《周期現(xiàn)象與周期性》教案

1、周期現(xiàn)象與周期性課時安排一課時 .材料來源北師大版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修4中的 “周期現(xiàn)象與周期性” .本節(jié)最為重要的是讓學生了解周期現(xiàn)象， 觀察周期現(xiàn)象， 感知周期現(xiàn)象的存在，學會用周期現(xiàn)象， 解決一些實際生活和數(shù)學中的一些具體問題 . 從生活現(xiàn)象教材內(nèi)容 學習活動 學習過程 解決問題 目標達成學習的延伸 ( 課外自主學習).立意與設想創(chuàng)設網(wǎng)絡式學習與課堂學習相結(jié)合的模式， 能從網(wǎng)絡上獲取生活與自然界的周期現(xiàn)象，并根據(jù)自然界、生活中的周期現(xiàn)象，理解周期性的意義，一個周期變化、一個最小正周期、周期的整數(shù)倍的意義. 能從各種事實、數(shù)據(jù)、圖形中，判斷其是否具有周期性. 建立數(shù)學模型，將

2、自然生活現(xiàn)象中的周期問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學中的周期函數(shù)；掌握正弦、余弦函數(shù)的周期特征，正確理解 f( x+T)= f( x) 的意義， 理解周期與最小正周期的概念.設計理念借助網(wǎng)絡了解自然現(xiàn)象中的周期現(xiàn)象， 由學生上網(wǎng)查閱資料， 完成生活與自然界的周期現(xiàn)象的收集，并能將這些現(xiàn)象用多媒體的方式展示出來. 把周期現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題(數(shù)學模型) ，建立數(shù)學模型，用數(shù)學模型“ f( x+T)= f( x) ”來研究周期 問題 .整個學習過程， 體現(xiàn)了學生的主動學習， 學會利用網(wǎng)絡進行再創(chuàng)作， 提取學習信息，了解周期現(xiàn)象，特別從數(shù)學角度來研究它，使之更好地為生活生產(chǎn)服務. 學會學習，自主探究，提高獨立探究能力

3、、自我創(chuàng)新能力 .根據(jù)本節(jié)課的具體教學內(nèi)容和學生實際情況，可借助網(wǎng)絡和多媒體輔助教學 .教材分析一、地位與作用周期性是函數(shù)的五大性質(zhì)之一， 突出地表現(xiàn)了函數(shù)的一大特征， 即某一現(xiàn)象的重復出現(xiàn) . 這種現(xiàn)象在三角函數(shù)中體現(xiàn)得最為充分，函數(shù)值的變化會隨著自變量的變化而重復出現(xiàn). 因此，在研究周期函數(shù)時，我們只需要對其一個周期進行研究，便可知道它在整個定義域中的性質(zhì). 特別還為我們學習周期數(shù)列、物理學中的周期運動、周期現(xiàn)象奠定了基礎. 最重要的是周期現(xiàn)象就存在于自然界與生活中，許多周期現(xiàn)象， 常常直接影響著人類的生活與生存， 使我們認識自然、 發(fā)現(xiàn)自然奧秘并尊重自然規(guī)律. 因此，學好這部分知識可以幫

4、助學生關注自然，了解自然，體會數(shù)學與自然界有著千絲萬縷的聯(lián)系， 并從中體會學習數(shù)學的快樂， 數(shù)學并不總是枯燥的，數(shù)學并不是無用的，它的價值是無限的 .二、教學重點與難點本節(jié)課的重點內(nèi)容是通過對生活、 自然界的周期現(xiàn)象的認識， 了解周期現(xiàn)象的意義，并學會建立數(shù)學模型， 用數(shù)學方法研究周期現(xiàn)象，掌握正弦、 余弦函數(shù)的周期性變化，學會用周期性研究函數(shù)的性質(zhì) .本節(jié)課的難點是建立數(shù)學模型，將周期現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學中的周期函數(shù)，準確理解符號 f( x+T)= f( x) 的意義，能判定函數(shù)是否具有周期性，會求出函數(shù)的周期及最小正周期 .三、方式方法合理創(chuàng)設情境， 從學生最為熟知的自然規(guī)律、 生活現(xiàn)象出發(fā)，

