運籌學lindo教程特別版

1、目錄第1章引言第2章LINDO軟件的基本使用方法2.1 LINDO 入門2.1.1 LINDO軟件簡介LINDO是英文Linear Interactive and Discrete Optimizer字母的縮寫形式，即”交互式的線 性和離散優(yōu)化求解器”LINDO軟件和第3章即將介紹的LINGO軟件包是美國LINDO系統(tǒng) 公司開發(fā)的一套專門用于求解最優(yōu)化問題的軟件（如圖2-1所示）。LINDO用于求解線性規(guī) 劃問題，其功能比較強，計算效果比較好。此外，LINDO軟件使用起來非常方便，很容易 學會。即使對優(yōu)化方面的專業(yè)知識了解不多的人，也能夠方便地建模和輸入，有效地求解和 分析實際中遇到的大規(guī)?；?/p>

2、的問題，并通常能夠快速得到復雜優(yōu)化問題的高質(zhì)量的解。圖2-1美國LINDO系統(tǒng)公司開發(fā)的一套專門用于求解最優(yōu)化問題的軟件第一次運行剛安裝的LINDO軟件時，系統(tǒng)會彈出一個對話框，要求你輸入Password（密 碼）。如果是正版軟件，則在密碼框中輸入LINDO公司提供的密碼，然后按“OK”按鈕即 可。否則，只能選擇演示版（Demo Version），按下”Demo Version”按鈕即可。（或在2.1.2編寫一個簡單的LINDO程序（或在在Windows操作系統(tǒng)下安裝好LINDO軟件后，雙擊桌面上LINDO圖標Windows”開始”菜單的“程序”中選擇運行LINDO軟件（如圖2-2所示），可以

3、啟動LINDO 軟件，屏幕上首先顯示（如圖2-3所示）所示的LINDO的初始界面。從界面上可以看到LINDO 的最大的Constraints（約束）個數(shù)為50，最大的Variables（變量）個數(shù)為100，最大的Nonzeros 個數(shù)為16000。我的文檔課程網(wǎng)站制交通系統(tǒng)分作工具析方法方黑存 我的電腦200562955.,林麗檔靜自制便器申詰網(wǎng)上部居 200562955. risingREALTEK Gigabit and Fast E出ernet NIC Driver SoundMAXWindows Update打開Office文檔我的文檔課程網(wǎng)站制交通系統(tǒng)分作工具析方法方黑存 我的電腦2

4、00562955.,林麗檔靜自制便器申詰網(wǎng)上部居 200562955. risingREALTEK Gigabit and Fast E出ernet NIC Driver SoundMAXWindows Update打開Office文檔新建Office文檔設定程序訪問和默認值Winamp附件Microsoft ExcelMicrosoft WordMacromediaMATLAB 7.0完美卸載V2006WinQ5BLINGO 9.0播霸網(wǎng)貉電視LINDO文檔期設置國搜索LINDOUninstall LINDOLINDO HelpLINDO Systems DemosLINDO圖2-2啟動LI

5、NDO程序-|g|x|File Edit Solve Reports Window Help下面通過一個非常簡單的例子，說明如何編寫、運行一個LINDO程序的完整過程。點2-3中的“OK”，出現(xiàn)如圖2-4所示的工作界面。圖2-4啟動LINDO的工作界面這就是LINDO的初始用戶界面。目前光標所在子窗口稱為模型窗口，是用來供用戶輸 入LINDO程序的。目前這個模型窗口標有“”字樣，表示用戶還沒有為這個程序 命名，因此，LINDO采用了自動生成的名字“”，將來用戶在保存程序時可以對它 重新命名?！纠?.1生產(chǎn)規(guī)劃的優(yōu)化問題max Z = 200X + 500X121.5 X + 5 X 40s.t

6、 2X + 4X 0, Y 0我們可以直接在這個新的、空白的模型窗口中輸入這個問題（如圖2-4所示）。1、這個LINDO程序以“max”開始，表示目標是最大化問題（容易想到，對最小化問 題自然該用”min”開始），后面直接寫出目標函數(shù)的表達式。注意：LINDO不區(qū)分大小寫字 符（實際上任何小寫字符將被轉(zhuǎn)換成大寫字符）；變量和系數(shù)間不用乘號“ *”。2、約束的表達式前用st（說明也可寫成s.t.或subject to）o程序以“end”結(jié)束。（請注意： “end ”在這里也可省略）3、輸入的LINDO模型中用右括號“）”結(jié)尾的“first） ”和“ second）”是行名（對應 約束，就是約束名

