空間向量在立體幾何中的應(yīng)用和習(xí)題(含答案)

1、Word資料空間向量在立體幾何中的應(yīng)用:直線的方向向量與平面的法向量：如圖，l為經(jīng)過已知點(diǎn) A且平行于已知非零向量 a的直線，對(duì)空間任意一點(diǎn) O,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使得OP由此可知，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量惟一確定.如果直線 吐平面 ，取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面的法向量.由此可知，給定一點(diǎn) A及一個(gè)向量a,那么經(jīng)過點(diǎn) A以向量a為法向量的平面惟一確定.(2)用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關(guān)系:設(shè)直線l, m的方向向量分別是 a, b,平面 ，的法向量分別是u, v,則l/ma/ ba= kb ,keR；l,ma ba b= 0;l /a ua

2、 u = 0；Ua/ ua = ku,kCR；II u II v u=kv, k R；X u X v uv=0.(3)用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問題：異面直線所成的角：設(shè)a, b是兩條異面直線，過空間任意一點(diǎn) O作直線a /a, b b,則a勾 所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角. . ._ 冗 .設(shè)異面直線a與b的方向向量分別是vi, V2, a與b的夾角為，顯然 (0, 一,則2| cosvi,v2 |vi v2 |vi |v2|直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平面的射影所成的角.設(shè)直線 a的方向向量是 u ,平面 的法向量 是v,直線 a與平面的

3、夾角為，顯然冗，I u v I0,1,則 |cos u,v | JL2|u|v|二面角及其度量：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.記作-l- 在二面角的棱上任取一點(diǎn) O,在兩個(gè)半平面分別作射線 OAl, OB，l,則/AOB叫做二面角 l 的平 面角.利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB, CD分別是二面角一l 的兩個(gè)面與棱l垂直的異面直線，則二面角 一l一 的大小就是向量AB與CD的夾角的大小.方法二：如圖，m1, m2分別是二面角的兩個(gè)半平面， 的法向量，則m1, m2與該二面角的大小相等或互補(bǔ).(4)根據(jù)題目特點(diǎn)，同學(xué)們可以靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方

4、法，從不同角度解決立體幾何問題.【例題分析】例1 如圖，在長(zhǎng)方體 OAEB- OAEB中，OA=3, OB= 4, 00=2,點(diǎn)P在AAi上，且 AP= 2PA,點(diǎn)S在棱BB上，且B6= 2SB,點(diǎn)Q, R分別是 OB, AE的中點(diǎn)，求證： PQ/ RS【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)法證明存在實(shí)數(shù)k,使得PQ kRS解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則0(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), Oi(0, 0, 2), Ai(3, 0,2), Bi(0, 4, 2),日3, 4, 0).2 24、.AP=2PA,AP- AAi-(0,0,2) (0,0,-),3334 P

5、(3,0)32同理可得：Q(0, 2, 2), R(3, 2, 0), S(0,4,-)3一 2 一PQ ( 3,2,-) RS,3PQ/RS,又 R PQ,PQ / RS.【評(píng)述】1、證明線線平行的步驟:(1)證明兩向量共線；(2)證明其中一個(gè)向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上即可.2、本體還可采用綜合法證明，連接PR, QS,證明PQRS是平行四邊形即可，請(qǐng)完成這個(gè)證明.例2 已知體 ABCD AB1CQ1中，M, N, E, F分別是棱 AQi, AB, Di。，B1C1的中點(diǎn)，求證: 平面AMN /平面EFBD【分析】 要證明面面平行，可以通過線線平行來證明，也可以證明這兩個(gè)

6、平面的法向量平行.解法一：設(shè)體的棱長(zhǎng)為 4,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0, 0, 0), A(4, 0, 0), M(2, 0, 4),N(4, 2, 4),日4, 4, 0),日0, 2, 4), R2, 4, 4).取 MN 的中點(diǎn) K, EF 的中點(diǎn) G, BD 的中點(diǎn) O,則 0(2, 2, 0), K(3, 1, 4), G(1, 3, 4).MN =(2, 2, 0), EF =(2, 2, 0), AK =(-1, 1, 4), 0G = ( 1, 1, 4),MN / EF , AK OG , . .MN/EF, AK/OG ,.MN/平面 EFBD AK/平面 EFBD，

