教堂頂部曲面面積的計算方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)教堂頂部曲面面積的計算方法實驗目的本試驗主要涉及微積分， 通過試驗將復習曲面面積的計算、 重積分和Taylor 展開等知識；另外將介紹重積分的數(shù)值計算法和取得函數(shù)近似解析表達式的攝動方法。二 實驗內(nèi)容1.某個阿拉伯國家有一座著名的伊斯蘭教堂，它以中央大廳的金色巨大拱形圓頂名震遐邇。因年久失修，國王下令將教堂頂部重新貼金箔裝飾。據(jù)檔案記載，大廳的頂部形狀為半球面，其半徑為30m?？紤]到可能的損耗和其他技術因素，實際用量將會比教堂頂部面積多1.5.據(jù)此， 國王的財政大臣撥出

2、了可制造 5750m 有規(guī)定厚度金箔的黃金。 建筑商人哈桑略通數(shù)學，他計算了一下，覺得黃金會有盈余。于是，他以較低的承包價得到了這項裝飾工程，但在施工前的測量中，工程師發(fā)現(xiàn)教堂頂部實際上并非是一個精確的半球面而是半橢圓球面， 其半立軸恰是 30 m ， 而半長軸和半短軸分別是30.6m和29.6m。取橢圓中心為坐標原點建立直角坐標系，則教堂頂部半橢圓球面的方程可寫為 其中R=30，a=30.6 ，b=29.6，而其表面積為這里積分區(qū)域D為通過簡單的計算容易得到引進變量代換則教堂頂部曲面面積為 利用數(shù)值積分方法，用梯形法和simpson法兩種近似格式計算教堂頂部曲面面積；利用攝動的方法近似計算教

3、堂頂部曲面面積；試用數(shù)學軟件直接計算教堂頂部曲面面積。 2. 在俄國沙皇的宮廷寶藏中，有許多復活節(jié)蛋，它們大都以金銀制作，裝飾著或者內(nèi)藏著各種鉆石。其中有一中較大的金“蛋”，“蛋”殼的外層表面是一個橢球面，其半長軸、半短軸和半立軸分別為 8cm、5.2m 和 5cm?！暗啊睔さ暮穸葹?0.24cm，重量是 1680g。檢驗這只復活節(jié)蛋的殼是否用純金制作的。（金的密度是19.2g/cm）3.建筑商人哈桑在對另一座伊斯蘭建筑物頂部表面進行裝飾時，他碰到的是一個類似半球面、然而又具有一些其他變化規(guī)律的曲面，哈桑這次仍要對該建筑物的頂部貼以金箔，我們可以確切地用球坐標表示該曲面方程，為其中 R30（m

4、），如果由技術和損耗的因素將使用料比實際面積多1.6%，那么裝飾這個頂部至少需要多少金箔? （1）利用數(shù)學軟件直接計算建筑物頂部表面積，進而計算所需金箔量；（2）用數(shù)值方法近似計算建筑物頂部表面積，進而計算所需金箔量；（3）將上述兩結(jié)果進行比較。三實驗方法1.實驗理論（1）數(shù)值積分方法對于二重積分，可以如同一元函數(shù)定積分那樣，將區(qū)域劃分為小塊，然后在每個小區(qū)域上對被積函數(shù)作近似簡化求積 ，再把所得的值求和即可?？紤]矩形區(qū)域D上的二重積分，將 D 劃分 mn 個相等的小矩形 ，s和t分別是s和t方向的分點，那么小矩形上的積分可寫為記則若對這兩個單積分都用梯形法 ，就有而這樣便可求得在D上的積分

5、I 的近似值當將分點增加一倍使得 而記 那么對的兩次積分都用 Simpson 法，就得到 從而 于是有積分 I 的近似值為 （2）攝動方法 簡單地說，攝動方法就是對解析式中的小參數(shù)進行展開，從而求得近似解析解的方法，應用于積分計算，常常是采取將被積函數(shù)（或其部分）展開的方法，通過一個簡單例子來說明這方法。 對于 計算利用Taylor公式，關于參數(shù) 展開，有余項的寫法考慮到了 我們稱級數(shù) 為函數(shù) 的漸近級數(shù)，通常 應用漸進級數(shù)的有限項來近似函數(shù)。例如，在這里把前n+1 項替換 代入積分式 那么由于可得當 時，用上式前5項計算 的誤差不超過0.01.2數(shù)學軟件實現(xiàn)（1）教堂頂部面積問題a. 利用數(shù)