7、）；我們也可以分別輸入“2）”和“3）”等其它行名；請注意：“ first）”和“ second）”也可以省略，省略時LINDO將會按照輸入行的順序自動生成用數(shù)字表示的行 名（即行號）。如本例中若輸入時省略行名時，系統(tǒng)對約束默認的行名分別是“2）”和“3）”， 并對目標函數(shù)所在的行自動生成行名“ 1）”。4、我們輸入上面的模型時，故意寫的歪七扭八，是為了說明在LINDO中，模型書寫 起來是相當靈活的，由于LINDO中已假設所有的變量都是非負的，所以非負約束（4）即 （x1N0，x2N0）不必再輸入到計算機中；約束條件中的“ ”可分別用“”和 “”代替；輸入的多余的空格和回車也會被忽略；一個約束

8、還可以分成兩行甚至多行寫， 等等。5、模型中的感嘆號“！”后面的文字將被認為是說明語句（注釋語句），不參與模型的 建立，主要是為了增強程序的可讀性。注意此處書寫時不能換行。200562955.200562955.rising宣隹廣告現(xiàn)在我們就可以用LINDO軟件來求解這個模型。用鼠標單擊LINDO軟件工具欄中的 圖標，或從菜單中選擇“Slove（Ctrl+S）”命令（即LINDO的主菜單Solve”求解中的“Slove（求 解）”命令，快捷鍵是Ctrl+S （以后我們約定都這樣表示），見圖2-5。則LINDO開始編譯這 個模型，編譯沒有錯誤馬上開始求解，求解時會顯示如圖2-6所示的LINDO求

9、解器運行狀 態(tài)窗口（LINDO SOLVE STATUS），其中顯示的相應信息的含義見表2-1。注意，LINDO求 解線性規(guī)劃的過程默認采用單純形法，一般是首先尋求一個可行解，在有可行解的情況下再 尋求最優(yōu)解。用LINDO求解一個LP問題會得到如下的幾種結(jié)果：可行或不可行；可行又 1可分為：有最優(yōu)解和解無界兩種情況。因此，圖2-5中當前狀態(tài)可顯示為：Optimal （最優(yōu) 解），F(xiàn)easible （可行解），Infeasible （不可行解），Unbourded （解無界）四種狀態(tài)之一。200562955.200562955.rising宣隹廣告200562955.例題講解Firefoxl50

10、.網(wǎng)頁資料Mozilla FirefoxInstall F-less.2006炫通 系統(tǒng)工程菜單欄南京林業(yè)大學畢業(yè)設1|Microsoft Internet Ex,.空通系統(tǒng)分析方法方林麗屑靜自制做器申詰200562955.宣傳廠告LINDO200562955.MicrosoftInternet Ex.File Edit Solve Reports Window HelpLINDO Solver Status例題講解南京林業(yè)大學畢業(yè)設Firefox 150.網(wǎng)頁資料Optimizer Statusmax 280 x1+500 x2first) 1.5x1+5x2=40 second) 2x1+

11、4x2網(wǎng)頁資料壹通系統(tǒng):分析方法方林麗詹靜自制仗器申請Infeasibility:Objective:Best IF1:IP Bound:Branches:Elapsed Time:4500NZAN/ANZA00:00:10Update Interval: |方再輸入;=101XAJ-|n| x|圖 2-6 LINDO 求解器運行狀態(tài)窗口（LINDO solver Status）由于這個例子中LP模型的規(guī)模太小，我們可能還沒有來得及看清圖2-6的界面，LINDO 就解出了最優(yōu)解，并馬上彈出如圖2-7的對話框。這個對話框詢問你是否需要作靈敏性分析 “DO RANGE（SENSITIVITY ）A

12、NALYSIS？ ”。我們現(xiàn)在先選擇“否（NO）”按鈕，這個窗 口就關(guān)閉。然后，我們再把圖2-4狀態(tài)窗口也關(guān)閉（按下圖2-6的“Close，按鈕即可）。LINDOFile Edit Solve Reports Window HelpDggHHLINDO Solver StatusWCuntitled Optimizer StatusOptimalStatus：Iterations:旦pdmte Interval: |0竺冬圖J靈敏性分析對話框-|n| x|20）不必再輸入;項在這個模型就解完了。那么最優(yōu)解在哪里呢？如果你在屏幕上沒有看到求解的結(jié)果，那么請你用鼠標選擇LINDO的主菜單“Wind

