高中數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)【經(jīng)典】教學(xué)內(nèi)容

1、- -第二章：數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)一、數(shù)列的概念1、數(shù)列的概念：一般地，按一定次序排列成一列數(shù)叫做 數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的 項(xiàng)，數(shù)列的一般形式 可以寫成ai,a2,a3,L ,an,L ,簡(jiǎn)記為數(shù)列 an ,其中第一項(xiàng)ai也成為首項(xiàng)；an是數(shù)列的第n項(xiàng)，也叫做 數(shù)列的通項(xiàng).數(shù)列可看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集 N (或它的子集)的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng) 的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列 .2、數(shù)列的分類：按數(shù)列中項(xiàng)的多數(shù)分為：有窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為有限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)有限；無窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為無限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)無限.3、通項(xiàng)公式：如果數(shù)列 an的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表

2、示成an f n，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.4、數(shù)列的函數(shù)特征：4、數(shù)列的函數(shù)特征：一般地，一個(gè)數(shù)列 an ,如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即 如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即 如果數(shù)列 an的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫做an 1an,那么這個(gè)數(shù)列叫做 遞增數(shù)列；an 1an,那么這個(gè)數(shù)列叫做 遞減數(shù)列；常數(shù)列.5、遞推公式：某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來表示，叫做遞推公式.二、等差數(shù)列1、等差數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列久叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)

3、 叫做等差數(shù)列的公差.即an 1 an d (常數(shù))，這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的依據(jù)2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè)等差數(shù)列 an的首項(xiàng)為ai,公差為d ,則通項(xiàng)公式為：an a1 n 1 d am n m d, n、m N .3、等差中項(xiàng)：(1)若a、A b成等差數(shù)列，則 A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且 A=ab；2(2)若數(shù)列an為等差數(shù)列，則an, an 1, an 2成等差數(shù)列，即an 1是an與an 2的等差中項(xiàng)，且an an2 ,反之若數(shù)列an滿足an 1=an an2 ,則數(shù)列an是等差數(shù)列.224、等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)等差數(shù)列an中，若 m n p qmnsp、q N，則

4、 aman apaq,若 m n2p,則am a n 2 ap ；(2)若數(shù)列 an和bn均為等差數(shù)列，則數(shù)列 an bn也為等差數(shù)列；(3)等差數(shù)列 an的公差為d ,則d 0an為遞增數(shù)列，d 0an為遞減數(shù)列，d 0a0為常數(shù)列.5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn = a1 a2 a3 L an 1 an, n N ；(2)數(shù)列 (2)數(shù)列 an的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：aSi,n 1& Sni,n 2 TOC o 1-5 h z (3)設(shè)等差數(shù)列 an的首項(xiàng)為ai,公差為d ,則前n項(xiàng)和Sn = 1之一 nai -1-1 d. 226、等差數(shù)列前n和的性質(zhì)：

5、(1)等差數(shù)列 an中，連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等差數(shù)列，即a1 a2 Lam,am 1 am 2 La2m,a2m 1 a2m 2 La3m，仍為等差數(shù)列(即Sm,&m Sm,S3m Szm,L成等差數(shù)列)；n n 1 d 2 d, 一(2)等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn = na1 d = n a1 n,當(dāng)d 0時(shí)，Sn可看作關(guān)于n的 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 222二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)；(3)若等差數(shù)列an共有2n+1(奇數(shù))項(xiàng)，則S奇&禺=41中間項(xiàng) 且包=*二，若等差數(shù)列an共有2n (偶數(shù))項(xiàng)，則S偶SU =nd且且=aA Sw

6、an7、等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題：設(shè)等差數(shù)列 an的首項(xiàng)為a1,公差為d ,則a10且d0(即首正遞減)時(shí)，Sn有最大值且Sn的最大值為所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)之和；a10且d0(即首負(fù)遞增)時(shí)，Sn有最小值且Sn的最小值為所有非正數(shù)項(xiàng)之和.三、等比數(shù)列1、等比數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)不為零的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 q表示(q 0).a即 q q為非零常數(shù)，這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的依據(jù)2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:設(shè)等比數(shù)列 an的首項(xiàng)為ai,公比為q ,則通項(xiàng)公式為：an a1qn 1 amqn

7、m, n m,n、m N .3、等比中項(xiàng)：(1)若a、A b成等比數(shù)列，則 A叫做a與b的等比中項(xiàng)，且 A2=ab；(2)若數(shù)列an為等比數(shù)列，則an, an i,an 2成等比數(shù)列，即an 1是an與an 2的等比中項(xiàng)，且2 一一 2 、an 1=an an 2;反之若數(shù)列 an滿足an 1=an an 2,則數(shù)列 an是等比數(shù)列.4、等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)等比數(shù)列an中，若 m n p qm、n、p、q N，則 amanapaq,若 m n 2p,則2am an a p，(2)若數(shù)列 an和bn均為等比數(shù)列，則數(shù)列 an bn也為等比數(shù)列；(3)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q ,則a1

