復(fù)旦數(shù)學(xué)分析附件習(xí)題全解ex12

1、習(xí) 題 12.5偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用1求下列曲線在指定點(diǎn)處的切線與法平面方程： y x 2 ,1 （1） z 在1,1, 點(diǎn)；2x.1 xx t sin t,（2） y 1 cos t, 在t 的點(diǎn)；2z 4 sin.2t（3） x y z 0,在(1,2,1) 點(diǎn)；x y z 6.222x 2 y 2 R 2 , RRR （4）在 點(diǎn)。2,22x z R 2 .221) ，在1,1, 1 點(diǎn)的切向量為解 （1）曲線的切向量函數(shù)為(1, 2x,2 (1 x)2(1, 2, ) 。于是曲線在1,1, 1 點(diǎn)的切線方程為412 2(x 1) y 1 4(2z 1) ，法平面方程為8x 16 y 2

2、z 25 。（2）曲線的切向量函數(shù)為(1 cos t, sin t, 2 cos ) ，在t 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切向t22量為(1,1, 2) 。于是曲線在t 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線方程為2x 1 y 1 2 z 2 ，22法平面方程為(x 1) ( y 1) 2(z 2 2) x y 2z 4 0 。22（3）曲線的切向量函數(shù)為2( y z, z x, x y) ，在(1,2,1) 點(diǎn)的切向量為(6, 0, 6) 。于是曲線在(1,2,1) 點(diǎn)的切線方程為1x z 2 ， y 2法平面方程為x z 。（4）曲線的切向量函數(shù)為4( yz, xz, xy) ，在, 點(diǎn)的切向量RRR222 , 點(diǎn)的切線方程為RRR為

3、2R(1, 1, 1) 。于是曲線在2222 RR2Rx y 2 z ，2法平面方程為 0 。2.在曲線 x t, y t 2 , z t 3 上求一點(diǎn)，使曲線在這一點(diǎn)的切線與平面x 2 y z 10 平行。解曲線的切向量為(1, 2t, 3t 2 ) ，平面的法向量為(1, 2,1) ，由題設(shè)，(1, 2t, 3t 2 ) (1, 2,1) 1 4t3t 2 0 ，由此解出t 1或 1 ，于是3(1,1,1) 和 ( 1 ,)3 927為滿足題目要求的點(diǎn)。113. 求曲線 x sin 2 t, y sin t cos t, z cos2 t 在t 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線的2方向余弦。解曲線的切向

4、量函數(shù)為(sin 2t, cos 2t, sin 2t) ，將t 代入得(0,1,0) ，它2是向量，所以是方向余弦。4. 求下列曲面在指定點(diǎn)的切平面與法線方程：（1） z 2x 4 3y 3 ，在點(diǎn)(2,1,35) ；xy（2） e z e z 4 ，在點(diǎn)(ln 2, ln 2,1) ；（3） x u v, y u 2 v 2 , z u 3 v3 ，在點(diǎn)u 0, v 1 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。解（1）曲面的法向量函數(shù)為(8x3, 9 y2 , 1) ，以(x, y, z) (2,1, 35) 代入，得2到(64, 9, 1) ，所以切平面方程為64(x 2) 9( y 1) (z 35) 0 ，即6

5、4x 9 y z 102 0 ，法線方程為x 2 y 1 z 35 。 1649 y x yx11xy（2）曲面的法向量函數(shù)為 e z, e z, 2 e z 2 e z ，以(x, y, z)zzzz (ln 2, ln 2,1) 代入，得到(2, 2, 4 ln 2) ，所以切平面方程為x ln 2 y ln 2 2 ln 2(z 1) 0 ，即 x y 2z ln 2 0 ,法線方程為1x ln 2 y ln 2 (z 1) 。2 ln 211（3）由于J 2u2v ，所以在u 0, v 1 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的法向量為223u3v(0, 3, 2) ，所以切平面方程為3( y 1) 2(z

6、1) 0 ，即 3 y 2z 1 0 ,法線方程為x 1 0,x 1y 1 z 1 ，即 。2 y 3z 5325. 在馬鞍面 z xy 上求一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)的法線與平面 x 3 y z 9 0垂直，并寫出此法線的方程。解馬鞍面的法向量 ( y, x, 1) 與 (1, 3,1) 平行，所以 y x 1 ，即131y 1, x 3, z xy 3 ，于是該點(diǎn)為(3, 1, 3) ，在該點(diǎn)處的法線方程為x 3 1 ( y 1) z 3 。36. 求橢球面 x 2 2 y 2 3z 2 498 的平行于平面 x 3y 5z 7 的切平面。解 由于橢球面的法向量(2x, 4 y, 6z) 與(1,

7、3, 5) 平行，所以 x 2 y 3z ，1353解出 y 3 x, z 5 x ，代入橢球面方程x 6 ，即切點(diǎn)為(6, 9,10) 。23所以有兩個(gè)切平面滿足條件，切平面的方程分別為(x 6) 3( y 9) 5(z 10) 0 與 (x 6) 3( y 9) 5(z 10) 0即x 3 y 5z 83 0 。7. 求圓柱面 x 2 y 2 a 2 與馬鞍面bz xy 的交角。解設(shè)(x, y, z) 是圓柱面與馬鞍面交線上一點(diǎn)。圓柱面在該點(diǎn)的的法向量為(2x, 2 y, 0) ，馬鞍面在該點(diǎn)的的法向量為( y, x, b) ，于是兩法向量的夾角 的余弦為( y, x, b)(2x, 2

