矩陣特征值問題

1、關(guān)于矩陣的特征值問題1第一張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)A是n階方陣，如果存在一個數(shù) 及非零向量則稱 為A的一個特征值,為A的對應(yīng)于（或?qū)儆冢?使得特征值 的特征向量。第一節(jié)特征值與特征向量比如，給定定義1第二張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月如何求方陣A的特征值 與特征向量 ?分析:若 是A的特征值， 是A的屬于特征值 的特征向量， A=, 即 (E-A)=0 (0),可見:是齊次線性方程組(E-A)X=0的非零解. 由于 是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組，故有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式|E-A|為零，即|E-A|=0. (稱此方程為A的特征方程).(E-A)

2、X=0 . 由此可知: 是特征方程 的根。 |E-A|=0則由定義有第三張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月求矩陣A的特征值與對應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：(2) 將每個特征值= 代入齊次線性方程組,得 ( E-A)X=0，特征向量. 解方程組，求出基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系的線性組合(1)求出A的特征方程|E-A|=0的全部根，即得矩陣A的全部特征值 .求矩陣A的特征值與對應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：（零向量除外）就是A的對應(yīng)于特征值 的全部 第四張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1求矩陣A=解A的特征方程為故得A的特征值為1=-1,2=3=2.的特征值與特征向量.|E-A|=0

3、即第五張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月當1=-1時，解線性方程組(-E-A)X=0,得基礎(chǔ)解系1=(1,0,1)T，于是對應(yīng)于1=-1的全體特征向量為 k11 , k1為任意非零常數(shù). 當2=3=2時，解線性方程組(2E-A)X=0,即得基礎(chǔ)解系2=(1,0,4)T, =(1,4,0)T,于是對應(yīng)于2=3=2的全部特征向量為k22+k33 (k2,k3是不同時為零的任意常數(shù)). 即第六張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2求矩陣A=解A的特征方程為故得A的特征值為1=2,2=3=1.的特征值與特征向量.|E-A|=第七張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月得基礎(chǔ)解系1=(

4、0,0,1)T.于是對應(yīng)于特征值1=2的全部特征向量為k11 (k1為任意非零常數(shù)). 當2=3=1時，解齊次線性方程組(E-A)X=0，即得基礎(chǔ)解系2=(1,2,-1)T.于是對應(yīng)于特征值2=1的全部特征向量為k22 (k2為任意非零常數(shù)). 當1=2時，解齊次線性方程組(2E-A)X=0，即第八張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月注意: 例1中對于二重特征值對角化問題的討論具有重要意義.線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)只有一個,這對后面方陣對應(yīng)于二重特征值 的存在兩個線性無關(guān)的特征向量;而例2中第九張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3設(shè)是方陣A的特征值，證明(1) 2是A2的特征值

5、；(2) 當A可逆時，證明設(shè)0是A的對應(yīng)于的特征向量，則 A =, 于是 (1) (2) 當A可逆時，由A=有=A-1.因0，,即 是A-1 的特征值. 知0，故A =22故 是A 的特征值.-1第十張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月(1 ) (A)= 有特征值.有特征值.(A)= .() = 注進一步容易證明：若A有特征值 ，則()= (2) 當A可逆時, 第十一張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二、特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè)A是n階矩陣，則 A 與有相同的特征值. 性質(zhì)1A證明因為|E- A |=|(E-A ) |=|E-A|,所以A 與A有相同的特征多項式，故它們的特征值相

6、同. TTTT第十二張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)A=(aij)是n階方陣，則n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|A|.|E-A|由n次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系有性質(zhì):第十三張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)2設(shè)n階方陣A=( )的n個特征值為則(1) 由此定理很容易有推論:稱為矩陣A的跡，記作trA.其中A的全體特征值之和 =|A|.(2)第十四張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月推論 n階方陣可逆的充分必要條件是它的全部特征值都不為零.例4設(shè)三階矩陣A的特征值為-1,1,2，求|A*+3A-2E|.解依題設(shè)，A沒有零特征值，所以A可逆，故A*=

