客源有限的排隊系統(tǒng)

1、 6.4 客源有限的排隊系統(tǒng) （以等待制系統(tǒng)為例進行討論 ） 客源有限的排隊系統(tǒng)指的是顧客總數(shù)有限，且每個顧客對系統(tǒng)的服務需求是獨立的、同分布的 。 該系統(tǒng)與M/M/1/m排隊系統(tǒng)等同. 為什么 ？ 一、M/M/1/m/m排隊系統(tǒng)11、系統(tǒng)意義：顧客到達為Poisson流，服務時間服從負指數(shù)分布，1個服務臺，顧客總數(shù)為m的等待制排隊系統(tǒng)，服務規(guī)則是先到先服務。 2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖和狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣：顧客源總數(shù)有限為m ，所以該系統(tǒng)的特點是顧客來到系統(tǒng)的概率是變化的 。問：若所有的顧客全部到達系統(tǒng)，則下一個顧客到達的概率？ 2關于顧客的到達率（如機器維修問題）(1)在無限源的情形中,顧客到達率是

2、按全體顧客來考慮的,平均到達率為 （其含義是平均到達率）。(2)在有限源的情形下，必須按每一顧客來考慮： 設每個顧客的到達率為 （其含義是單位時間內(nèi)該顧客來到系統(tǒng)請求服務的次數(shù)）。 設排隊系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)為n，系統(tǒng)外的顧客數(shù)為m-n, 則進入排隊系統(tǒng)的速率為：3系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖： m(m-1)2(m-2) 2 1 0m-1m-2m相應的狀態(tài)概率速度矩陣： 43、狀態(tài)概率方程4、系統(tǒng)的基本數(shù)量指標（1）基本概率指標：由狀態(tài)概率方程得 5利用數(shù)學歸納法證得： 注意到 ：6（2）隊長與隊列長： 證明正在接受服務的顧客的平均數(shù)為 證明1：由數(shù)學期望的定義 證明2：根據(jù)平均隊長、平均隊列長的定義及其之

3、間的關系7所以正在接受服務的顧客的平均數(shù)為 或8所以正在接受服務的顧客的平均數(shù)也等于 由Littel公式證明正在接受服務的顧客的平均數(shù)等于 9于是 從客源有限系統(tǒng)的角度再定義有效到達率, 推出LS的計算公式 由于Ls是系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)，系統(tǒng)外的平均顧客數(shù)為m-Ls，于是有效到達率為 ：10 由的推導過程得到Lq的計算公式 11(3)平均逗留時間和平均等待時間：代入前LS的表達式12（4）其他 數(shù)量指標： 機器故障問題中，正常運轉(zhuǎn)的機器數(shù) K：設備利用率 ：13 二、M/M/C/m排隊系統(tǒng) （即M/M/c/m/m排隊系統(tǒng)） 1.系統(tǒng)意義：顧客到達為Poisson流，服務時間服從負指數(shù)分布，c個

4、服務臺，顧客總數(shù)為m的等待制排隊系統(tǒng)，服務規(guī)則是先到先服務，其中cm。2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖和狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣： 142(m-2)(m-1)m 2 1m-1m 0c+1c(m-c)c2cc3c狀態(tài)概率速度矩陣 狀態(tài)概率速度圖 153、狀態(tài)概率方程4、系統(tǒng)的基本數(shù)量指標（1）基本概率指標：打開狀態(tài)概率方程 16利用數(shù)學歸納法，可證明：當 時， 當ckm時， 當k=m時， 可合并17（2）隊長與隊列長： （3）平均逗留時間和平均等待時間：18（4）其他數(shù)量指標： 處于正常運轉(zhuǎn) 的機器數(shù) 設備利用率 有效到達率 19 不同形式的其他計算公式 的推導示例20例6-6 有一個修理小組負責修理 3 臺同類設備

5、,每臺設備故障發(fā)生的間隔時間服從負指數(shù)分布, 故障率為每周1次, 修理所需時間服從負指數(shù)分布, 修復率為每周4臺次 , 試計算該修理組的有關運行指標。 若再組建一個修理組共同負責修理任務, 有關運行指標會發(fā)生什么變化？21 依題意，該修理組是一個M/M/1/3/3排隊系統(tǒng)（或M/M/1/3排隊系統(tǒng)）。其中m=3,=1臺次/周，=4臺次/周的單隊單服務臺排隊系統(tǒng)，排隊規(guī)則為先到先服務。相應數(shù)量指標的計算：基本概率指標：22有效到達率 23平均隊長和平均隊列長 24平均逗留時間和平均等待時間： 25正常運轉(zhuǎn)的機器數(shù) 設備利用率 26 若再組建一個修理組共同負責修理任務，則系統(tǒng)就變成M/M/2/m/m（或 M/M/2/3）系統(tǒng)，其中m=3,=1臺次/周，=4臺次/周的單隊2個服務臺的排隊系統(tǒng)，排隊規(guī)則為先到先服務。相應