全國(guó)卷立體幾何

1、- -必修2數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：空間幾何體1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)（常見的多面體有:棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球。柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCDE-ABCDE或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱AD幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)

2、的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P-ABCDE幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。棱臺(tái):用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺(tái)。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P-ABCDE幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)圓拄：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的

3、圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。圓錐：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。圓臺(tái)：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。球體：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、

4、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，h為斜高，1為母線）直棱柱側(cè)面積圓柱側(cè)2nS正棱錐側(cè)面積2ch圓錐側(cè)面積=兀1S=（c+c）hS=（r+R）nl正棱臺(tái)側(cè)面積2i2圓臺(tái)側(cè)面積Sf、士=2nr

5、（r+l）圓柱表S圓錐表S=n圓臺(tái)表2+rl+Rl+R2)（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式快=沖圓柱=Sh=r2%=I叫錐=3nr2h=|(S+（4）球體的表面積和體積公式：V球=4nR3；S球面=4nR2第二章：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、公理1：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。2、公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。- -3、公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.5、定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。6、線線位置關(guān)系:平行、相交、異

6、面。7、線面位置關(guān)系:直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直線和平面相交。8、面面位置關(guān)系:平行、相交。9、線面平行:判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行（簡(jiǎn)稱線線平行，則線面平行）。性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡(jiǎn)稱線面平行，則線線平行）。10、面面平行:判定：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)稱線面平行，則面面平行）。（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（簡(jiǎn)稱面面平行，則線線平行）。11、線面垂直:定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這

7、條直線和這個(gè)平面垂直。判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（簡(jiǎn)稱線線垂肓，則線面垂直）。性質(zhì)：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。12、面面垂直:定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。判定：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直（簡(jiǎn)稱線面垂育，則面面垂直）。性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（簡(jiǎn)稱面面垂直，則線面垂直）?？臻g角問題（1）直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。，兩條異面直線所成的角：

8、過空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a，b平行的直線b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面

9、面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂真于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的

10、角為二面角的平面角 2014-2018年立體幾何高考真題(2018文3)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C,D的點(diǎn).證明：平面AMD丄平面BMC；在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC平面PBD?說明理由.(2017文3)如圖，四面體ABCD中，AABC是正三角形，AD=CD.(1)證明:AC丄BD；(2)已知ACD是直角三角形，AB=BD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE丄EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.(2016文3)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2

11、MD,N為PC的中點(diǎn).()證明MN平面PAB;(II)求四面體N-BCM的體積.(2015文2)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-Aibicidi中AB=16，BC=10,AA廣8,點(diǎn)E,F分別在AiBi，DiCi上,AiE-DiF-4.過點(diǎn)EF的平面a與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法與理由)；求平面a把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.(2014)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，ZACB=90,BC=1,AC=CC1=2.(1)證明：AC丄A1B;(2018文1)在平面四邊形ABCM中，AB=AC=3,ZACM=90。，以

12、AC為折痕將AACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB丄DA.證明：平面ACD丄平面ABC；2Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BQ=DQ=3DA，求三棱錐Q-ABP的體積.（2018文2）19.（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2込，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.（2017文1）18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD,且ZBAP=ZCDP=90證明：平面PAB丄平面PAD；8若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90，且四棱錐P-ABCD的體積為3，求該四棱錐的側(cè)面積.1(2017文2)

13、18.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,ZBAD=L-iZABC=90o證明：直線BC平面PAD;若厶PCD面積為277，求四棱錐P-ABCD的體積。（2016文1）如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.（I）證明：G是AB的中點(diǎn)；（II）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.（2016文2）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AD，CD上,AE

14、二CF，EF交BD于點(diǎn)H，將ADEF沿EF折到ADEF的位置.（I）證明：AC丄HD；（II）若AB二5,AC二6,AE二5,OD二22,求五棱錐DABCEF體積.4（2015文1）18.如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE丄平面ABCD，（I）證明：平面AEC丄平面BED；（II）若ZABC二120。，AE丄EC,三棱錐EACD的體積為CD（2018文3）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是棒頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）（2016文3）如圖，網(wǎng)格紙上