6、值積分方法，用梯形法和simpson法兩種近似格式計算教堂頂部曲面面積 將方程改寫為梯形法核心程序段如下f= sqrt(t.2*ones(size(t) + R2*(1-t.2)*(cos(e)/a).2+(sin(e)/b).2);for j= 2:m+1 for i= 2:m+1 Iij(i,j)= k*h/4*( f(i-1,j-1)+f(i,j-1)+f(i-1,j)+f(i,j) ); endendI= sum(sum(Iij);S= a*b*I;simpson法核心程序段如下f= sqrt(t.2*ones(size(t) + R2*(1-t.2)*(cos(e)/a).2+(si

7、n(e)/b).2);for j= 2:2:2*m for i= 2:2:2*m Iij(i,j)= k*h/9*( f(i-1,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j+1)+f(i+1,j+1). + 4*(f(i,j-1)+f(i-1,j)+f(i+1,j)+f(i,j+1). + 16*f(i,j) ); endendI= sum(sum(Iij);S= a*b*I;b. 利用攝動的方法近似計算教堂頂部曲面面積引進小參數(shù)那么面積表達式成為 應用攝動方法，要對函數(shù)關于小參數(shù)和展開。在這種雙參數(shù)的情況，我們可以直接運用二元函數(shù)的 Taylor 公式，但也可以借助一元函數(shù)的 Taylo

8、r 公式，即先將函數(shù)中的 看作一個整體（一項）進行展開，然后再作進一步的處理，從而可得 因為取g前有限項積分，可近似求得結(jié)果，下為求解析解核心程序段：syms r e a b A B y1= int(r/sqrt(1-r2),0,1) g1= a*b*int(y1,e,0,2*pi) y2= int( (A*cos(e)2+B*sin(e)2)*r3/(2*sqrt(1-r2),r,0,1) g2= a*b*int(y2,e,0,2*pi) y3= int( (A*cos(e)2+B*sin(e)2)2*r5/(8*sqrt(1-r2),r,0,1) g3= a*b*int(y3,e,0,2*

9、pi) s= g1+g2-g3下為求數(shù)值解的核心程序段：a= 30.6;b= 29.6;A= -0.03883;B= 0.02721;syms r e y1= int(r/sqrt(1-r2),0,1) g1= a*b*int(y1,e,0,2*pi) y2= int( (A*cos(e)2+B*sin(e)2)*r3/(2*sqrt(1-r2),r,0,1) g2= a*b*int(y2,e,0,2*pi) y3= int( (A*cos(e)2+B*sin(e)2)2*r5/(8*sqrt(1-r2),r,0,1) g3= a*b*int(y3,e,0,2*pi) S= double(g1

10、+g2-g3);c.用數(shù)學軟件直接計算教堂頂部曲面面積程序代碼如下：function y= ep2_f0(r, e) a= 30.6; b= 29.6; R= 30; y= a*b*sqrt( r.2 + R2*(1-r.2)*(cos(e)/a)2+(sin(e)/b)2) );s4 = dblquad(ep2_f0,0,1,0,2*pi);（2）檢驗復活節(jié)蛋的殼是否用純金制作的計算出蛋的面積，進而得體積，用質(zhì)量比上求得體積得到蛋的密度，與黃金密度相比較就可知蛋是否為純金制作。利用數(shù)值積分方法近似求解，取m=18,求得體積L,核心程序如下：f= sqrt(t.2*ones(size(t) +

11、 R2*(1-t.2)*(cos(e)/a).2+(sin(e)/b).2);for j= 2:2:2*m for i= 2:2:2*m Iij(i,j)= k*h/9*( f(i-1,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j+1)+f(i+1,j+1). + 4*(f(i,j-1)+f(i-1,j)+f(i+1,j)+f(i,j+1). + 16*f(i,j) ); endendI= sum(sum(Iij);S= 2*a*b*I;L= 0.24*S;（3）伊斯蘭建筑物頂部表面積a.利用數(shù)學軟件直接計算建筑物頂部表面積，進而計算所需金箔量；利用球坐標方程改寫成積分中的函數(shù)f（u，v），

12、程序如下：x= R*sin(v)*cos(u)*(1+0.1*sin(6*u);y= R*sin(v)*sin(u)*(1+0.1*sin(6*u);z= R*cos(v);E= simple( diff(x,u)2 + diff(y,u)2 + diff(z,u)2 );G= simple( diff(x,v)2 + diff(y,v)2 + diff(z,v)2 );F= simple( diff(x,u)*diff(x,v) + diff(y,u)*diff(y,v) + diff(z,u)*diff(z,v) );EG_F2= simple(E*G - F2)f_uv= sqrt(EG

