線性代數(shù)：第五章小結(jié)_第1頁
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文檔簡介

1、5.6.1內(nèi)容框圖矩陣的特征值與特征向量矩陣的對角化實(shí)對稱陣對角化5.6.2基本要求(1)理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，并掌握其求法。(2)了解相似矩陣的概念與性質(zhì)，知道矩陣可對角化的充要條件，會(huì)將實(shí)對稱矩陣正交對角化。5.6.3內(nèi)容概要1)特征值與特征向量(1)概念：設(shè)A是n階方陣，滿足的數(shù)稱為A的特征值，x為對應(yīng)的特征向量，行列式為A的特征多項(xiàng)式.(2)求法：方程的所有根，即為A的全部特征值。齊次方程組的任一非零解即為對應(yīng)于的特征向量，一般取基礎(chǔ)解系。(3)性質(zhì)：設(shè)n階方陣A的n個(gè)特征值為，則有屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。A可逆A沒有零特征值。特征值的幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)m滿

2、足若是方陣A的特征值，x是對應(yīng)的特征向量，k為常數(shù)，m為正整數(shù)，則及分別是矩陣及的特征值，而x是對應(yīng)的特征向量。A與有相同的特征值，但特征向量未必相同。2)矩陣對角化(1)相似矩陣的性質(zhì)：若即A相似與B，則有,從而A和B有相同的特征值(2)n階矩陣A可對角化的條件：A可對角化的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。若A有n個(gè)互不相等的特征值，則A可對角化。A可對角化的充要條件是對A的任一特征值，有(3)實(shí)對稱矩陣的正交對角化：設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，則有A的特征值都是實(shí)數(shù)。A的任一特征值均有A的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交。由可得，實(shí)對稱矩陣A可正交對角化，即A正交相似于與一實(shí)對角陣，即存在正交陣Q，使成立，其中是A得特征值。(4)將A對角化方法：求出A的所有特征值，其中互不相等的特征值為若A可對角化，則k重特征值必對應(yīng)k個(gè)線性無關(guān)的特征向量，求出每一個(gè)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，合并后必可得到A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量令，則P可逆，且有若A是實(shí)矩陣，則在的基礎(chǔ)上對A的k(k1)重特征值，將求出的的基礎(chǔ)解系正交化。這樣合并后得到的n個(gè)特征向量必相

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