7、|A|A-1.又|A|=123=-2,故(A)的特征值為(-1)=-3,(1）=-1,(2)=3,于是|A*+3A-2E|=(-3)(-1)3=9.將上式右端記作(A),有所以A*+3A-2 E=-2A +3A-2E.-1()=- +3-2,第十五張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月16 29. 設(shè)A為三階方陣，A*為A的伴隨矩陣. 已知求的值.回顧 第二章習(xí)題解第十六張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)3設(shè)A為n階方陣， 是A的m個不同的特征值， 分別是A的對應(yīng)于 的特征向量，則 線性無關(guān). 即 屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).性質(zhì)4設(shè)n階方陣A的相異特征值為1,2,m，(

8、i=1,2,m),則向量組11,12,21,22,m1,m2,線性無關(guān).對應(yīng)于 的線性無關(guān)的特征向量為第十七張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例5設(shè) 和 是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為 和 ，證明不是A的特征向量. 依題設(shè)有A = ,A = , A( )= ( ) 證明用反證法. 假設(shè) 是A的對應(yīng)于某特征值 的特征向量，則第十八張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月19第十九張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第二節(jié)相似矩陣與矩陣的對角化設(shè)A,B為n階方陣，若有可逆矩陣P,使定義2則稱B是A的相似矩陣，或稱矩陣 A與B相似，AB. 記作簡單地講，若 ，則稱A

9、與B相似.一、相似矩陣及其性質(zhì)第二十張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例如，給定矩陣A=P= 以及 Q=使得 P-1AP= Q-1AQ=.由此可知，與A相似的矩陣并不唯一存在矩陣也不一定是對角矩陣. 第二十一張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 相似是矩陣間的一種特殊的等價關(guān)系，即兩個相似矩陣是等價矩陣；即若 ，則(1) 反身性AA;(2) 對稱性若AB,則BA;(3) 傳遞性若AB,BC,則AC.相似的兩個矩陣之間，還存在著許多共同的性質(zhì). AB.反之不然，但相似關(guān)系仍具有以下性質(zhì)第二十二張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月. 性質(zhì)1因此，A與B有相同的特征值. 證明只需

10、證明A與B具有相同的特征多項式. 實際上，由AB，必有可逆矩陣P,使 .若AB,則A與B有相同的特征多項式和特征值于是第二十三張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)2若AB，則 ，其中m為正整數(shù) 證明由AB,必有可逆矩陣P,使 .于是所以第二十四張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月(1) 若AB,則|A|=|B|;(2) 若AB,則trA=trB;(3) 若AB，則R(A)=R(B);(5) 若AB,則A與B有相同的可逆性，且當A與B都可逆時， .兩個矩陣的相似關(guān)系還具有下述性質(zhì)(4) 若AB,則 ;第二十五張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣可對角化的條件我們將討

11、論矩陣可對角化的充分必要條件. 如果n階方陣A可以相似于一個n階對角矩陣,則稱A可對角化，稱為A的相似標準形. 由性質(zhì)1可知，若 則的對角線元素就是A的n個特征值.然而，并非所有的n階矩陣可對角化. 下面，第二十六張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月證明必要性 設(shè)A,其中=diag(1,2,n),則存在可逆矩陣P,使P-1AP= 或 AP=P.（*）將矩陣P按列分塊，記P=(1,2,n),.A( )=( )定理1n階方陣A相似于n階對角矩陣的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量. 其中 是矩陣P的第i列(i=1,2,n),則(*)可寫成第二十七張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6

12、月因P可逆，所以 0(i=1,2,n), 充分性 設(shè) 是A的n個線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值依次為 是A的n個線性無關(guān)的特征向量. 是A的對應(yīng)線性無關(guān). 由此可得 A = (i=1,2,n).于特征值 的特征向量，記矩陣P=( )，則P可逆，且且因此且即第二十八張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月AP=A(1,2,n)=(A1, A2, An)=(1,22,nn).注(1) 定理的證明過程實際上已給出了把方陣對角化的方法； =( )=P,于是有 P AP =,即 AP中列向量的次序與矩陣對角線上的特征值的次序相對應(yīng). 推論若A的特征方程的根都是單根，則A與對角矩陣相似. -1第二

