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文檔簡介
1、7.4.2超幾何分布教學(xué)設(shè)計課題 超幾何分布單元第七單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二教材分析本節(jié)內(nèi)容主要是超幾何,由生活中的實際情景導(dǎo)入,學(xué)習(xí)判斷超幾何分布及求超幾何分布的分布列,并使用其解決一些實際問題.教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象:利用生活中的實際問題,為了求解產(chǎn)品的次品率,引入超幾何分布;邏輯推理:通過導(dǎo)入及課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力;數(shù)學(xué)建模:掌握超幾何分布的判斷及分布列的一般求解過程,利用其解決實際問題;數(shù)學(xué)運算:能夠正確列出超幾何分布的分布列,并計算期望;5、數(shù)學(xué)分析:通過經(jīng)歷提出問題推導(dǎo)過程得出結(jié)論例題講解練習(xí)鞏固的過程,讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的邏輯性和嚴(yán)密性。重點掌握超幾何的判斷及求分
2、布列與期望.難點利用超幾何分布,解決一些實際問題.教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課新知導(dǎo)入:情景一:在10件產(chǎn)品中有4件次品,現(xiàn)從這10件產(chǎn)品中任取3件,求取到的次品數(shù)X的分布列.分析:從10件產(chǎn)品中任取3件結(jié)果數(shù)為C103那么從10件產(chǎn)品中任取3件,其中恰好有k件次品的概率為P(X=k)=C4kC63kC103 k=0,1,2,3則次品數(shù)X的分布列為X0123PC40C63C103C41C62C103C42C61C103C43C103情景二:盒子中裝有8個紅球和4個白球,這些球除顏色外完全相同, 現(xiàn)從袋中任意摸出5個球,用X表示摸出白球的個數(shù).(1)求P(X=3);(2)試寫
3、出X的分布列.分析 :袋中共有12個球,從12個球中任取5個球的結(jié)果數(shù)為 C125 ,其中恰好有k個白球的結(jié)果數(shù)為C4kC85k,因此從12個球中任取5個球, 其中恰好有k個白球的概率為P(X=k)=C4kC85kC125 k=0,1,2,3,4則 (1)P(X=3)=C43C82C125X的分布列為X01234PC40C85C125C41C84C125C42C83C125C43C82C125C44C81C125學(xué)生思考問題,引出本節(jié)新課內(nèi)容。 設(shè)置問題情境,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,并引出本節(jié)新課。講授新課新知講解:問題:已知100件產(chǎn)品中有8件次品,現(xiàn)從中采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件設(shè)抽取
4、的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.采用有放回抽樣,則每次抽到次品的概率為0.08,且各次抽樣的結(jié)果相互獨立,此時X服從二項分布,即XB(4,0.08).如果采用不放回抽樣,抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項分布嗎?若不服從,那么X的分布列是什么?采用不放回抽樣,每次抽取不是同一個試驗,且各次抽取的結(jié)果不獨立,不符合n重伯努利試驗的特征,因此X不服從二項分布.由題意可知,X可能的取值為0,1,2,3,4.從100件產(chǎn)品中任取4件,有 C1004種不同的取法,且每種取法發(fā)生的可能性都是相等的,其中4件產(chǎn)品中恰有k件次品的結(jié)果為C8kC924k由古典概型的知識,得X的分布列為 計算結(jié)果如下
5、表.XP00.7125710.2562120.0298930.0013140.00002超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中M件次品。從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=CmkCNMnkCNn k=m,m+1,.,r其中n,N,MN*,MN,nM,m=max0,n-N+M,r=n,M。如果隨機變量X的分布列具有上式形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布例題講解:例1:從50名學(xué)生中隨機選出5名學(xué)生代表,求甲被選中的概率。解:設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)(只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50,M=1,n=5。因此甲