5、通過觀察、 歸納、轉(zhuǎn)化， 體會從具體事件到抽象的數(shù)學模型的學習過程， 提升每個學生的學習能力與數(shù)學品質(zhì) .四、難點突破給出預習提綱，利用現(xiàn)代教育技術(shù)，通過網(wǎng)絡了解自然與生活中的周期現(xiàn)象，并借助多媒體展示主要的周期現(xiàn)象. 借助實例、反例、數(shù)組、圖象等直觀素材，搭建好自然與生活中的周期現(xiàn)象與數(shù)學中的周期函數(shù)的關系，引導學生用數(shù)學語言、數(shù)學符號表示周期現(xiàn)象， 學會用數(shù)學知識、 數(shù)學方法、數(shù)學觀點研究周期現(xiàn)象， 完成周期函數(shù)的學習 .學情分析在學生具有一定函數(shù)知識、圖象知識、邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化能力的基礎上，學生對自然與生活現(xiàn)象中的周期(性)變化，早有體會，并不陌生，但我們在整個數(shù)學學習過程中，并沒有作

6、為周期性來認識、來研究. 學生困難的是周期性賦予的數(shù)學意義， 或者說怎樣從周期函數(shù)的角度， 研究周期現(xiàn)象， 特別是對周期函數(shù)的定義，對數(shù)學符號f(x+T)=f( x) 的理解，不是一件容易的事，教學過程中，教師仍然應從多角度， 讓學生感知周期現(xiàn)象與周期函數(shù)的關系， 理解自變量與函數(shù)值所表示的周期現(xiàn)象的意義， 培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型， 并會用數(shù)學模型解決實際問題的能力， 為數(shù)學建模不斷地奠定基礎.學習目標一、知識與技能了解自然界的周期現(xiàn)象，能從一組數(shù)據(jù)的變化讀出周期現(xiàn)象. 觀察函數(shù)的圖象變化、觀察正弦、余弦函數(shù)值的變化，找出正弦、余弦函數(shù)的周期和最小正周期 .二、過程與方法培養(yǎng)學生觀察生活、 觀察

7、自然現(xiàn)象的好習慣， 能將周期現(xiàn)象應用到數(shù)學學習中，并能用幾何方法研究代數(shù)問題，亦能將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題不研究. 掌握實驗確認、自主探究、合情推理等方法三、情感、態(tài)度、價值觀在探究學習過程中，體驗學習的樂趣、感受大自然的奇趣，深刻體會自然界中的數(shù)學， 與數(shù)學中蘊涵的自然規(guī)律. 增強學習的信心， 培養(yǎng)探索世界、 了解自然、 TOC o 1-5 h z 學好數(shù)學的興趣.教學重點與難點教學重點 ：任意角的正、余弦函數(shù)的定義.教學難點： 用單位來研究問題 .教學過程一、課前閱讀與預習閱讀課本 P.3-P.5 頁， 理解周期現(xiàn)象.通過網(wǎng)絡查閱自然界與生活中的周期現(xiàn)象， 分析這些周期現(xiàn)象， 這些周期現(xiàn)象

8、說明了什么， 并說明周期現(xiàn)象的應用 (服務于生產(chǎn)與生活) ， 分類總結(jié)形成文字，并在課堂上交流.二、新課引入1. 自然與生活中的周期現(xiàn)象你能列舉哪些自然與生活中的周期現(xiàn)象. 并指出它們經(jīng)過幾次變化，同一種現(xiàn)象會重復出現(xiàn).學生預習成果展示：1）海水的潮汐現(xiàn)象（海水每經(jīng)過一晝夜會漲落兩次）2）地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn).3） 一天二十四個小時、一周七天、一年十二個月的周而復始；一年四季 （春夏秋冬）的交替，一年二十四節(jié)氣的輪回.4）時鐘的時針、分針、秒針的重復旋轉(zhuǎn).5）中國每年的傳統(tǒng)節(jié)日.6）中國年歷中的十二生肖.7）擺鐘的擺錘運動、水車的水輪轉(zhuǎn)動、摩天輪的轉(zhuǎn)動 .2.討論周期現(xiàn)象的特征同一現(xiàn)象或同一事件，

