理論力學-3.力系的平衡

1、第二章 力系的平衡理論力學 21 力系的平衡條件與平衡方程 22 平衡方程的應用 23 物體系統(tǒng)的平衡 習題課第二章 力系的平衡靜力學 一、空間任意力系所以空間任意力系的平衡方程為：還有四矩式，五矩式和六矩式，同時各有一定限制條件。21 力系的平衡條件與平衡方程平衡的充要條件是：靜力學 因為各力線都匯交于一點，各軸都通過該點，故各力矩方程都成為了恒等式。1.空間匯交力系：靜力學 因為 均成為了恒等式。設各力線都 / z 軸。2.空間平行力系：3.空間力偶系的平衡方程由于空間力偶系的主矢等于零，故空間力偶系的平衡方程是靜力學平面任意力系平衡的充要條件為： 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即：

2、 二、平面任意力系 將平面任意力系位于Oxy面內，視為特殊的空間力系。一矩式靜力學二矩式條件：x 軸不 AB 連線三矩式條件：A,B,C不在 同一直線上上式有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。平面匯交力系（匯交點作為坐標原點）的平衡方程平面平行力系（力線平行于y軸）的平衡方程平面力偶系的平衡方程 例1 圓柱重G = 500N，擱在墻面與夾板間，板與墻面夾角為60o ，若接觸面光滑，試分別求出圓柱給墻面和夾板的壓力。22 平衡方程的應用解: 解析法解: 幾何法 （力多邊形自行封閉）靜力學 例2 已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m求：A、B的約束力。靜力學解：

3、研究AB梁解得：靜力學例3 圖示剛架中，已知q=3kN/m，F(xiàn)= kN，M=10 kNm，不計剛架的自重。求固定端A處的約束力。靜力學解：取剛架作研究對象，畫受力圖。建立圖示坐標系，列出平衡方程代入數(shù)據，解得 課堂練習1.求圖示受力剛架A、D處的約束力。m=4qa靜力學 例4 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求:繩BE、BF的拉力和桿AB的內力由C點：解：分別研究C點和B點作受力圖靜力學由B點：靜力學例5 曲桿ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?靜力學解：靜力學此題訓練：力偶不出現(xiàn)在投影式中力偶在力

4、矩方程中出現(xiàn)是把力偶當成矢量后，類似力在投影式中投影力爭一個方程求一個支反力了解空間支座反力靜力學例6 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N，求：平衡時(勻速轉動)力Q=？(Q力作用在C輪的最低點）和軸承A , B的約束反力？最好使每一個方程有一個未知數(shù)，方便求解。靜力學解：選研究對象 作受力圖 選坐標列方程靜力學靜力學方法(二) :將空間力系投影到三個坐標平面內，轉化為平面力系平衡問題來求解，請同學們課后自己練習求解。靜力學課堂練習1. 已知：AB桿, AD,CB為繩, A、C在同一垂線上，AB重80N，A、B光滑接觸，ABC=BC

5、E=600, 且AD水平，AC鉛直。求平衡時，TA，TB及支座A、B的反力。思路：要巧選投影軸和取矩軸，使一個方程解出一個未知數(shù)。靜力學解：靜力學2. 如圖所示三種結構，構件自重不計，忽略摩擦，=600，AC=BC=DC。B處都作用有相同的水平力F，求鉸鏈A處的約束力。課堂練習 3.在圖示結構中，各構件的自重不計。在構件AB 上作用一矩為M 的力偶，設M Fa，求支座A 和C 的約束力。課堂練習F靜力學23 物體系統(tǒng)的平衡力偶系平面任意力系當：獨立方程數(shù)目未知數(shù)數(shù)目時，是靜定問題（可求解） 獨立方程數(shù)目未知數(shù)數(shù)目時，是靜不定問題（超靜定問題）一、靜定與靜不定問題的概念力偶系平面任意力系平面匯交

6、力系 兩個獨立方程，只能求兩個獨立 未知數(shù)。 一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù) 三個獨立方程，只能求三個獨立未知數(shù)。力偶系平面任意力系平面匯交力系 兩個獨立方程，只能求兩個獨立 未知數(shù)。 一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù) 三個獨立方程，只能求三個獨立未知數(shù)。力偶系平面任意力系靜力學例 靜不定問題在強度力學（材力,結力,彈力）中用位移諧調條件來求解。靜定（未知數(shù)三個） 靜不定（未知數(shù)四個）靜力學例 二、物體系統(tǒng)的平衡問題外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力。內力：系統(tǒng)內部各物體之間的相互作用力。物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)。靜力學物系平衡的特點： 物系靜止,物系中每個單體也是