13、_F2)利用int命令將f（u，v）在相應區(qū)域積分。程序如下：f_u= int(f_uv,v,0,pi/2)f= int(f_u,u,0,pi/6)S= 12*double( f )b. 用數(shù)值方法近似計算建筑物頂部表面積，進而計算所需金箔量；m= 15;R= 30;k= pi/6/(2*m);h= pi/2/(2*m);u= 0 : k : pi/6;v= (0 : h : pi/2); for j= 1:2*m+1 for i= 1:2*m+1 f(i,j)= sqrt( 1/100*R2*sin(v(j)2*(101+20*sin(6*u(i)+35*cos(6*u(i)2). *(1/

14、100*R2*cos(v(j)2+1/5*R2*cos(v(j)2*sin(6*u(i). -1/100*R2*cos(v(j)2*cos(6*u(i)2+R2). -9/2500*sin(v(j)2*R4*cos(v(j)2*cos(6*u(i)2*(10+sin(6*u(i)2 ); end end clear Iij;for j= 2:2:2*m for i= 2:2:2*m Iij(i,j)= k*h/9*( f(i-1,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j+1)+f(i+1,j+1). + 4*(f(i,j-1)+f(i-1,j)+f(i+1,j)+f(i,j+1). +

15、16*f(i,j) ); endendI= sum(sum(Iij);S= 12*I四實驗結(jié)果（1）教堂頂部面積問題a. 利用數(shù)值積分方法，用梯形法和simpson法兩種近似格式計算教堂頂部曲面面積梯形法結(jié)果：mSmS25621.42165679.8345679.78245679.8265679.89445679.81105679.841005679.81Simpson法結(jié)果：msms25700.54165679.8145679.88245679.8165679.81445679.81105679.811005679.81梯形法在m=44及Simpson法在m=6是表面積為5679.81平方米

16、，若僅要求到精確到0.1(m2),而 加上技術與損耗等因素，教堂頂部實際使用金箔總面積為 而國王的財政大臣撥出了可制造 5750m 有規(guī)定厚度金箔的黃金，顯然，建筑商人哈桑在金箔上將入不敷出，從而招受損失。b. 利用攝動的方法近似計算教堂頂部曲面面積利用求解析解的方法，求得 前三項的積分函數(shù)，分別為S1 =2*a*b*piS2 =a*b*(1/3*B*pi+1/3*A*pi)S3 =a*b*(1/30*A*B*pi+1/20*A2*pi+1/20*B2*pi)s =2*a*b*pi+a*b*(1/3*B*pi+1/3*A*pi)-a*b*(1/30*A*B*pi+1/20*A2*pi+1/20

17、*B2*pi)將a= 30.6;b= 29.6;A= -0.03883;B= 0.02721;代入s1,s2,s3,進而得S的近似值S1=45288/25*pi=5619.06S2=-/*piS3=/0*piS = 5679.82與數(shù)值積分方法相比，用梯形法需取到m=24才能得到S = 5679.82，可見近似效果不錯。c.用數(shù)學軟件直接計算教堂頂部曲面面積教堂頂部曲面面積公式為：利用dblquad命令計算S=5679.81考慮損耗后面積為5765.01平方米，國王的財政大臣撥出了可制造 5750m 有規(guī)定厚度金箔的黃金，虧損15.01（2）檢驗復活節(jié)蛋的殼是否用純金制作的計算出蛋的面積，進而

18、得體積，用質(zhì)量比上求得體積得到蛋的密度，與黃金密度相比較就可知蛋是否為純金制作經(jīng)運算得知：金蛋表面積S=435.052平方厘米，因為金蛋重量為1680克，所以此金蛋密度為16.09(g/cm3)，小于黃金密度，故復活節(jié)蛋的殼不是用純金制作的。（3）伊斯蘭建筑物頂部表面積a.利用數(shù)學軟件直接計算建筑物頂部表面積，進而計算所需金箔量利用matlab的符號求解法得到被積函數(shù)f_uv:f_uv =3*(sin(v)2*(100+20*sin(6*u)+sin(6*u)2+36*cos(6*u)2)*(cos(u)2+sin(u)2)*(9*cos(v)2+180*cos(v)2*sin(6*u)-9*cos(v)2*cos(6*u)2+900)-324*cos(v)2*cos(6*u