13、十九張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 . 注意 當A的特征方程有重根時，就不一定有n個線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化.例如，在上節(jié)例1中A有二重特征值 = =2，但因能找到三個線性無關(guān)的特征向量，故此A可對角化；而在例2中A也有二重特征值 = =1，但卻只能找到兩個線性無關(guān)的特征向量，故此A不能對角化.第三十張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1已知A=與B=(1) 求x和y;(2) 求一個可逆矩陣P,使P-1AP=B.解(1) 方法一由于AB,故|E-A|=|E-B|,即=,從而(-2)(2-x-1)=(-2)(-y)(+1),將=-1代入得 x=0. 于是有 2-

14、1=(-y)(+1). 因此，y=1.相似.第三十一張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月可分別求得A的對應(yīng)于特征值2,1,-1的特征向量 , 2=, 3=.于是，可逆矩陣 P=(1,2,3)=,可使P-1AP=B.方法二由于AB, 故|A|=|B|,trA=trB，即有 -2=-2y, 2+x=1+y,解得 x=0,y=1.=(2) 由于AB,故A與B有相同的特征值2,1,-1.解齊次線性方程組(E-A)X=0,第三十二張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2已知A=解A的特征多項式=(-1)(+1)2,可對角化，求k.|E-A|=第三十三張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月

15、-E-A=故k=0時，A可對角化. A的特征值為 =1, = =-1.由定理1可知，數(shù)矩陣的秩R( E-A)=1,而關(guān)的特征向量，故線性方程組( E-A)X=0的系對應(yīng)二重特征值 = =-1,A應(yīng)有兩個線性無第三十四張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 已知=是A=的逆矩陣A-1的特征向量，求 .解 設(shè) 是 的屬于特征值 的特征向量，則 即 解此方程組得或第三十五張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 設(shè)A是n階方陣，證明：若 ，則A的特征值只能是-1或1.證 設(shè) 是A的特征值 是A的屬于特征值的特征向量，則即 故即或因為第三十六張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.

16、 已知三階矩陣A的特征值為1，2，3，試求A*+3E的特征值.B=解的特征值為.故 第三十七張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月6. 設(shè)A與B都是n階方陣，且|A|0，證證明：AB與BA相似.第三十八張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月8. 設(shè)三階方陣A的特征值為1，0，-1，對應(yīng)的特征向量求依次為解 因為依題設(shè)有第三十九張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月9. 設(shè)矩陣A=特征向量，求x和y應(yīng)滿足的條件.有3個線性無關(guān)的，得（二重）， 可見方程的基礎(chǔ)解系含2個解向量， 又從而解 由第四十張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第三節(jié)實對稱矩陣的特征值和特征向量一、向量的內(nèi)積

17、(數(shù)量積）在空間解析幾何中，兩個向量的內(nèi)積定義為第四十一張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月而向量的長度（模）定義為并且,的夾角滿足 我們可以把三維向量的內(nèi)積推廣到n維向量，定義n維向量的內(nèi)積、長度和夾角.第四十二張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義4 設(shè) 為Rn中的兩個向量，稱 為向量與的內(nèi)積，記作,（或 ），或即注意: 若則第四十三張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月容易證明內(nèi)積滿足下列性質(zhì)：第四十四張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義5向量的長度具有下述性質(zhì)：設(shè) 為向量的長度（也稱范數(shù)），記作,即第四十五張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月這一過程叫

18、做向量的單位化或標準化. (1) 非負性0;(2) 齊次性k=|k|;(3) 三角不等式+.當=1時，稱為單位向量或標準向量. 任一非零向量除以它的長度后就成了單位向量. 第四十六張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè),為Rn中的兩個非零向量,則稱為向量與的夾角.定義6定義7設(shè),為Rn中的向量，若,=0，則稱向與正交（或垂直），記作.顯然，零向量與任何向量都正交. 第四十七張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月若不含零向量的向量組（即該向量組中的向量定義8都不是零向量）中任意兩個向量都正交，則稱此向量組為正交向量組。則稱此向量組為單位正交向量組或標準正交向量組.若一個正交向量組中每一

