高中數(shù)學(xué)講義微專題100利用同構(gòu)特點(diǎn)解決問題

1、高中數(shù)學(xué)二輪微專題高中數(shù)學(xué)二輪微專題關(guān)注公眾號”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧!關(guān)注公眾號”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧!微專題100利用同構(gòu)特點(diǎn)解決問題一、基礎(chǔ)知識：1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：(1)在方程中的應(yīng)用：如果方程/(a) = O和/(b) = O呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則力可視為方程/(工)=0的兩個(gè)根(2)在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函 數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系。可比較大小或解不等式(3)在解析幾何中的應(yīng)用：如果4(凡,凹),3(電,)，2)滿足的方程為同構(gòu)式，則A8為方程所 表示曲線上的兩點(diǎn)。特別的，若滿足

2、的方程是直線方程，則該方程即為直線A8的方程在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于(q,)與&_,一 1) 的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解二、典型例題：f(x-1)5 + 2x + sin(x -1) = 3例1： (2015天津十二校聯(lián)考)設(shè)滿足/ 7,則x+y =(y-1) +2y+ sin(y -1) = 1( )A. 0B. 2C. 4D. 6思路：本題研究對象并非,而是(工一1),()，-1),進(jìn)而可變形為(x -1)5 +2(x- l) + sin(x-1) = 1,現(xiàn)察上下式子左邊結(jié)構(gòu)相同，進(jìn)而可將相同的結(jié)構(gòu)(y-1)5 +2(y-l) + si

3、n(y-l) = -1視為一個(gè)函數(shù)，而等式右邊兩個(gè)結(jié)果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質(zhì)求解解：(x- I)5解：(x- I)5 +2x + sin(x-1) = 3s0:(y - 1) +2y+ sin(y -1) = 1(x-1)5 + 2(x-l) + sin(x-l) = 1 (y- I)5 + 2(y- l) + sin(y-1) = -1設(shè),f(/) =， + 2/+sinf,可得/(1)為奇函數(shù)，由題意可得:/(x-l) = lbtv-i) = -imDTGT.x- = -(y-1)=x+ y = 2答案：B例2：若函數(shù)/(x) = d + ?在區(qū)間可上的值域?yàn)?

4、， (ba),則實(shí)數(shù)？的取2 2Ja-l + Ja-l + m =2y!h 1 + in =2思路：注意到“X)是增函數(shù)，從而得到a) = SjS) = L 即. 22個(gè)式子為的同構(gòu)式，進(jìn)而將同構(gòu)式視為一個(gè)方程，而。為為該方程的兩個(gè)根，的取值 只需要保證方程有兩根即可解：:/(x)為增函數(shù)右一1 + m =2Jb 1 + in =2a,b為方程JE+m = )在l,+oo)上的兩個(gè)根，即m = -有兩個(gè)不同的根22令 I = 1 2 0) = x = r +1所以方程變形為：w = 1(r+l)-r = 1(/2-2r + l),結(jié)合圖像可得：e 1/ e 1/ 君 答- -1 - 29O例3

5、：設(shè)a,bR,則|是的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充要又不必要條件思路：觀察同回.可發(fā)現(xiàn)其同構(gòu)的特點(diǎn)，所以將這種結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)/(x) = x|x|,分析其x? x 0單調(diào)性e /(x) = x|x| = r 可得/(X)為增函數(shù)。所以f a / b ,即 -xxhaa bb,所以是充要條件答案：C例4:若0/ lnx2 - nxB. e -答案：A例 6：答案：A例 6：如果 cosd sin5ev7kin3e cos3e）,ee0,2;r）,那么 6 的取值范圍是思路:本題很難直接去解不等式，觀察式子特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)若將關(guān)于sin6,cos8的項(xiàng)分居在不等號兩側(cè)：c

6、os5 0 + 7 cos3 3 xeX1D. x2ex ln.v2 - Inx1 eX1 - Inx? eXl -Inx,設(shè) f (x) = -Inxf (x) = ex - - = ,設(shè)=1,則有g(shù) (x) = (x+l)e* 0恒成立,所以.1 Xg(x)在(0,1)單調(diào)遞增，所以g(0) = T0,從而存在與(0)，使得 g(耳)= 0，由單調(diào)性可判斷出：X(o,x(j,g (工)v0 = / (x)0= f (x)0，所以/(x)在(0,1) 不單調(diào)，不等式不會(huì)恒成立B 選項(xiàng)：ex - eX1 lnx2 - In再=ex + lnx( * + In x2,設(shè) /(x) = ex 4-

7、Inx 可知 f (x)單 調(diào)遞增。所以應(yīng)該/(內(nèi)) 一 ,構(gòu)造函數(shù) /(X)= . f (x) = kX-,則 f (x) /(馬)成立D選項(xiàng)：K6vxe2 =2015I- 2015 220152k7r 6 ： 冗 + 2kjr(k cZ),結(jié)合 60,2 乃)，可得 9e答案:例7：如圖，設(shè)點(diǎn)P（Xo，）b）在直線X = ?（y W切7,072 + 10/1 + 5-20公=0,所以為方程/ + 10工+ 5-20公=0的兩個(gè)不同根，進(jìn)而利2 + 10 + 5-20 必=0用韋達(dá)定理即可得到2 + = -10解：由（1）得尸（2,0）,設(shè)直線/:y = k（x 2）,可得火（0,-2%），

8、設(shè)，（內(nèi),）,5（孫冉）可得：/ =（內(nèi)，x+2Z）,而=（2 外,一切），由后=%而可得：j =廠=177 yI+2k=-Ay _ 2因?yàn)?在橢圓上，.x：+5y；=5,將代入可得：仔力 +5（言J =5 = 4萬+20公=5（/1 + 1）2.22+10A + 5-202=0對于,RB = （x2y2 +2Z:）,BF =（2 x2,y2）, RB = fdBF同理可得：.,.”: + 10 + 5-20攵2=0為方程x2 + 0 x + 5-20k2 = 0的兩個(gè)不同根例9 ：己知函數(shù)夕（%） =/一,“為正常數(shù)，若g（x） = lnx + 0（x）, X I 1xx2 e（0,2,X

9、Wx、,都有）例9 ：己知函數(shù)夕（%） =/一,“為正常數(shù)，若g（x） = lnx + 0（x）, X I 1xx2 e（0,2,X Wx、,都有）-1,求4 的取值范圍.一且對任意思路：觀察到已知不等式為輪換對稱式，所以考慮定序以便于化簡，令匕為，則不等式變形為8（）一?（內(nèi)）內(nèi)一，將相同變量放直一側(cè)，可發(fā)現(xiàn)左右具備同構(gòu)特點(diǎn),所以將相同結(jié)構(gòu)視為函數(shù)= g（x） + x ,從而由工2 X且力（超） 力（芭）可知只需（x）為增函數(shù)即可。從而只需不等式（x）NO恒成立即可，從而求出。的范圍解：g（x） = lnx + ，不妨設(shè)王占，則恒成立不等式轉(zhuǎn)化為:x + 1g（x2）-g（M）再一 42=式西）+而晨西）+再設(shè) h (x) = g (x) + x = In x d只需(x)在(0,2單調(diào)遞增即可+ X ,則由力（電）/?（%）恒成立和X可得:/7（X）2 0恒成立V /?(X)= - -? 4-1.x (x + 1)-即工(工+1丫 +仁上恒成立 X1- + 10 x (”所以只需（X+1）2 (x+,r+Xmin令 (x) = (x+ I)2 + (i -1).Ap(X)= 2(x +1) +2x(x+ l)(x + p(X)