13、ow （窗口）”，就可以查看該窗口的內(nèi)容（如 2-8所示）。200562955.宣傳廣告200562955.MicrosoftInternet Ex,.W刻 LINDO - Reports Window D:LIUJIP1道路交12EX1例題講解酉南京林業(yè)大 學畢業(yè)設File Edit Solve Reports Window Help-Inlxl-|g|xiIWW1 BERM MWLP OPTIMUM FOUND AT STEPFirefox 150.,網(wǎng)頁資料Mozilla FirefoxInstall Mess.1)4500.000UARIABLEUALUEREDUCED COSTX11

14、0.0000000.000000X25.0000000.000000R0USLACK OR SURPLUSFirefox 150.,網(wǎng)頁資料Mozilla FirefoxInstall Mess.1)4500.000UARIABLEUALUEREDUCED COSTX110.0000000.000000X25.0000000.000000R0USLACK OR SURPLUSDUAL PRICESFIRST)0.00000050.000000SECOND)0.00000062.500000OBJECTIUE FUNCTION UALUENO. ITERATIONS=02006炫通 系統(tǒng)工程變通

15、系統(tǒng)肯析方法方圖2-8 LINDO的求解結(jié)果報告窗口林麗屑靜自制便器申請出結(jié)果表示的意思如下：1、“LP OPTINUM FOUND AT STAP ”表示單純形法在0次迭代后得到的最優(yōu)解。2“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1）4500.000”表示最優(yōu)目標值。（注意:在 LINDO 中目標函數(shù)所在行總是被認為是第1行，這里的“1）”就是這個含義。3、“VALUE”給出最優(yōu)解中各變量。VARIABLE）的值：x1=10, x2=5。4 “REDUCE COST ”給出了最優(yōu)的單純形表目標函數(shù)行第1行中變量對應的系數(shù)（即 各個變量的檢驗數(shù)（也稱判別式）。其中基變量的REDUC

16、E COST值一定為0；對于非基變量（注意非基變量本身取值一定為0）,相應的REDUCE COST值表示該當非基變量增加 1個單位（其他非基變量保持不變）時目標函數(shù)減少的量（對MAX型問題）。本例最優(yōu)解 中兩個變量都是基變量，所以對應的REDUCE COST的值均為0。5、“SLACK OR SURPLUS （松弛或剩余）”給出約束對應的松弛變量的值：第2, 3行 松弛變量均為0,說明對于最優(yōu)解來講，兩個約束（第2, 3行）均取等號，即都是緊約束。6、“DUAL PRICES ”給出了對偶價格的值：第2, 3行對偶價格分別為50.0, 62.5（含 義參看運籌學）。7、“NO ITERATIO

17、NS =0”表示用單純形法進行0次迭代（旋轉(zhuǎn)）。現(xiàn)在，我們歸納一下上面介紹的輸入，求解LP問題的一般步驟如下：（1）在模型窗口 中輸入一個LP模型。模型以“max”或“min”開始，按線性規(guī)劃問題的自然形式輸入（如前 面的例子所示）。如要結(jié)束一個模型的輸入，只需輸入“END”（也可以省略）。（2）求解模 型。如果LINDO報告有編譯錯誤，則回到上一步修改模型。（3）查看結(jié)果。2. 2LINDO的主要菜單命令從前面的各個圖形窗口中我們已經(jīng)看到，LINDO軟件菜單條上有六個主菜單：File（文件） Edit （編輯）Solve （求解） Report （報告）Windows （窗口） Help （

18、幫助）File （文件）菜單包括了 LINDO通過文件與外部設備交換信息的命令；Edit （編輯）菜單 包括了在當前窗口下編輯文本的命令；Solve （求解）菜單包括了求解摸新年感的命令； REPORTS （報告）彩旦包括了生成解答結(jié)果報告的命令；Windows （窗口）菜單包括了窗 口切換的命令；HELP （幫助）菜單包括了訪問在線幫助文檔的命令。對于幾乎所有的菜單命令，LINDO都提供了快捷鍵；對于常用的菜單命令，LINDO在工具 欄提供了相應的圖形按鈕（參見圖2-6）。工具欄是浮動式的，可以用鼠標拖到屏幕的任何 地方。這些用法都是和WINDOWS下其他應用程序的標準用法類似的，所以我們不

