guān)于一般計(jì)算方法，要給出計(jì)算結(jié)果與真值的誤差并不是一件容易的情況，而蒙特卡方法則不然。依照蒙特卡羅方法的誤差公式，能夠在計(jì)算所求量的同時(shí)計(jì)算出誤差。對(duì)干專門復(fù)雜的蒙特卡羅方法計(jì)算問題，也是容易確定的。一般計(jì)算方法常存在著有效位數(shù)損失問題，而要解決這一問題有時(shí)相當(dāng)困難，蒙特卡羅方法則不存在這一問題。 6、程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行蒙特卡羅方法計(jì)算時(shí)，程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，分塊性強(qiáng)

11、，易于實(shí)現(xiàn)。 7、缺點(diǎn) eq oac(,1)收斂速度慢。如前所述，蒙特卡羅方法的收斂速度為 ，一般不容得到精確度較高的近似結(jié)果。關(guān)于維數(shù)少（三維以下）的問題，不如其他方法好。 eq oac(,2) 誤差具有概率性。由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下可能的，因此它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差。 eq oac(,3)在粒子輸運(yùn)問題中，計(jì)算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)經(jīng)驗(yàn)表明，只有當(dāng)系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程能夠相比較時(shí)（一般在十個(gè)平均自由程左右），蒙特卡羅方法計(jì)算的結(jié)果較為中意。但關(guān)于大系統(tǒng)或小概率事件的計(jì)算問題，計(jì)算結(jié)果往往比真值偏低。而關(guān)于大系統(tǒng)，數(shù)值方法則是適用的。 因此，在使用蒙

12、特卡羅方法時(shí)，能夠考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，既能解決解析（或數(shù)值）方法難以解決的問題，也能夠解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問題。如此，能夠發(fā)揮蒙特卡羅方法的特長(zhǎng)，使其應(yīng)用范圍更加廣泛。六、方法的實(shí)際應(yīng)用蒲豐氏問題為了求得圓周率值，在十九世紀(jì)后期，有專門多人作了如此的試驗(yàn)：將長(zhǎng)為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（ la）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準(zhǔn)確的關(guān)系式求出值 其中為投計(jì)次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這確實(shí)是古典概率論中聞名的蒲豐氏問題。解：設(shè)針投到地面上的位置能夠用一組參數(shù)（x,）來描述，x為針中心的坐標(biāo)，為針與平行線的夾角，

13、如圖所示。針在平行線間的位置 任意投針，確實(shí)是意味著x與差不多上任意取的，但x的范圍限于0，a，夾角的范圍限于0，。在此情況下，針與平行線相交的數(shù)學(xué)條件是如何產(chǎn)生任意的（x,）？x在0，a上任意取值，表示x在0，a上是均勻分布的，其分布密度函數(shù)為： 類似地，的分布密度函數(shù)為： 因此，產(chǎn)生任意的（x,）的過程就變成了由f1(x)抽樣x及由f2()抽樣的過程了。由此得到： 其中1，2均為（0,1）上均勻分布的隨機(jī)變量。 每次投針試驗(yàn)，實(shí)際上變成在計(jì)算機(jī)上從兩個(gè)均勻分布的隨機(jī)變量中抽樣得到（x,），然后定義描述針與平行線相交狀況的隨機(jī)變量s(x,)，為假如投針次，則是針與平行線相交概率的可能值。事實(shí)

14、上， 因此有 七、方法的收斂性，誤差 蒙特卡羅方法作為一種計(jì)算方法，其收斂性與誤差是普遍關(guān)懷的一個(gè)重要問題。1、收斂性由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣X1，X2，XN的算術(shù)平均值： 作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知， 如X1，X2，XN獨(dú)立同分布，且具有有限期望值（E(X)），則 即隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣的算術(shù)平均值 ，當(dāng)子樣數(shù)充分大時(shí)，以概率1收斂于它的期望值E(X)。2、誤差蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，假如隨機(jī)變量序列X1，X2，XN獨(dú)立同分布，且具有有限非零的方差2 ，即f(X)是X的分布密度函數(shù)。則當(dāng)N充分大時(shí)，

15、有如下的近似式其中稱為置信度，1稱為置信水平。這表明，不等式 近似地以概率 1成立，且誤差收斂速度的階為 。 通常，蒙特卡羅方法的誤差定義為上式中 與置信度是一一對(duì)應(yīng)的，依照問題的要求確定出置信水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就能夠確定出 。關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需講明兩點(diǎn)：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計(jì)算方法是有區(qū)不的。第二，誤差中的均方差是未知的，必須使用其可能值來代替，在計(jì)算所求量的同時(shí)，可計(jì)算出 。 八、蒙特卡羅方法的要緊應(yīng)用范圍 通常蒙特卡羅方法通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來解決數(shù)學(xué)上的各種問題。關(guān)于那些由于計(jì)算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者全然沒有解析解的問題，蒙特卡羅

16、方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用確實(shí)是蒙特卡羅積分。蒙特卡羅方法所特有的優(yōu)點(diǎn)，使得它的應(yīng)用范圍越來越廣。它的要緊應(yīng)用范圍包括：粒子輸運(yùn)問題，統(tǒng)計(jì)物理，典型數(shù)學(xué)問題，真空技術(shù)，激光技術(shù)以及醫(yī)學(xué)，生物，探礦等方面。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展，其應(yīng)用范圍將更加廣泛。蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物醫(yī)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)(如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算、核工程)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。 蒙特卡羅方法在粒子輸運(yùn)問題中的應(yīng)用范圍要緊包括：實(shí)驗(yàn)核物理，反應(yīng)堆物理，高能物理等方面。蒙特卡羅方法在實(shí)驗(yàn)核物理中的應(yīng)用范圍要緊包括：通量及反應(yīng)率，中子探測(cè)效率，光子探測(cè)效率，

17、光子能量沉積譜及響應(yīng)函數(shù)，氣體正比計(jì)數(shù)管反沖質(zhì)子譜，多次散射與通量衰減修正等方面。 九、蒙特卡羅模型的進(jìn)展運(yùn)用從理論上來講，蒙特卡羅方法需要大量的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，所得到的結(jié)果才越精確。以上Buffon的投針實(shí)驗(yàn)為例、歷史上的記錄如下表1。 從表中數(shù)據(jù)能夠看到，一直到公元20世紀(jì)初期，盡管實(shí)驗(yàn)次數(shù)數(shù)以千計(jì)，利用蒙特卡羅方法所得到的圓周率值，依舊達(dá)不到公元5世紀(jì)祖沖之的推算精度。這可能是傳統(tǒng)蒙特卡羅方法長(zhǎng)期得不到推廣的要緊緣故。 計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)展，使得蒙特卡羅方法在最近10年得到快速的普及?，F(xiàn)代的蒙特卡羅方法，差不多不必親自動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，而是借助計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)轉(zhuǎn)能力，使得原本費(fèi)時(shí)費(fèi)勁的實(shí)驗(yàn)過程，變成了快速和輕而易舉的情況。它不但用于解決許多復(fù)雜的科學(xué)方面的問題，也被項(xiàng)目治理人員經(jīng)常使用。 借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，蒙特卡羅方法實(shí)現(xiàn)了兩大優(yōu)點(diǎn)： 一是簡(jiǎn)單，省卻了繁復(fù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握 二是快速。簡(jiǎn)單和快速，是蒙特卡羅方法在現(xiàn)代項(xiàng)目治理中獲得應(yīng)用