8、y, 0)2xy2bzcos ，(2x)2 (2 y)2x2 y2 b2a a2 b2a a2 b2所以2bz arccos。a2 b2a8. 已知曲面 x 2 y 2 3z 0 ，求經(jīng)過點(diǎn) A(0,0,1) 且與直線 x z 平行y212的切平面的方程。設(shè)切點(diǎn)為(x0 , y0 , z0 ) ， 則曲面在該點(diǎn)的法向量為(2x0 , 2 y0 , 3) ，切解平面方程為2x0 x 2 y0 y 3(z 1) 0 。由于切點(diǎn)在切平面上，所以2x2 2 y2 3(z 1) 0 ，與曲面方程相比較000z0 1 。由于切平面與直線平行，所以(2x0 , 2 y0 , 3) (2,1, 2) 4x0

9、2 y0 6 0 ，與曲面方程聯(lián)立，并注意到 z0 1 ，可以求出切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1,1) 。于是，切平面方程為44x 2 y 3z 3 0 。9設(shè)橢球面2x 2 3y 2 z 2 6 上點(diǎn)P,(11,) 處指向外側(cè)的法向量為n ，求6x 2 8 y 2函數(shù)u 在點(diǎn)P 處沿方向n 的方向?qū)?shù)。z(4x, 6 y, 2z)解曲面的法向量為n ，將點(diǎn)P,(11,) 的坐標(biāo)代入，得到n= (2,3,1) 。于是，函數(shù)u 在點(diǎn)P 處沿方向n 的方向?qū)?shù)為14u u , u , u n 14 (2, 3,1) 11 。68, n x y z 710證明曲面 x y 的截距之和等于a 。141414z a

10、 (a 0) 上任一點(diǎn)的切平面在各坐標(biāo)軸上證設(shè)切點(diǎn) 為 (x0 , y0 , z0 ) ， 則 曲 面 在 該 點(diǎn) 的法向量為111 ，切平面方程為, 2 x0 2 y0 2 z0111(x x ) ( y y ) (z z ) 0 ，000 xyz000即111x y z x y z a ，000 xyz000所以截距之和為xa ya za (a )2 a 。00011證明：曲線x a et cos t,y a e sin t,tz a et與錐面 x 2 y 2 z 2 的各母線相交的角度相同。曲線的切向量為aet (cos t sin t, sin t cos t,1) ，錐面的母線方向

11、為解(x, y, z) aet (cos t, sin t,1) ，假定它們的夾角為 ，則5(4x, 6 y, 2z)(cos t sin t, sin t cos t,1) (cos t, sin t,1)2cos 。6(cos t sin t)2 (sin t cos t)2 12cos2 t sin2 t 1212證明曲面 f (ax bz, ay cz) 0 上的切平面都與某一定直線平行，其中函數(shù) f 連續(xù)可微，且常數(shù)a, b, c 不同時(shí)為零。證 曲面的法向量為(af1, af2 , bf1 cf2 ) ，由于(af1, af2 , bf1 cf2 ) (b, c, a) 0 ，所以

12、曲面的法向量與非零向量(b, c, a) 垂直，即曲面的切平面都與向量(b, c, a) 平行，也就是與以此向量為方向的直線平行。13證明曲面 z xf y (x 0) 在任一點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn)，其中 x 函數(shù) f 連續(xù)可微。證曲面上任意一點(diǎn)(x0 , y0 , z0 ) 處的切向量為yf (), 1 ，0 x00因此過點(diǎn)(x0 , y0 , z0 ) 的切平面為y y0f ( y0 ) (x x ) f ( y0 )( y y ) (z z ) 0 ，f (0000 xx0 0容易驗(yàn)證，(0,0,0) 滿足上述方程，即所有切平面都經(jīng)過原點(diǎn)。 z x y 14證明曲面F , 0 的所有切平

13、面都過某一定點(diǎn)，其中函數(shù)F 具 y z x 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。證曲面上任意一點(diǎn)(x0 , y0 , z0 ) 處的切向量為 ，y1x0FF z2 3z2xy 000000因此過點(diǎn)(x0 , y0 , z0 ) 的切平面為1 y01z01x0F(x x) F3 y2 F ( y y) F3 z2F2 (z z0 ) 0 ，F(xiàn) z23010 x2xy 00 00 00容易驗(yàn)證，(0,0,0) 滿足上述方程，即所有切平面都經(jīng)過原點(diǎn)。15設(shè)F (x, y, z) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且2z 0 。進(jìn)一步，設(shè)k 為6正整數(shù)， F (x, y, z) 為k 次立函數(shù)，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)t 和(x, y, z) ，成

14、F (tx, ty, tz) t k F (x, y, z) 。證明：曲面F (x, y, z) 0 上所有點(diǎn)的切平面相交于一定點(diǎn)。證利用條件對(duì) t 求導(dǎo)，有xF (tx, ty, tz) yF (tx, ty, tz) zF (tx, ty, tz) ktk 1F (x, y, z) ，xyz再令t 1，得到曲面上的點(diǎn)(x, y, z) 所滿足的恒等式：xFx (x, y, z) yFy (x, y, z) zFz (x, y, z) kF (x, y, z) 。因?yàn)榍嫔先我庖稽c(diǎn)(x0 , y0 , z0 ) 處的法向量為Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ) ，于是過點(diǎn)(x0 , y