9、會在相同的時間或經(jīng)過相同的變化次數(shù)后重復出現(xiàn) .三、周期意義的理解學習材料一：生活中的周期現(xiàn)象.今天是星期三，經(jīng)過7天、14天、280天變化后，分別是星期幾？若向前推7天、21天、70天分別是星期幾？最少要經(jīng)過多少大的變化可以得到星期三？ 幫助學生從生活現(xiàn)象理解：周期（正周期、負周期）與最小正周期的概念.中國年歷中的12生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬.每經(jīng)過 年重復同一生肖.若今年是兔年，經(jīng)過12年是 年，經(jīng)過24年是 年.經(jīng)過15年是 年，給出某一年的生肖，如何計算不同年份的生肖？生活現(xiàn)象數(shù)量化：提取信息，用表格表示周期現(xiàn)象，如下表:經(jīng)過的天數(shù)刖二天刖一天前一天今天12

10、3456714- 280星期幾67123456712333構(gòu)造函數(shù)模型設x為經(jīng)過的天數(shù)，星期幾為對應的函數(shù)值 f（x）,將中的表改造如下:經(jīng)過的天數(shù)x刖二天刖一天前一天今天123456714- 280星期幾f(x)67123456712333賦予數(shù)字意義(利用映射關系)令今天用0表示，前一天用-1表示，前二天用-2表示，前三天用-3表示,則以上表格改造為經(jīng)過的天數(shù)x-5-4-3-2-10123456714280星期幾f(x)567123456712333建立周期模型的雛形利用中的第二個表格，引導的學生：i)列出f(x)與x的等量關系.當 f(0)=3, f(1)=4, f=5, f (3) =

11、6, f(4)=7, f(5)=1, f(6)=2, f=3,， f(-1)=2, f(-2)=1, f(-3)=7, f(-4)=6, f(-5)=5，.ii)找出f(x)=1的所有的f(x).，f(-9)= f(-2)= f(5)=f(12)=，找出 f(x)=2 的所有的 f(x).f(-15)= f(-8)= f(-1)= f(6)= f(13)= f(20)= f(27)=.iii)找出以上數(shù)量關系的一般規(guī)律：f( x+7)= f( x).學習材料二：數(shù)字中的周期現(xiàn)象.例舉一些數(shù)字，使其具有周期性，并求出它們的周期、最小正周期 .例如： 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,23；

12、0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1, 0,-1,； 0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,周期模型的認識：.設a, b, c, d分別代表春、夏、秋、冬，若令 a=春，b = M, c=秋，d/, 若第一季為春季用f(1)表示，且有f(1)=a；經(jīng)過一個季節(jié)變化后為夏季，用 f(2) 表示且有f(2)=b;經(jīng)過二個季節(jié)的變化后為秋季，用f(3)表示且有f(3) =c；經(jīng)過 三個季節(jié)變化后為冬季用f 表示，且有f(4)=d,若經(jīng)過10個季節(jié)的變化 后是一季(填 a、b、c、d),求 f(5)= f(4+1)= 一 f(6)= f(4+2)= - f(7)= f(4+

13、3)= _, f(8) =f(4+4)=, ，若x為經(jīng)過的季數(shù)，由以上結(jié)果，是否可以得到f(x+4)=f(x) (x Z)的結(jié)論.引導學生：用列表法表示自變量 x (經(jīng)過的季數(shù))與季節(jié)f(x)的函數(shù).經(jīng)過的x季節(jié)數(shù)-4-3-2-10123456789101112季節(jié)f(x)cabcdabcdabcdabcd學習材料三：周期現(xiàn)象的直觀表示y.如圖，為y=f(x)的圖象，研究函數(shù)圖象 的特征，指出函數(shù)圖象的變化是否具有周期性， 若有，求出它的最小正周期和周期.將函數(shù)f(x)=x2 (x -1,1)的圖象，分別向左、向右平移2, 4, 6,個單位.作出這個圖象，觀察你作的圖象，這個圖象的變化是否具有