8、 0 ,、 a1 0,a1 0 ,、 a1 0或an為遞增數(shù)列，或an為遞減數(shù)列,q 10 q 10 q 1 q 1q 1an為常數(shù)列.5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：(1)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn = a1a2a3Lan1an,n N ；S,n 1(2)數(shù)列 an的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an.Sn Sn 1,n 2na1，q 1(3)設(shè)等比數(shù)列 an的首項(xiàng)為a1,公比為q q 0 ,則S,q由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可知，已知ai,q,n, an, Sn中任意三個(gè)，便可建立方程組求出另外兩個(gè).6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)：設(shè)等比數(shù)列 an中，首項(xiàng)為ai,公比為q q 0 ,則(1)連2

9、m 項(xiàng)的和仍組成等比數(shù)列，即 a1a2Lam, am 1am2 La2m,a2m1 a2m 2 La3m,仍為等比數(shù)列（即S仍為等比數(shù)列（即Sm,S2m Sm,S3mS2m,L成等差數(shù)列）；r r ai 1 qn當(dāng)q 1時(shí)，Sn - i qaii qaiainainai-q q i q i q q i q i設(shè) t ,則 Sntqnt .q i四、遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法總結(jié)i、遞推數(shù)列的概念：一般地，把數(shù)列的若干連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系叫做遞推關(guān)系，把表達(dá)遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式，而把由遞推公式和初始條件給出的數(shù)列叫做遞推數(shù)列2、兩個(gè)恒等式：對(duì)于任意白數(shù)列 an恒有：（1）anai a2aa3a2a,

10、a3Lanan i an ai 也曳也 L a, an 0,n Nai a2 a3an i3、遞推數(shù)列的類型以及求通項(xiàng)方法總結(jié):類型一（公式法）：已知Sn 類型一（公式法）：已知Sn （即a1 a2 Lan f （n）求an ,用作差法：anSi,(n 1)SnSn i,(n 2)類型二（累加法）：已知：數(shù)列 an的首項(xiàng)ai,且an i an f n , n N ,求通項(xiàng)an.給遞推公式an 1 an f n , n N 中的n依次取1,2,3, ，n-1,可得到下面n-1個(gè)式子:a?aif 1 ,a3 a2 f 2 ,a4 a3f 3 ,L 自 an i a?ai利用公式ana利用公式ana

11、1a2 a1a3a2a4 a3 Lanan 1可得:ana1f 1 f 2 f 3 L類型三（累乘法）已知：數(shù)列 an的首項(xiàng)a1,且皿f n , n N ，求通項(xiàng)a類型三（累乘法）已知：數(shù)列 an的首項(xiàng)a1,且皿f n , n N ，求通項(xiàng)an .給遞推公式包anf n , n N 中的 n一次取 1,2,3,n-1,可得到下面n-1個(gè)式子:也f 1 ,生aa2a4 f 2 ,9a3anf 3 ,L , - f n 1an 1利用公式ana1曳ma4 Laa2a3_an_ a, an an 10,n N 可得:ana1f 1 f 2類型四（構(gòu)造法）形如 an 1 Pan 4、an 1pan q

12、n （ k,b, P,q為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an。an 1 pan q解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an 1 t p(an t),其中t q,再利用換1 P元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。aan 1 pan qn解法：該類型較要復(fù)雜一些。般地，要先在原遞推公式兩邊同除以 qn1,得:得E?曾得E?曾1引入輔助數(shù)列bn（其中bn*）,得qq qqqbn 1-bn。再應(yīng)用q qan 1 pan q的方法解決。類型五（倒數(shù)法）：已知：數(shù)列an的首項(xiàng)a類型五（倒數(shù)法）：已知：數(shù)列an的首項(xiàng)a1,且an1panqan r0,n,求通項(xiàng)an .Pan 1an 1qan

13、Pan 1an 1qan ran 11 -1僅 bn，貝U bn 1 anan 1若 r p,則 bn 1bnpr右 r p,則 bn1bnpqan r 1 rqpanan 1 pan p, r . qbn 1 bn 一，p pbn 1 bn= q ,即數(shù)列 bn p（轉(zhuǎn)換成類型四）.an 1 p an p是以9為公差的等差數(shù)列 p五、數(shù)列常用求和方法.公式法直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式，立方和公式等公式求解.分組求和法一個(gè)數(shù)列的 通項(xiàng)公式 是由若干個(gè) 等差或等比或可求和的數(shù)列 組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求 和而后相加減.裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之

14、差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和就變成了首尾少數(shù)項(xiàng)之和.錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的，此時(shí)可把式子Sna1 Sna1 a2Lan 1an的兩邊同乘以公比q（q0且q1）,得到qSna1qa2qLan iqanq ，兩式錯(cuò)位相減整理即可求出Sn .5、常用公式:2222 n n 1 2n 11、平方和公式：12 L n 1 n 622 n n 12、立方和公式:n 1 n 2、立方和公式:23、裂項(xiàng)公式:分式裂項(xiàng):根式裂項(xiàng):六、數(shù)列的應(yīng)用1、零存整取模型：銀行有一種叫作零存整取的儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)，即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約