6、被選中的概率為P(X=1)=C11C494C505=110例2: 一批零件共有30個,其中有3個不合格。隨機抽取10個零件進(jìn)行檢測,求至少有1件不合格的概率。解:設(shè)抽取的10個零件中不合格品數(shù)位X,則X服從超幾何分布,且N=30,M=3,n=10,X的分布列為P(X=k)= C3kC2710kC3010 ,k=0,1,2,3則至少有1件不合格的概率為&P(X1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=c31c279c3010+c32c278c3010+c33c277c3010=0.7192& 或者 P(X1)=1P(X=0)=1C30c2710c3010=0.7192思考:服從超幾何分布的
7、隨機變量的均值是什么?分析:設(shè)隨機變量X服從超幾何分布,則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中,不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)。令p=M/N,則p是N件產(chǎn)品的次品率,而X/n是抽取的n件產(chǎn)品的次品率,猜想E(X/n)=p,即E(X)=np實際上,由隨機變量的均值的定義,令m=max(0,n-N+M),r=min(n,M),有E(X)=k=mrkckCNMnkCNn=Mk=mrCM1k1CNMnkCNn因為k=mrcM1k1CNMnk=CN1n1所以 E(X)=McNnk=mrcM1k1CNMnk=NN1n1cNn=nMN=np總結(jié)歸納1.超幾何分布模型是一種不放回抽樣;2.超幾何分布在實
8、際生產(chǎn)中常用來檢驗產(chǎn)品的次品數(shù),只要知道N,M和n就可以根據(jù)公式:,求出X取不同k值時的概率例3 一個袋子中有100個大小相同的球,其中有40個黃球、60個白球,從中隨機地摸出20個球作為樣本。用X表示樣本中黃球的個數(shù)。(1)分別就有放回摸球和不放回摸球,求X的分布列(2)分別就有放回摸球和不放回摸球,用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例,求誤差不超過0.1的概率。解:(1)對于有放回的摸球,每次摸到黃球的概率為0.4,且各次試驗之間的結(jié)果相互獨立,因此XB(20,0.4),X的分布列為p1k=P(X=k)=C20k0.4k0.620k , k=0,1,2,3,.,20對于不放回的摸球,各次
9、試驗之間的結(jié)果不獨立,X服從超幾何分布,X的分布列為p2k=P(X=k)=C40kC6020kC10020 , k=0,1,2,3,.,20(2)利用統(tǒng)計軟件計算出兩個分布列的具體概率值,如下表所示樣本中黃球的比例f20=X/20是一個隨機變量,根據(jù)上表計算得有放回摸球:P(|f20-0.4|0.1)=P(6X10)0.7469不放回摸球:P(|f20-0.4|0.1)=P(6X10)0.7988因此,在相同的誤差限制下,采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些小結(jié): 二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律,并且二者的均值相同。對于不放回抽樣,當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時,每抽取一次后
10、,對N的影響很小,此時,超幾何分布可以用二項分布近似課堂練習(xí):1一批產(chǎn)品共50件,次品率為4%,從中任取2件,則含有1件次品的概率為(A)A0.078 B0.78C0.007 8 D0.0222某地7個貧困村中有3個村是深度貧困,現(xiàn)從中任意選3個村,下列事件中概率等于6/7的是( B )A至少有1個深度貧困村 B有1個或2個深度貧困村C有2個或3個深度貧困村 D恰有2個深度貧困村3某貧困縣下有15個小鎮(zhèn)中有9個小鎮(zhèn)交通比較方便,有6個不太方便現(xiàn)從中任意選取10個小鎮(zhèn),其中有X個小鎮(zhèn)交通不太方便,下列概率中等于C64C96C1510的是( A )AP(X=4) BP(X4)CP(X=6) DP(
11、X6)4有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取兩件,若X表示取得次品的個數(shù),則P(X2)等于( C )A7/15 B8/15C14/15 D15. 從6名男生和4名女生中,隨機選出3名學(xué)生參加一項競技測試,試求選出的3名學(xué)生中女生人數(shù)X的分布列.解:由題意得X0,1,2,3。X服從參數(shù)為N10,M4,n3的超幾何分布。則&P(X=0)=C63C103=16P(X=1)=C41C62C103=12&P(X=2)=C42C61C103=310P(X=3)=C43C103=1306. 一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球,其中紅球有3個,編號為1,2,3;黑球有2個,編號為1,2;白球有1個,編
12、號為1.現(xiàn)從袋中一次隨機抽取3個球.(1)求取出的3個球的顏色都不相同的概率;(2)記取得1號球的個數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X的分布列.解:(1)從袋中一次隨機抽取3個球,所有取法的總數(shù)n=C63=20,取出的3個球的顏色都不相同包含的樣本點的個數(shù)為C31C21C11=6,所以取出的3個球的顏色都不相同的概率為P=6/20=3/10(2)由題意知X=0,1,2,3&P(X=0)=C30C63=120P(X=1)=C31C32C63=920&P(X=2)=C32C31C63=920P(X=3)=C33C63=120拓展提高:7為發(fā)展業(yè)務(wù),某調(diào)研組對A,B兩個公司的產(chǎn)品需求量進(jìn)行調(diào)研,準(zhǔn)備從國內(nèi)