19、個向量都是單位向量，第四十八張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月因此 是一個線性無關(guān)的向量組. 定理3正交向量組必是線性無關(guān)的向量組. 證明設(shè)n維向量 是正交向量組，則有 =0 (ij).(*)設(shè) =0,以 與上式兩端同時做內(nèi)積運算，并利用(*)式可得 =0.由 0知， 0,于是必有 =0(i=1,2,r),第四十九張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1已知向量1=, 2=解設(shè)3=,則1,3=0求一個非零向量 ,使 為正交向量組. 正交， = 0即由得從而有基礎(chǔ)解系=.第五十張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月取 =,即可使 為正交向量組.注: 1. 我們常常采用正交向量組

20、作為向量空間的基，稱此基為向量空間的正交基.2.基向量都是單位向量的正交基又稱為標準正交基.如 是 的正交基，只是 的基，而不是正交基.如 是 中的標準正交基.3 . 中的標準正交基也不是唯一的.如第五十一張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月取 1=1;2=2-1;r=r-1-2-r-1. 構(gòu)造方法如下： 構(gòu)造出一組與之等價的向量組給定n維向量空間 中的一組線性無關(guān)的向量，(Schmidt)正交化方法. 它是用線性無關(guān)向量組個正交向量組，這個變換的方法稱為施密特我們可以通過適當?shù)淖儞Q方法由它們構(gòu)造出一第五十二張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月如果對彼此正交的向量組 再分別單位化，

21、即1=,2=,r=,顯然 為單位正交向量組.當r=n時， 即為向量標準正交基.可以驗證 兩兩正交，且 與 等價. 空間 的一組第五十三張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2設(shè)1=, 2=, 3=試用施密特正交化方法將這組向量化為R3的一組標準正交基. 解先將 正交化，取1=1=2=2-1=-=,第五十四張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月3=3-1-2-+=2.=再將它們單位化，取 2=, 3=,即為所求. =第五十五張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月對例2給出的標準正交基1,2,3,可以驗證它滿足=以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣QQ Q=E.T第五十六張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2

22、022年6月定義9若n階方陣Q滿足Q Q=E，則稱Q為正交矩陣. (3) 兩個正交矩陣的乘積仍為正交矩陣. (2) |Q|=-1或1;(1) Q =Q ，且Q（或 Q )也是正交矩陣；由正交矩陣的定義，顯然有下面的性質(zhì):T-1T-1T第五十七張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定理4Q為正交矩陣的充分必要條件是Q的列（行）向量組是單位正交向量組. 證明將Q按列分塊成則 定理得證.第五十八張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月由于Q Q=E與QQ =E等價，故上述結(jié)論對Q的行向量組的情形也成立. 注由此可知，只要我們求出了 的一組標準正交基 ,則以這n個向量為列（或行）構(gòu)造出的n階矩陣

23、Q就是一個n階正交矩陣.反之亦然.TT第五十九張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)實對稱矩陣的特征值為實數(shù). 實對稱矩陣的對應(yīng)于不同特征值的特征向量若是實對稱矩陣A的特征方程的r重根，則性質(zhì)1性質(zhì)2相互正交. 性質(zhì)3對應(yīng)于 的特征方程也有 個線性無關(guān)的特征向量。 r 由此可見，實對稱矩陣一定能夠?qū)腔?。第六十張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定理5其中是以A 的n個特征值為對角元素的對角矩陣. 證明設(shè)A的互不相同的特征值為 ,按列排列構(gòu)成正交矩陣Q，有正交化并單位化，即得 個兩兩正交的單位特征向量，從而A有n個兩兩正交的單位特征向量. 把它們依次恰有 個線性無關(guān)的特征向量，把它們進行施密特根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)3知，對應(yīng)特征值 (i=1,2,s)它們的重數(shù)分別為 設(shè)A為n階實對稱矩陣，則必有正交矩陣Q,使三、實對稱矩陣的對角化第六十一張，PPT共七十一頁，創(chuàng)作于2022年6月,恰是A的n個特征值 其中對角矩陣的對角元素含=diag( )=,第六十二張，PPT共七