15、定日期，可以取出全部本利和，這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利 .注：?jiǎn)卫挠?jì)算是僅在原本金上計(jì)算利息，對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息.其公式為：利息=本金鄧I率x存期.以符號(hào)p代表本金，n代表存期，r代表利率，s代表本金和利息和（即本利和，則有s=p（1+nr）.零存整取是等差數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用2、定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型：銀行有一種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存.例如，儲(chǔ)戶某日存入一筆1年期定期存款，1年后，如果儲(chǔ)戶不取出本利和.則銀行自動(dòng)辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和.注：復(fù)利是把上期末的本利和作為下一期的本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金白數(shù)額是不同的.復(fù)利的計(jì)算公式 是:s=p(1+r

16、)n定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存（復(fù)利）是等比數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用3、分期付款模型：分期付款要求每次付款金額相同外，各次付款的時(shí)間間隔也相同.分期付款總額要大于一次性付款總額二者的差額與分多少次付款有關(guān)，且付款的次數(shù)越少，差額越大.分期付款是等比數(shù)列的模型.采用分期付款的方法，購(gòu)買售價(jià)為a元的商品（或貸款 a元）每期付款數(shù)相同，購(gòu)買后 1個(gè)月（或 1年）付款一次，如此下去，到第 n次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）為 b,按復(fù)利計(jì)算，那么每期付款x元滿足下列關(guān)系：設(shè)第n次還款后，本利欠款數(shù)為 an ,則a1a a1a 1 bx, a2a1 1 b x,a3 a2 1 b x,L ,an an 1 1

17、 bx,由 a由 anan 1 1 b xxxan - 1b an 1 一知,bb數(shù)列 an 數(shù)列 an x是以a1x a 1 b x bbbx1 b a -為首項(xiàng)，q1 b為公比的等比數(shù)列 TOC o 1-5 h z xn 1x1 b a -1 b a - 1 bnab 1 bn1 b 1 HYPERLINK l bookmark108 o Current Document bbnab 1 bn1 b 1令 an 。得：a 1 b n x=0 ,bb不等式知識(shí)要點(diǎn)不等式知識(shí)要點(diǎn)一、不等式的解法1、不等式的同解原理：原理1:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得不等式與原不等式

18、是同解不等式； 原理2:不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)或同一個(gè)大于零的整式，所得不等式與原不等式是同 解不等式；原理3:不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)或同一個(gè)小于零的整式，并把不等式改變方向后所得 不等式與原不等式是同解不等式。2、元二次不等式的解法:x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。A0A =b2A0二次函數(shù)的圖象yXyX0有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根ax bx+c ? 0a 的解集彳芾4勺或齊 叼rb i2次JRax1十占工十白，當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)，等號(hào)成立. HYPERLINK l bookmark55 o Current Document ,22J 1a b3、基本不

19、等式的應(yīng)用：設(shè) x、y都為正數(shù)，則有：2S右x y s （和為te值），則當(dāng)x y時(shí)，積xy取得取大值 .若xy p （積為定值），則當(dāng)x y時(shí)，和x y取得最小值2Jp .注意：在應(yīng)用的時(shí)候，必須注意“ 一正二定三相等”三個(gè)條件同時(shí)成立。4、常用不等式:若a、b R,則a2 b22ab 2ab； 2 a2 b2三、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題1、二元一次不等式表示平面區(qū)域：在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) P (xo, yo).B0時(shí)，Axo+Byo+C 0,則點(diǎn)P (xo, yo)在直線的上方； Axo+Byo+Cv。，則點(diǎn)P (xo, yo)在直線的 下方對(duì)于任意的二

20、元一次不等式 Ax+By+Co (或v o),無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù)當(dāng)Bo時(shí)，Ax+By+Co表示直線 Ax+By+C=o上方的區(qū)域； Ax+By+Cvo表示直線 Ax+By+C=o 下方的區(qū)域2、線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域(類似函數(shù)的定義域)；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題3、線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：(1)根據(jù)題意，設(shè)出變量 x、y;(2)找出線性約束條件；(3)確定線性目標(biāo)函數(shù) z=f (x, y);(4)畫出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域)；(5)利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f (x, y) =t (t為參數(shù))；(6)觀察圖形，找到直線 f (x, y) =t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案四、典型解題方法總結(jié)1、線性目標(biāo)函數(shù)問題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是線性關(guān)系式如z ax by c(b 0)時(shí)，可把目標(biāo)函數(shù)變形為 y - x -zcb b則2c可看作在在y軸上的截距，然后平移直線法是解決此類問題的常用方法，通過比較目標(biāo)函數(shù)與線b性約束條件直線的斜率來尋找最優(yōu)解，一般步驟如下：