7、平面AMN /平面EFBD解法二：設(shè)平面AMN的法向量是a=(au a?, a%平面EFBD的法向量是 b = (b1, b2, b3).由 a AM 0,a AN 0,2al 4a3 0,得取 a3= 1,得 a = (2, 2, 1).2a2 4a3 0,由 b DE 0,b BF 0,2b2 4b30,得取 b3= 1,得 b = (2, 2, 1).2b 4b3 0,.a/b, .平面 AMN/平面 EFBD注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，通過綜合法加以證明，請(qǐng)?jiān)囈辉?例3 在體ABCD ARC1D1中，M, N是AR, B1B的中點(diǎn)，求異面直線 AM和CN所成角的余 弦值.解法2

8、,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則:設(shè)體的棱長(zhǎng)為D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), M(2, 1, 2),C(0, 2, 0), N(2, 2, 1).AM(0,1,2),CN(2,0,1),設(shè)AM和CN所成的角為，則cosAM CN 2| AM |CN | 52異面直線 AM和CN所成角的余弦值是 一5解法二：取AB的中點(diǎn)P,CO的中點(diǎn)Q,連接BP,BiQ,PQ,PC.易證明：BiP/ MA, B1Q/NC, / PBQ是異面直線 AM和CN所成的角.設(shè)體的棱長(zhǎng)為2,易知B1P B1Q J5,PQPC2 QC26,222cosPBiQB1P2 BQ2 PQ22BP BiQ2異面直線 A

9、M和CN所成角的余弦值是 一 5【評(píng)述】空間兩條直線所成的角是不超過 90。的角，因此按向量的夾角公式計(jì)算時(shí)，分子的數(shù)量積如果是負(fù)數(shù)，則應(yīng)取其絕對(duì)值，使之成為正數(shù)，這樣才能得到異面直線所成的角（銳角）.例4 如圖，正三棱柱 ABC- A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為 J2a ,求直線 ACi與平面ABBA所成角的大小.G“ G【分析】利用正三棱柱的性質(zhì)，適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線面角，再用向量方法計(jì)算；二是利用平面ABBA的法向量求解.解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0, 0, 0), B(0, a, 0), A(0,0,J2a),

10、 3a aa _AD, OD.Ci( -,-,V2a)取 AB 的中點(diǎn) D,則 D(0,：,J2a),連接匚3a則 DC (,0,0), AB (0,a,0), AAi (0,0, .2a), 2DC1 AB 0, DC1 AA 0,. DC，平面 ABBA,Ci AD是直線ACi與平面ABBA所或的角.ri-Ac1 ( -a,-, 2a),Ad (0,-, 2a), 222cosCi ADAC1 AD - 3|ACi|AD|2直線ACi與平面ABBAi所成角的大小是 303a a :一解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0, 0, 0), B(0, a, 0), A(0, 0, J2a),

11、 Ci( ，-02a), TOC o 1-5 h z 22從而 AB (0,a,0), AAi (0,0, 2a), ACi ( -a,-, 2a)22設(shè)平面ABBAi的法向量是a=(p, q, r),由 a AB 0,a AA 0,口 aq 0,什，口得，一 取 p=i,得 a=(i, 0, 0).2ar 0, 一. 工設(shè)直線ACi與平面ABBiAi所成的角為，0, 一,2sin | cosAC1,a | | AC1 a |-,30.|ACi|a|2【評(píng)述】充分利用幾何體的特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，再利用向量的知識(shí)求解線面角；解法二給出 了一般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互

12、余轉(zhuǎn)換.面角A例 5 如圖，三棱錐 PABC 中，PA,底面 ABC, AC BC, PA= AC= 1, BC 22 ,PB- C的平面角的余弦值.解法一：取PB的中點(diǎn)D,連接 CD,彳AE，PB于 E . PA=AC= 1, PAXAC,PC= BC= 42 , CD PB. EA PB,向量EA和DC夾角的大小就是二面角A-PB- C的大小.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0, 0,0), A(1, 0, 0), R0, 2 , 0), R1, 0, 1),D是PB,1 ,.2 1的中點(diǎn)，得D(一，一)2 2 2由PEEBAP2AB71 m 一 ， 一,得E是PD的中點(diǎn), 3從而32 3、