19、準備對 所有的菜單命令進行完整和詳細的介紹，而是只對前4個菜但中有一定LINDO特色的主要 命令進行簡單介紹。2. 2. 1文件主菜單File/New、File/open 和 File/view 的區(qū)別File/view用于新建一個模型文件，F(xiàn)ile/open用于打開一個已有文件，此后可以對這個文件 進行編輯、求解、保存等；而File/View只用于打開已有文件供瀏覽（也可以求解）使用， 不能編輯。由于LINDO編輯器對文件的大小是有限制的，因此用Flie/New和File/Open打 開的文件不能太大（通常不超過64000字符）；而File/view不受文件大小限制，這對瀏覽特 別大規(guī)模的文

20、件（通常不一定是由LINDO本身的編輯器產(chǎn)生的）是有用的。File/Title顯示當前模型的名稱（如果該模型被命名過，即模型的程序中出現(xiàn)過Title語句）。 File/Date顯示當前日期和時間。File/Elapse Time顯示本次啟動LINDO以來已經(jīng)運行了多 長時間。File/License輸入驗證LINDO的許可證密碼、功能和界面如下圖2-7。說明：File/Long Output， File/Take Commands等其他子菜單的作用可參閱相應的書籍。2. 2. 2編輯主菜單該菜單下的多數(shù)命令基本上是不言自明的，與WINDOWS下的其他編輯器類似，這些命令 就不具體介紹了。這里只

21、介紹幾個LINDO軟件中特色命令。Eidt/Options該命令打開一個對話框（見圖2-8），用于設置LINDO系統(tǒng)運行的內(nèi)部參數(shù)。 從圖中可以看出，可修改的參數(shù)分成兩大類：左邊一類是關(guān)于優(yōu)化程序的，右邊一類是關(guān)于 輸出格式的（Output）o先看輸出格式中所包含的四個選項：Status Window （狀態(tài)窗口）選 項：用于控制是否簡明的形式報告結(jié)果（默認設置為詳細（Verbose）的形式報告結(jié)果）。Page Length Limit （頁長限制）：用于控制輸出時每頁最多顯示多少行（可以設置為任意正整 數(shù)；默認設置是“None”，表示無限制。Terminal Width （終端寬度）：每行的

22、最大寬度（每 行多少字符），可以設置為40-132之間的整數(shù)（默認設置為80）。關(guān)于優(yōu)化程序（Optimizer） 的參數(shù)又分成兩類：左邊一類是關(guān)于整數(shù)規(guī)劃的；右邊一類是一般參數(shù)。對于IP的參數(shù)設 置可參閱相關(guān)書籍；對于LINDO的一般參數(shù)（General），可以如下設置：Nonzero Limit （模 型中允許出現(xiàn)的非零系數(shù)的個數(shù)上限）：這個參數(shù)對于不同版本的LINDO軟件默認值不同， 試用版中是2000000o Iteration Limit （求解時允許的最大迭代步數(shù)）：默認值是“None”，即 沒有限制；有時為了防止計算時間太長，用戶可以自行設置為任意一個整數(shù)。Initial Con

23、traint Tol （初始階段求解時約束條件允許的誤差上限）：即只要約束兩邊相差小于這個數(shù)時，就認 為約束成立。計算的初始階段這個誤差可能沒有必要設置過小，以免找不到可行解，所以默 認值是0.00008o Final Contraint Tol （最后階段求解時約束允許的誤差上限）：即只要約束兩 邊相差小于這個數(shù)時，就認為約束成立。計算的最后階段這個誤差有必要設置的比較小，以 便提高計算精度，所以默認值是0.00001 o Entering Var Tol （進基變量的誤差上限）：即只有 當變量的判別數(shù)大于這個上限時，這個變量才可能進基（相當于認為絕對值小于這個數(shù)時， 判別數(shù)就是零）。默認值

24、是0.0000005.（具體含義見相關(guān)參考書）。Pivot Size Tol（旋轉(zhuǎn)時采用 的誤差下限：即旋轉(zhuǎn)變量的絕對值不能小于該上限（相當于認為絕對值小于這個數(shù)時，旋轉(zhuǎn) 元就是0）。默認值是0.0000000001 o （旋轉(zhuǎn)元和進基變量的含義見相關(guān)參考書）。一旦參數(shù)被 修改并按下“OK”按鈕后，將對所有此后的運行均有效，直到退出LINDO系統(tǒng)或重新設 置這個參數(shù)為止，而與具體的模型無關(guān)。如果將這些參數(shù)用對話框中的“Save （保存）”按 鈕保存下來，退出LINDO后下次啟動LINDO時這些參數(shù)仍然有效。對話框中右下方的“Default （默認）”按鈕恢復LINDO系統(tǒng)的默認參數(shù)值?！癈an