14、周期性， 最小正周期是？周期是?分別觀察 i)f(-6)、f(-4)、f(-2)、f(0)、f、f(4)、f(6)的值是否相等?ii)f(-7)、f(-5)、f(-3)、f(-1)、f、f(3)、f(5)、f的值是否相等？iii) f(-7+ 1)、f(-5+ 1)、f(-3+ -) f(-1+ 1)、f(1+-) f(3+1)、f(5+)的值是 TOC o 1-5 h z 2222222否相等？從以上結(jié)論：是否可得出f(x+2)=f(x)的結(jié)論？利用 f(x+2)=f(x)和 f(x)=x2(x -1,1)，求 f(3), f(-4), f(11), f( 5), f(-)234的值.四、正

15、弦、余弦函數(shù)的周期性.為任意角，若 角的終邊與單位圓的交點坐標為P(u,v),則sin =, cos =. 在 角的終邊上任取一點 Q (x, y)，貝U sin =, cos =.由三角函數(shù)的定義，說明終邊相同的三角函數(shù)值的關系，即 sin(2k九) 與sin (k Z)的關系；cos(2k tt)與8$ (k Z)的關系.若 f(x)=sinx,則 f(2k 冗+x)=( k Z)；若 f(x)= cosx,貝U f(2 k 冗 +x)=( k Z).由正弦、余弦函數(shù)的定義，標出 sin 、cos在四個象限中的取值符號.當 自變量x經(jīng)過了多長的變化，y=sinx與y=cosx的正負符號，會

16、重復變化？y=sinx 與y=cosx的函數(shù)值會重復變化？至少要經(jīng)過多少(圈)弧度的變化？它們的周期 是多少？最小正周期是多少？用多媒體演示：當角的終邊按順時針或逆時針變化一圈、二圈、三圈，觀察正弦、余弦函數(shù)值和函數(shù)值的符號變化.五、周期函數(shù)的概念學生閱讀：周期函數(shù)的定義(課本 P.16).學生討論：對定義涵意的理解.對函數(shù)符號f(x+T尸f(x)意義的理解.使用的條件.六、反饋練習：.課本P.16練習1.設 f(1)=0, f(2)=1, f(3)= -1 ,若 f(x+3)=f(x)( x Z),求 f(9) , f(25) , f(-50) 的值.已知函數(shù)f(x)是R上的周期為5的周期函

17、數(shù)，且f(1) =2005，求f(11).七、小結(jié)與作業(yè)：.你能從哪些角度對周期函數(shù)進行理解？日常生活現(xiàn)象；函數(shù)圖象；數(shù)組；周期函數(shù)的定 義：對 于任意 的都有 f(x+T尸f(x), T為常數(shù).函數(shù)模型的建立確定的兩個量，自變量與函數(shù)值 .如何將不是數(shù)字的問題賦 予數(shù)字意義后，用函數(shù)來研究(用映射的關系進行轉(zhuǎn)化)如何將自然與生活生產(chǎn)的 實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)來研究？(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)作業(yè):層次一. f(x)是以1為一個周期的函數(shù)，且當x (-1,0)時，f(x)=2x+1，求f(Z)的值.2 TOC o 1-5 h z .已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=

18、 - f(x),則f(6)的值為().A.-1B.0C.1D.2.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)以2為周期，則f(1)+ f(2)+ f(3)的值是()A.0B.1C.2D.3層次二(2006山東)已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2) = f(x),求f(4+x)與f(x)的關系式；f(x)的最小正周期；求f(6)的值為().A. -1B.0C.1D.2.設函數(shù)f(x) (了七系)是以3為周期的奇函數(shù)，且f(1)1, f(2)= a,則().A.a2B.a1D. a-1.若 f(n)=sin(n Z),貝U f(1)+f (2) +f(102)= 6. (2005天津文)設f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，且y=f(x)的圖象關于直線工=3對稱，則下面正確的結(jié)論是 ().(A)可力(工5)汽6 5)*3.5) (1.5) 569(C)/(6.5)53加,5)八3.5) /(1.5)層次三建立循環(huán)數(shù)字的周期關系.一組循環(huán)數(shù)字,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1, 0,-1,，若令f(-1)=0 ,f(0)=-1, f(1)=0 , f(2)=1 , f(3)=0 , f(4)=-1 , f(5)=0 , f(6)=1 , f=0 , f(8)= -1, 則