13、7個人口超過1500萬的超大城市和n(nN+)個人口低于200萬的小城市中隨機抽取若干個進(jìn)行統(tǒng)計,若一次抽取2個城市,則全是小城市的概率為4/15.(1)求n的值;(2)若一次抽取4個城市,則假設(shè)取出小城市的個數(shù)為X,求X的分布列;若取出的4個城市是同一類城市,求全為超大城市的概率.解:(1)由題意知,共(n+7)個城市,取出2個的方法總數(shù)是Cn+72,其中全是小城市的情況有Cn2種,故全是小城市的概率是Cn2Cn+72=4/15,解得n=8(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3,4.&P(X=0)=C74C154=139 P(X=1)=C81C73C154=839&P(X=2)=C
14、82C72C154=2865 P(X=3)=C83C71C154=56195P(X=4)=C84C154=239若4個城市全是超大城市,共有C74=35種情況;若4個城市全是小城市,共有C84=70種情況,故全為超大城市的概率為35/(35+70)=1/38. 根據(jù)歷史資料顯示,某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗種新藥,在有關(guān)部門批準(zhǔn)后,醫(yī)院將此藥給10位病人服用,試驗方案為:若這10人中至少有2人痊愈,則認(rèn)為該藥有效,提高了治愈率;否則,則認(rèn)為該藥無效.(1)如果在該次試驗中有5人痊愈,院方欲從參加該次試驗的10人中隨機選2人了解服藥期間的感受,記抽到痊愈的人的個數(shù)為X,求X的概率分
15、布及數(shù)學(xué)期望;(2)如果新藥有效,將治愈率提高到了50%,求通過試驗卻認(rèn)定新藥無效的概率p,并根據(jù)p的值解釋該試驗方案的合理性.(參考結(jié)論:通常認(rèn)為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件)解:(1)X的所有可能取值為0,1,2,則PX=0=C52C102=29 PX=1=C51C51C102=59P(X=2)=C52C102=29E(X)=0 x 2/9 + 1 x 5/9 + 2 x 2/9 = 1(2)新藥無效的情況有:10人中1人痊愈、10人中0人痊愈,所以P=C1001201210+C101121129=1110240.015%所以可認(rèn)為新藥無效是小概率事件,從而認(rèn)為新藥有效,故該試驗
16、方案合理鏈接高考:9(2008 浙江高考真題(理)一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是2/5;從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是7/9(1)若袋中共有10個球,(i)求白球的個數(shù);(ii)從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為X,求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX(2)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于7/10并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少解:(1)(i)記“從袋中任意摸出兩個球,至少得到一個白球”為事件A,設(shè)袋中白球的個數(shù)為x,則P(A)=1C10 x2C102=79,得到x=5故白球有5個(ii)隨機變量的取值為0
17、,1,2,3,分布列為X0123P112512512112X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1/12 x 0 + 5/12 x 1 + 5/12 x 2 + 1/12 x 3 = 3/2(2)證明:設(shè)袋中有n個球,其中y個黑球,由題意得,y=2/5n所以2yn,2yn-1,故y/n11/2記”從袋中任意摸出2個球,至少有1個黑球“為事件B ,則P(B)=2/5+3/5y/n12/5+3/51/2=7/10所以白球的個數(shù)比黑球多,白球個數(shù)多于2/5n,紅球的個數(shù)少于n/5,所以袋中紅球最少10(2017 山東高考真題(理)在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加
18、試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的頻率(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.解:(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M )=C84C105=518(2)由題意知X可取的值為:0,1,2,3,4.則&P(X=0)=C65C105=142P(X=1)=C64C41C105=521P(X=2)=C52C102=29&P(X=3)=C62C43C105=521P(X=4)=C61C44C105=142X的數(shù)學(xué)期望是E(X)=0 x 1/42 + 1 x 5/21 + 2 x 10/21 + 3 x 5/21 + 4 x 1/42 = 2學(xué)生根據(jù)情境問題,探究超幾何分
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