25、cel （取消）”按鈕用于廢除本 次參數(shù)修改，關(guān)閉這個選項窗口。“Help （幫助）”按鈕用于提供本窗口的在線幫助。Edit/paste Symbol該命令打開一個對話框，用于在模型中當前光標后面插入符號。例如：對 于前面介紹的LP模型（參見例2.1），Paste Symbol打開的對話框如圖2-9，可以看到可選的 符號主要是三類：Reserved（保留字）：LINDO系統(tǒng)的保留字（如一些常用的語句關(guān)鍵詞和 運算符號；Variable（變量）：當前模型的決策變量；Rows （行名）：約束的行號或行名。可 以用鼠標雙擊其中某個符號，則該符號顯示在圖中的緩沖區(qū)（“Paste Buffer”）；也可

26、直接編 輯緩沖區(qū)的內(nèi)容。當單擊“Paste （粘貼）”按鈕時，緩沖區(qū)的內(nèi)容將被插入當前模型的當前 光標后。單擊“Clear （清除）”按鈕將清除緩沖區(qū)的內(nèi)容，單擊“Close （關(guān)閉）”，按鈕將關(guān) 閉該對話框。Edit/Choose New Fond該命令用于指定顯示的字體，字型和文字的大小。對話 框如圖2-10所示。2. 2. 3求解主菜單Solve /Compile ModlSolve /Compile Modl （編輯模型）命令對當前模型進行編譯。如果當前模型輸入有語法錯誤， 編譯時將報告錯誤。Solve/PivotSolve/Pivot （旋轉(zhuǎn)）命令從當前解出發(fā)進行一次單純形旋轉(zhuǎn)（即一

27、次迭代）。用這個命令可 以跟蹤整個單純形算法的運行。Solve/DebugSolve/Debug （調(diào)試）命令分析LP無解或無界的原因，建議如何修改。Solve/Preemptive GoalSolve/Preemptive Goal （多目標）命令依次按照多個目標求解模型。2. 2. 4報告主菜單Report/SolutionReport/Solution （解答）命令顯示當前的解（你必須在此之前求解過當前模型。對話框參見 2-11，你可以選擇“All Values（把所有變量的值全部顯示）。“Nonzero Only”（顯示非零取 值的變量），然后單擊“OK”按鈕即可。Report/Ran

28、geReport/Range （敏感性分析）命令顯示當前解的敏感性分析結(jié)果（你必須在此之前求解當前 模型）。敏感性分析可參見相關(guān)參考書。Report/ParametricsReport/Parametrics （參數(shù)分析）命令對約束的右端項進行分析，也就是研究某個約束的右端 項發(fā)生變化時，最優(yōu)值如何變化。例如，對于前面介紹過的生產(chǎn)規(guī)劃的優(yōu)化問題，對話框如 圖2-12，你可以選擇參數(shù)分析結(jié)果的報告方式。單擊“OK”按鈕得到參數(shù)分析結(jié)果（如圖 2-13所示），非常方便！從圖中和報告窗口中顯示結(jié)果都可以看出，這時最優(yōu)解和最優(yōu)值沒 有變化。請你用其他數(shù)試試，看看效果如何。Report/Statisti

29、csReport/Statistics （統(tǒng)計）命令顯示當前模型的統(tǒng)計信息。例如，對于當前介紹的生產(chǎn)規(guī)劃的 優(yōu)化問題（例2-1），該命令將在報告窗口顯示如下統(tǒng)計信息： 第1行的意思：該模型有行，2個變量，第2行的意思：非零系數(shù)共有個，約束中非零系數(shù)共有個第3行的意思：模型中系數(shù)的最小值和最大值（按絕對值看）分別為第4行的意思：模型目標為極大化，第5行的意思：2. 3使用技巧及注意事項我們前面已經(jīng)看到，LINDO軟件對模型的輸入格式的要求與線性規(guī)劃問題的自然形式（數(shù) 字形式）非常類似，幾乎沒有什么差別，因此幾乎不要專門學習就可以掌握。LINDO軟件 對模型的輸入格式還是有一些特殊規(guī)定的。我們下面