13、E(一，,)4 4 4EA1.2(4, 彳,3 一”DC (cosEA, DCEA DC|EA|DC |即二面角A- PB- C的平面角的余弦值是.3解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0, 0, 0), B(b,則下列結(jié)論正確的是（）(A) , m n(B) , m n二、填空題：5.在體ABCD-A1B1C1D1中，E, F, G, H分別為AA1, AB, BB, B1C1的中點(diǎn)，則異面直線 EF與GH所成角的大小是P6.3已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為V6 ,且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積3等于7 .如圖，正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，AA1=2AB,則異

14、面直線 AB與AD1所成角的余弦值為 4題圖7題圖9題圖1 _ _ ，.四棱錐PABCD的底面是直角梯形，/BAD=90 AD/ BC, AB BC -AD , PA，底面ABCD,2PD與底面ABCD所成的角是30。.設(shè)AE與CD所成的角為 ，則cos =三、解答題：.如圖，正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中，AAi=2AB= 4,點(diǎn) E 在 CC 上，且 CE= 3EC.(I)證明：A1C，平面BED 冗一_ ABC , OA_L底面 ABCD, 4(n )求二面角 A DE B平面角的余弦值.如圖，在四棱錐 OABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,OA=2, M為OA的中點(diǎn)，

15、N為BC的中點(diǎn).(I )證明：直線MN /平面OCD;(n )求異面直線 AB與MD所成角的大小.如圖，已知直二面角一PQ , ACPQ, BC , CC , CA= CB, / BAP= 45 ,直線CA和平面所成的角為30 .(I)證明：BC PQ;(n )求二面角B- AC- P平面角的余弦值.練習(xí)答案5.選擇題：B 2. A 填空題：606. 2解答題：3. B4. D9.10.8. C9題圖10題圖11題圖以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz.依題設(shè)，B(2, 2, 0), C(0, 2, 0), E(0, 2, 1), A(2, 0, 4).D

16、E (0,2,1),DB (2,2,0),AC ( 2,2, 4),DA1(2,0,4).(I)AC DB 0,AC DE 0, . .AiC BD, AiCDE.又 DBADE= D, .A1C，平面 DBE(n)設(shè)向量n = (x, y, z)是平面DAiE的法向量，則n DE,n DA1.2y2xz 0,人 后令 y= 1,得 n = (4, 1, 2).4z 0.cos(n, AC)n AC 1414 ，一面角A1- DE- B平面角的余弦值為 7T-|n|AC|4242作API CD于點(diǎn)P.如圖，分別以 AB, AP, AO所在直線為x, y, z軸建立坐標(biāo)系.222八則 A(0,0

17、,0),B(1,0,0), P(0,-2-,0), D( -2-,-2-,0) ,O(0,0,2),M(0,0,1), N(1：/2 、. 2丁2(I)MN (1 , , 1),OP (0,-p 2),OD (,2)設(shè)平面OCD的法向量為n = (x, y, z),則n OP 0,n OD 0,22y2z0,.22萬 x2z取z0.(0,4, ,2). MN n 0, MN /平面 OCD.(n)設(shè)AB與MD所成的角為，| AB MD |1|AB|MD| 22 .2AB (1,0,0),MD (彳 丁 1), cos花即直線AB與MD所成角的大小為一311. (I)證明：在平面 過點(diǎn)C作COLPQ于點(diǎn)O,連結(jié) OB. , n =pq, . co .又. CA=CB, . . OA=OB. ZBAO=45 , /ABO= 45 , ZAOB= 90 , . BOPQ,又 COPQ, . PQ,平面 OBC, PQ BC.(n)由(I )知，OCXOA, OCXOB, OAXOB,故以O(shè)為原點(diǎn)，分別以直線 OB, OA, OC為x軸, y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖). COX ，/ CAO是CA和平面 所成的角，則/ CAO= 30不妨設(shè) AC= 2,