15、小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（A）18+365（B）54+1沁5C）90（D）81一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的2015文2）6.DA.nB4C.I（2017文3）10在正方體ABCD-AiBiCiDi中E為棱CD的中點(diǎn)，則A.AE丄DC11B.AE丄BD1C.AELBC11DAELAC1（2015文2）10.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),ZAOB=90。,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球0的表面積為（）A.36nb.64nc.144nd.256n（2014）（4

16、）已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（）7 A.B.C.D.(2014)(10)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積是(A.81兀B.16兀C.9兀27兀Dr(2018.3)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，長(zhǎng)方體是棒頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()3答案：A(2016年全國(guó)III卷高考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(B)18+36富5(B)54

17、+1沁5(C)90(D)81(2015年全國(guó)II卷高考)6.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(B.1c.6D.5 41111 3nA.nBNC.2D.解析】如果，畫出圓柱的軸截面【答案】D【解析】學(xué)科屈試題分析：如圖所示，蕪去部分是正方體的一牛角:其體積是正方體體積的丄剰余部分體積是正方體體積的6三所以截去部分處和與乘燥部分體積的比值曲丄.故選工【考點(diǎn)定位】本題主裳著查三視圖及幾何悴悴積刖計(jì)算一(2017.3)9已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為x1二4兀，故選b.AC=1,AB=2，

18、所以r=BC=，那么圓柱的體積是V=兀r2h=兀x羋(2017.3)10.在正方體ABCDABCD中，E為棱CD的中點(diǎn)，則A.AE丄DCB.AE丄BDC.AELBCD.AE丄AC【答案】C111111【解析】根據(jù)三垂線逆定理，平面內(nèi)的線垂直平面的斜線，那也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影扣若密DJ那么D占DC“很顯然不成立F氐若4巨嘰那么母D丄應(yīng)，顯熱不成立,C-若4E丄叫那么阻丄恥,成立，反過來RG丄耳C時(shí)也能推出RG丄&E,所次C成立，D.若占E丄蟲C,則AEAC,顯然不成立，故選C.（2015年全國(guó)II卷高考）10.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),ZAOB=90。,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-

19、ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為（）A.36nb.64nc.144nd.256n【答案】C【解析】學(xué)科勵(lì)試題分析；設(shè)球的半徑対疋則衛(wèi)OB面積為*疋：三棱錐0-悴積最大時(shí)C到平面丄阿距離最大且曲尺此時(shí)F=存=兀=尺；所以球0昂表面積$=4恣：=144“故選C.F薯點(diǎn)定位】本題主裝著查球與幾何體的切接間題及空間想象能力一【笆師點(diǎn)睛】由于三棱誰(shuí)O-ABC底面AOS面積曲定值做高最大時(shí)體積最尢本題就是利用此結(jié)論求球的半徑:然后再求出球O的表面積:由于球與幾何體的切接問題能很好的考查空間想象能力:使得這類間題一直是高考中的熱點(diǎn)及難點(diǎn):提醒若生要加強(qiáng)此M練.（2014）（4）已知正四面體ABCD

20、中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】BTOC o 1-5 h z（2014）（10）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積是（）81兀27兀A.B.16兀C.9兀D.44【答案】A（2018文3）如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點(diǎn).證明：平面AMD丄平面BMC；在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC平面PBD?說明理由.(2018文3)解答：(1)T正方形ABCD丄半圓面CMD,:.AD丄半圓面CMD,.AD丄平面MCD.CM在平面MCD內(nèi)，.AD丄CM，又:M是半圓弧C

