數(shù)列通項公式的求法

1、數(shù)列通項公式的求法數(shù)列在理論上和實踐中均有較高的價值，是培養(yǎng)學生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，高考對數(shù)列知識的考察在八十年代末發(fā)展到了極致，以后逐漸冷落，但最近幾年又逐漸升溫，隨著與大學知識的接軌，競賽題的釋放，很多省市的高考數(shù)學卷都把數(shù)列題作為壓軸題，而數(shù)列通向公式的求法又成為一個熱點。本文想總結(jié)一下在高中階段，求數(shù)列的通項公式的常用方法和策略。1 觀察法觀察法就是觀察數(shù)列特征，找出各項共同的構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通向公式，然后利用數(shù)學歸納法加以證明即可。例1 在數(shù)列中且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列。求及，由此猜測的通向公式

2、，并證明你的結(jié)論。解：有題設(shè)條件得， 由此得， 猜測 用數(shù)學歸納法證明： (1) 當n=1時，有以上知結(jié)論成立； (2) 假設(shè)n=k時，結(jié)論成立；即，那么當時，所以當時，結(jié)論也成立，由(1)( 2) ，可知對一切正整數(shù)都成立1點評：采用數(shù)學歸納法證明多是理科教學內(nèi)容，較為容易，好掌握。2 定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數(shù)列類型的題目例2 等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式. 解：設(shè)數(shù)列公差為d(d0)成等比數(shù)列，點評：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。3公式法 若已知數(shù)列的

3、前n項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式求解。 例3 已知數(shù)列的前n項和滿足求數(shù)列的通項公式。 點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并24由遞推公式求數(shù)列通項法 對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。341 類型1 遞推公式為 ，其中的和比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法求解。例4 已知數(shù)列中，求的通向公式解： 由已知得， 令，代入個等式累積，即 42 類型2 遞推公式為。解法： （1）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解。例5 已知數(shù)列滿足，求的通向公式。 解：由

4、條件知，分別令n=1，2，3，(n-1)，代入上式得(n-1)個等式累乘之，即 （2）由和確定的遞推數(shù)列的通項可如下求得：由已知遞推式有，依次向前代入，得，簡記為，這就是疊（迭）代法的基本模式。例6 已知，求。解： 。443類型3 遞推公式為（p,q,s,為常數(shù)）。解法： 利用兩邊取倒數(shù)求通向公式。例7 已知數(shù)列的首項，求的通向公式解 ， 是以為首項，為公比的等比數(shù)列 ，另解： 設(shè)，解得方法1：，整理得， 則 即故數(shù)列是以為首項，為3公比的等比數(shù)列 則，即方法2： 由，可得，故數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列 則，即。點評：形如（ 為常數(shù)）的數(shù)列可用方程解得兩根，然后利用或，直接整理轉(zhuǎn)化求解

5、，也可將兩式作比進行求解，此種方法稱為“特征根法”。544類型4 遞推公式為型的。 解法：（1）用“退一相減法”；（2）利用；（3）歸納，猜想，證明。方法（1）和方法（2）的實質(zhì)是由混合型的轉(zhuǎn)化為純粹型的，也就是“減元思想”的應用。 例8 已知數(shù)列的前n項和與之間滿足，求的通向公式解 ， (1)下面用三種方法解答：方法一：，可得 (2)(1)-(2)得即，由，得數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列 ，方法二：由得，可得，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列。所以，則，當時，又適合此式，所以方法三：易得，故猜想下面用數(shù)學歸納法證明（證略）45類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：一般采用待定系數(shù)法將原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。6例9 已知數(shù)列中，求。解： 令與已知比較，得，所以，數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列所以 即746類型6 遞推公式為=p+q (p、q均為常數(shù))（又稱二階遞歸）解法： 將原遞推公式=p+q，轉(zhuǎn)化為-（-）并且由解出、因此可以得到數(shù)列-是等比數(shù)列。特殊地對于 型的遞推公式，我們可以的這樣分析： ， ， 是以為首項，公比為的等比數(shù)列例10 已知數(shù)列中a1=1，a2= =-,求數(shù)列的通項公式。解： 令-（-）由解得：1、則由此可得-（-）， a2-a1= -= （-）+（-）+（a2-a1）