7、平衡的。 每個單體可列3個平衡方程，整個系統(tǒng)可列3n個 方程（設物系中有n個物體）解物系問題的一般方法： 1.取物體系中的每一個物體為研究對象，分別列出方程求解。 2.由整體 局部，由局部 整體。靜力學例1 已知：OA=R, AB= l , 當OA水平時，沖壓力為P時，求：M=？O點的約束反力？AB桿內力？沖頭給導軌的側壓力？靜力學解：研究B靜力學負號表示力的方向與圖中所設方向相反再研究輪 例2 輪重為P，半徑為r，BDE為一直角折桿，A為固定鉸鏈，B、E為中間鉸鏈，D處為可動鉸鏈， ，不計桿重和摩擦，求A、B、D處的約束力及輪作用在ACB桿上的壓力。解：先取整體為研究對象 再研究BDE桿及輪

8、，所受力系也為一平面任意力系。例3 組合梁ACB如圖所示，已知q=2kN/m，F(xiàn)=4kN，M=4kNm，a=2m， 。試求A、B處的約束力。解：先研究CB桿。代入數(shù)值得 再研究整個組合梁， FB例4 三鉸拱由T形桿ACD和三角塊BDE構成，尺寸及所受載荷如圖所示，已知F1=100N，F(xiàn)2=120N，M=250Nm，q=20N/m， ，求鉸鏈支座A和B處的約束力。解：先取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程 （1）解得 NN再取三角塊BDE為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程代入數(shù)據得 N將所得結果代入式得 N 例7 如圖所示，構架由垂直桿AB、斜桿AC、水平桿DEH和滑輪組成，桿DEH上的

9、銷子E可在桿AC的光滑槽內滑動，桿端用銷釘H連了一滑輪。滑輪上套有繩索，一端系在桿AC的K點，并保持水平，另一端吊起重為FP=4kN的重物。不計各桿的自重和各處摩擦，求桿AB上鉸鏈A、D和B所受的力。解：先取DEF為研究對 象，受力如圖所示。列平衡方程解得 再取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程解得 最后取桿ADB為研究對象，其受力如圖所示。列平衡方程解得 靜力學三、解題步驟與技巧 解題步驟 解題技巧 選研究對象 選坐標軸最好是未知力 投影軸； 畫受力圖（受力分析） 取矩點最好選在未知力的交叉點上； 選坐標、取矩點、列 充分發(fā)揮二力桿的直觀性； 平衡方程。 解方程求出未知數(shù) 靈活使用合力

10、矩定理。四、注意問題 力偶在坐標軸上投影不存在； 力偶矩M =常數(shù)，它與坐標軸與取矩點的選擇無關。靜力學 練習1 已知各桿均鉸接，B端插入地內，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，桿重不計。 求AC 桿內力？B點的反力？解： 選整體研究 受力如圖 選坐標、取矩點、Bxy,B點 列方程為: 解方程得 靜力學 受力如圖 取E為矩心，列方程 解方程求未知數(shù)靜力學再研究CD桿 練習2 單向動作齒條式送料機構如圖所示,手柄全長DC為10a，可繞固定鉸O轉動，OD長為3a ，棘爪DK用銷釘D連于手柄上，作用力FP與桿CD垂直，送料阻力FQ沿齒條AB的軸線，機構在圖示位置平衡。不計各構件自重和摩擦

11、，求平衡時力FP和力FQ之間的關系。解：先取桿CD為研究對象，注意到棘爪DK為二力桿，其受力如圖所示。列平衡方程解得再取齒條AB為研究對象，其受力如圖所示。列平衡方程解得 故 練習3.簡易壓榨機由兩端鉸接的桿OA、OB 和壓板D 組成，各構件自重不計。已知AB = BC ，桿的傾角為 ，B 點作用有鉛垂壓力，求水平壓榨力F1 。 解:以節(jié)點B 為研究對象，受力圖與坐標系如圖所示。建立平衡方程 解得： 例4 圖示機構，套筒A 穿過擺桿 O1B ，用銷子連接在曲柄OA上，已知長為 a ，其上作用有力偶 M1 。在圖示位置=30o ，機械能維持平衡。不計各桿自重，試求在擺桿 O1B 上所加力偶的力偶