21、D上異于C,D的點(diǎn)，CM丄MD又:ADnMD二D，CM丄平面ADM,CM在平面BCM內(nèi)，.平面BCM丄平面ADM.(2)線段AM上存在點(diǎn)P且P為AM中點(diǎn)，證明如下：連接BD,AC交于點(diǎn)O，連接PD,PB,PO；在矩形ABCD中，O是AC中點(diǎn)，P是AM的中點(diǎn);OP/MC，丁OP在平面PDB內(nèi)，MC不在平面PDB內(nèi)，.：MC/平面PDB.(2017文3)如圖，四面體ABCD中，AABC是正三角形，AD=CD.證明：AC丄BD；已知ACD是直角三角形，AB=BD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE丄EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.(1)證明：取AC中點(diǎn)O,連OD,OBAD=CD，O

22、為AC中點(diǎn),.AC丄OD，又AABC是等邊三角形，AC丄OB,又：OBOD=O,:,AC丄平面OBD,BDu平面OBD,AC丄BD.設(shè)AD=CD=2?.AC=22?AB=CD=2?又:AS=BD?:.BD=ly/2?三CBDj=EC?又：AE_EC?AC=Ji.?:.AE=EC=2,在ilABD中,DE=x根握余弦定理cosXADS=2ADBDe+DE：_屈2ADDE22+(2./2J2-(2V222丄+壬22x2x272解得x=近點(diǎn).E是RD的中點(diǎn)?則=爲(wèi)一衛(wèi)嚴(yán)匚1片S-JCE（2016文3）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為

23、線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).（）證明MN平面PAB;（II）求四面體N-BCM的體積.（2016文3）（1）證明：由已知得AM=2AD=2,3取BP的中點(diǎn)T,連結(jié)AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TN#BC,TN=1BC=2.（3分）2又ADBC,故TNAM,故四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳Tu平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.（6分）仃I）因?yàn)镻A丄平面ABCD,N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為1PA.（9分）2取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE.由AB=AC=3得AE丄BC,AE=V4B2-BE2=V5.由AMBC得M到BC的距離為V5,故Sa

24、=1X4XV5=2V5.BCM2所以四面體N-BCM的體積V=丄Sa的比二虹5.分）N-BCM3BCM23（2015文2）如圖,長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中AB=16,BC=10,AA二8,點(diǎn)E,F分別在AB,DC上,AE二DF二4.過11111111111（I）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法與理由）；（II）求平面a把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.（2015文2）解：（I）交線圍成的正方形EHGF如圖:CaHM(II)作_AB:垂足拘一工剛AV=4=-：:=羽=S:因齒EHGF杲正方形:所息EH=EF=SC=C):于是hlH=J曲-血=6:AH=10:J?S=6.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面a分咸兩

25、個(gè)高齒10的直棱柱刪其體積比值處y(扌也正確).【考點(diǎn)定位】本題主妾肴查幾何體中的截面問題及幾何體的體積的計(jì)算一【剖帀點(diǎn)睛】立體幾何解答題在高肴中難度底于解析幾何屬于得分題:往年第一間多酋線面位置關(guān)系的.今年試題有所創(chuàng)新，改為作截面圜令人耳目一新.第二間求兩幾何閑本積之比方法容易想到:注意運(yùn)算不要出現(xiàn)錯(cuò)誤.(2014)如圖，三棱柱ABC-ABC中，點(diǎn)A、在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，ZACB=90o,BC=1,AC=Cq=2.(1)證明：AC丄A1B;解法一(DTA丄平面ABC,A1Du平面AA1C1C，故平面AA1C1C丄平面ABC,又BC丄AC,所以BC丄平面AA1C1C，連結(jié)A1C，因

26、為側(cè)面AA1C1C是棱形，所以AC丄A1C,由三垂線定理的AC丄A1B.A(2018文1)在平面四邊形ABCM中，AB=AC=3，ZACM=90。，以AC為折痕將AACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB丄DA證明：平面ACD丄平面ABC；2Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BQ=DQ=-DA，求三棱錐Q-ABP的體積.解答：證明：ABCM為平行四邊形且ZACM二90AB丄AC又AB丄DAAB丄平面ACD,ABu平面ABC,平面ABC丄平面ACD.過點(diǎn)Q作QH丄AC，交AC于點(diǎn)H，丁AB丄平面ACD,AB丄CD，又CD丄AC,.CD丄平面ABC,HQ二竺二1,HQ二1,BC=3J2,B