30、就簡單解釋一下使用LINDO軟件建立 線性規(guī)劃問題的一些特殊注意事項。（1）LINDO中變量名由字母和數(shù)字組成，但必須以字母開頭，且長度不能超過8個字符（只能是英文字符，不能含有中文字符）。LINDO中不區(qū)分大小寫字母，包括LINDO 中本身的關(guān)鍵字（如MAX，MIN等）也不區(qū)分大小寫字母。（2）LINDO中對優(yōu)化模型的目標和約束用行號進行標識，這些標識會在將來的求解報告 中用到。用戶沒有指定行號時，系統(tǒng)將自動產(chǎn)生行號，將目標函數(shù)所在行作為第一 行，從第二行開始為約束條件。我們也可以人為定義行號或行名，行號或行名總是 以“，”結(jié)束，放在相應的約束之前；行號或行名可以和變量名一樣命名，也可以只

31、用數(shù)字命名，但長度同樣不能超過8個字符。為了方便將來閱讀求解結(jié)果報告，建 議用戶總是自覺地對每個約束進行命名。行名中甚至可以含有中文字符，但行名結(jié) 束標志符號必須是英文字符，否則會出現(xiàn)錯誤。（3）在LINDO模型的任何地方都可以用“TITLE”語句對輸入的模型命名，用法是在 TITLE后面寫出其名字（最多72個字符，也可以有漢字），在程序中單獨占一行。 請看下面兩個例子：TITLE Example Modle for Chapter 2。TITLE第2章的第一個例 子前者將模型命名為“TITLE Example Modle for Chapter 2”，后者將模型命名為“第 2章的第一個例子”

32、。實際上這類似于對模型的注釋和說明，這是模型命名的第一個 作用。對模型命名的另一個目的，是為了方便將來閱讀求解結(jié)果報告。因為我們有 可能同時處理多個模型，很容易混淆模型與求解結(jié)果的對應關(guān)系。這時如果對不同 模型分別進行命名，就可以隨時（例如在求解當前模型前）使用菜單命令“FILE/TITLE ”將當前模型的名字顯示在求解結(jié)果報告窗口中，這樣就容易判別每 個求解結(jié)果與每個模型的對應關(guān)系。此外，LINDO模型中以感嘆號“！”開頭的 是注釋行（注釋語句或稱為說明語句），可以幫助他人或以后自己理解這個模型。實 際上，每行中“!”符號后面都是注釋或說明。例如:！ This is a comment。第1

33、行完 全是注釋語句；第2行則后半部分為注釋語句。可以看出，注釋語句中以有漢字， 但領頭的有感嘆號“！”必須是字符，否則會出現(xiàn)錯誤。再次總結(jié)，提醒一下：行號?！癟ITLE”語句和注釋語句，是LINDO中惟一可以使用漢字字符的地方。（4）LINDO中變量不能出現(xiàn)在一個約束條件的右端（即約束條件的右端只能的常數(shù)）； 變量與其系數(shù)間可以有空格（甚至回車），但不能有任何運算符號（包括乘號“*” 等）。（5） LINDO中不能接受括號“（）”和逗號“，”等任何符號（除非在注釋的語句中），例 如：400（X1+X2）需寫成 400X1+400X2； “10，000”需寫成 “10000”。（6）LINDO中

34、表達式應當已經(jīng)經(jīng)過化簡，如不能出現(xiàn)2X1+3X2-4X1而應寫成-2X1+3X2 等。（7）LINDO中已假定所有變量非負。可在模型的“END”語句后面用命令“FREE”（設 定自由變量）取消變量的非負假定。其用法是“FREE”后面跟變量名，例如，在END 語句后輸入下面命令，可將變量X的非負假定取消：FREE X（8） 可以在模型的“END”語句后面用命令“SUB”（即設置上界（set upper bound）的 英文縮寫）設定變量的上界，用命令“SLB”（即設置下界（set lower bound）的英 文縮寫）設定變量的上下界。其用法是：“UB vnme value”將變量Vname的上限設 定為value； “SUB”的用法類似。例如：SUB X1 10 !作用等價于“X1=10” SLB X2 20 !作用等價于“X2=20”。但用“SUB”和“SLB”表示的上下界約束不計 入模型的約束，因此LINDO也不能給出其松緊判斷和敏感性分析。（9）數(shù)值均衡化及其他考慮：如果約束系數(shù)矩陣中各非零元的絕對值的數(shù)量級差別很大（相差1000倍以上），則稱其數(shù)值不均衡的。為了避免數(shù)值不均衡引起的計算問題， 使用者應盡可能自己對矩陣的行列進行均衡化。此時還有