12、矩 M2 。解：以桿O1B 為研究對象，受力圖如圖，建立平衡方程 以曲柄OA 和套筒為研究對象，對于曲柄和套筒力偶只能與力偶平衡，故力FA 、FO 必構成力偶。受力圖如圖，建立平衡方程 解得： 由于 5. 如圖所示，輸電線ACB 架在兩電線桿之間，形成一下垂曲線，下垂距離 ，兩電線桿間距離 。電線ACB 段重 ，可近似認為沿AB 線均勻分布。求電線的中點和兩端的拉力。課堂練習整體“靜定型” 解：先研究整體，受力如圖 (a)(a)2-4 物體系統(tǒng)平衡問題1.已知F1、F2分別作用于AC、BC桿中點， 不計桿重，求AB桿內力。 習題課再研究BC桿，受力如圖(b) 整體“靜定”，先研究整體，后拆開分

13、析局部。不需求的約束力不求。(b)2-4 物體系統(tǒng)平衡問題由 ，得1.求出FB后，研究鉸B，能求出 FAB嗎? 鉸B受力如圖，直接求不出。求出FCx、FCy后即可求出! 2.若AB上作用一力，AB桿內力有何變化?能否求出? 2-4 物體系統(tǒng)平衡問題此時，AB桿內力有3個分量，問： 2.如圖 (a)所示結構中，C，E處為光滑接觸，銷釘A，B穿透其連接的各構件，已知尺寸a，b，鉛垂力F可以隨x的變化而平移。求AB桿所受的力。2-4 物體系統(tǒng)平衡問題圖(a)先研究整體，其受力如圖 (b)所示。由 ，得由 ，得圖(c)再研究BC桿，其受力如圖(c)所示。由 ，得故2-4 物體系統(tǒng)平衡問題圖(b)最后研

14、究AC桿，其受力如圖(d)所示。其中，為AB桿對銷釘A的作用力(AB是二力桿)。圖(d)由 ，得故 可見，AB桿受力與x無關。2-4 物體系統(tǒng)平衡問題 本題所涉及結構屬“整體”靜定型，先求出鉸A約束力。注意AB為二力桿，它所受銷釘A對它的約束力與其A端對銷釘?shù)淖饔昧Φ戎捣聪?；A處銷釘附在AC桿上，使分析過程簡化。2-4 物體系統(tǒng)平衡問題3.圖 (a)所示結構中，桿DE的D端及桿端B為鉸，E端光滑擱置，且 DEAC， ，力偶矩為M ,求A，C鉸支座約束力。圖(a)局部“靜定”型 解：先研究桿DE，其受力如圖(b)所示。,與AB桿平行， 與 組成一力偶。圖(b)圖(a)圖(d)再研究桿AB，其受力

15、如圖 (c)所示。最后研究整體，其受力如圖 (d)所示，因鉸A對AB桿約束力為FA，方向沿BA，它與鉸C對BC桿約束力組成一力偶。 有由圖(c)可由三力匯交判斷! 力偶只能由力偶平衡，由此確定D，C處約束力方向；桿端力沿桿向正交分解，常使求解簡便。有由圖(d)靜力學4. 由直角曲桿ABC、DE、直桿CD及滑輪組成的結構如圖所示，AB桿上作用有水平均布載荷q。不計各構件的自重，在D處作用一鉛垂力F，在滑輪上懸吊一重為P的重物。滑輪的半徑r = a，且P=2F，CO=OD。求支座E及固定端A的約束力。2-4 物體系統(tǒng)平衡問題 5. 圖示結構，不計自重，試求鉸A、B、C的約束力。已知a，F(xiàn)1=F2=

16、F。 整體和局部“超靜定”型 分析: 整體超靜定，局部亦超靜定，但可求出某些分力。圖(a)2-4 物體系統(tǒng)平衡問題再研究整體，受力如圖(c)由 得:由 得:圖(c)解：先研究COD，受力如圖(b)由 得:圖(b)2-4 物體系統(tǒng)平衡問題 整體與局部均為“超靜定”，設法求出某些分力(找突破口)。由 得:題型特點:圖(c)2-4 物體系統(tǒng)平衡問題1. 是否有其它方法求解? 分析構件BED受力，確定 方位， 再由COD平衡，求出 和 。2-4 物體系統(tǒng)平衡問題圖(a)2. 若在鉸D處加一力F，如何求解? 用第一、二種解法均可得之。 2-4 物體系統(tǒng)平衡問題2-4 物體系統(tǒng)平衡問題圖(a)平面多層結構 6. B處約束力。 不計自重，已知三層鉸結構，求鉸支座A，及尺寸a ，解：先研究整體，受力如圖。故又由，得故由，得，得由 (a)2-4 物體系統(tǒng)平衡問題圖(a) 其次，研究上部兩層結構，其受力如圖b所示。故，得由最后研究構件OBD，其受力如圖c所示。故 (b) ，得由2-4 物