27、C=AM=AD=3邁,.BP二2j2，又AABC為等CDAD3腰直角三角形，S二1-3-2邁羊二3,V二1-S-HQ二1x3x1二1.AABP22Q-ABD3AABD3(2018文2)19.(12分)如圖，在三棱錐PABC中，AB=BC=2巨,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn)八、證明：PO丄平面ABC；若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.解：(1)因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P丄AC,且OP=2啟.連結(jié)OB.因?yàn)锳B=BC=AC，所以ABC為等腰直角三角形，且OB丄AC,OB-1AC=2.22由OP2+OB2=PB2知,OP丄OB.由OP丄

28、OB,OP丄AC知PO丄平面ABC.(2)作CH丄OM,垂足為H.又由(1)可得OP丄CH,所以CH丄平面POM.OM所以點(diǎn)C到平面POM的距離為痘.5故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離.由題設(shè)可知OC-丄AC=2，CM=-BC二竺2，ZACB=45.TOC o 1-5 h z2332i5OC-MC-sinZACB4,5所以O(shè)M=，CH=3OM58(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90，且四棱錐P-ABCD的體積為3，求該四棱錐的側(cè)面積.【解析】(1)由已知ZBAP=ZCDP=90。，得AB丄AP,CD丄PD.由于ABCD，故AB丄PD，從而AB丄平面PAD.在平面氏內(nèi)作PEAD,垂足

29、為E.由（1）知“迎一平面PAD,故型FE可得FE一平面ABCD.設(shè)期二囂貝由已知可得AD二辰,PE=x.故四棱錐P-.4BCD的體積%冷嘰4DH=”由題設(shè)得二扌，故工二父從而孔4=PD=2,AD=BC=11,PB=PC=2i可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為PA-PD十扌陽(yáng)=43十；PDDC十*月凸血6呼=時(shí)邛1（2017文2）18.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,ZBAD=L-iZABC=90o（3）證明：直線BC平面PAD;（4）若厶PCD面積為2斜，求四棱錐P-ABCD的體積。.【解析】C1）在平面ABCD內(nèi)因ZBAD=

30、ZAB090,所以EC/AD一又BCC平面,AD二平面尸血）,故BC/平面FAD2去AD的中點(diǎn)皿連結(jié)PM,CM；由應(yīng)=C=f的及陰g,Z-WC=90得四邊形ABCN為正方形，則即丄AD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD門平面ABCIAD,所以,PMLaD,:PN丄底面ABCD,因宵CM匸底ABCD,所以.PM丄CM.設(shè)BOx；則CM=x；CD=J1k;PM=V3,POPI2x.取CD的中點(diǎn)N；連結(jié)PN;則FN丄CD,所以_PN=牢咒Is因APCD的面積為2億所臥費(fèi)雄k兀乎丸二2億解得并=-?（舍去1,x.=2于是AB=C=2,AD=4j?1=2v3所以四棱錐P-ABC

31、D的體積二：了二3（2016文1）如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.（I）證明：G是AB的中點(diǎn)；（II）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.7TcG3試題解析：因?yàn)槭谄矫嬗璘內(nèi)的正投影為D,所tJ.AB-PD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投臺(tái)対E,所以AB-DE所臥且3平面PED?故.遞_陽(yáng).又由已知可得，PA=PB?從而G是腫的中點(diǎn).(II)在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下：由已知可得PB丄PA,PB丄PC，又EF/PB，所以EF丄PAEF丄PC，因此EF丄平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.連結(jié)CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心.由(I)知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD二2CG.21由題設(shè)可得PC丄平面PAB，DE丄平面PAB，所以DE/PC，因此PE=-PG,DE二PC.33