回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用一

1、3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué) 選修2-38/12/20221數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容畫(huà)散點(diǎn)圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程 ybxa用回歸直線方程解決應(yīng)用問(wèn)題8/12/20222問(wèn)題1：正方形的面積y與正方形的邊長(zhǎng)x之間 的函數(shù)關(guān)系是y = x2確定性關(guān)系問(wèn)題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否 有一個(gè)確定性的關(guān)系？例如：在 7 塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上 進(jìn)行施肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得 到如下所示的一組數(shù)據(jù)：施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455復(fù)習(xí) 變量之間的兩種關(guān)系8/12/20223

2、10 20 30 40 50500450400350300施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455xy施化肥量水稻產(chǎn)量8/12/20224 自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。1、定義： 1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；注對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。2）：8/12/20225 現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。 如：人的身高與年齡； 產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量； 商品的銷售額與廣告費(fèi)； 家庭的支出與收入。等等探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？8/

3、12/2022610 20 30 40 50500450400350300發(fā)現(xiàn)：圖中各點(diǎn)，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點(diǎn)附近可畫(huà)直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關(guān)系呢？施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455xy散點(diǎn)圖施化肥量水稻產(chǎn)量8/12/2022710 20 30 40 50500450400350300 xy施化肥量水稻產(chǎn)量8/12/20228探究對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計(jì)公式分別為：稱為樣本點(diǎn)的中心。你能推導(dǎo)出這個(gè)公式嗎？8/12/2022

4、9假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù) 且回歸方程是：y=bx+a,其中，a,b是待定參數(shù)。當(dāng)變量x取 時(shí) 它與實(shí)際收集到的 之間的偏差是oxy8/12/202210易知，截距 和斜率 分別是使取最小值時(shí) 的值。由于8/12/202211這正是我們所要推導(dǎo)的公式。在上式中，后兩項(xiàng)和 無(wú)關(guān)，而前兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)前兩項(xiàng)的值均為0，即有8/12/2022121、所求直線方程叫做回歸直線方程； 相應(yīng)的直線叫做回歸直線。2、對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析。1、回歸直線方程8/12/202213最小二乘法：稱為樣本點(diǎn)的中心。8/12/2022142、求回歸

5、直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫(xiě)出直線方程為y=bx+a,即為所求的回歸直線方程。8/12/202215例1、觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù):x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求兩變量間的回歸方程.解：列表：8/12/202216所求回歸直線方程為8/12/202217例2：已知10只狗的血球體積及血球的測(cè)量值如下：x45424648423558403950y6.536.309.527.506.995.909.499.206.558.72x(血球體積,mm), y(血球數(shù)，百萬(wàn))（1）畫(huà)出上表的散點(diǎn)圖；（2）求出回歸直線并且畫(huà)出圖形；（3）回歸直線必經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)是哪一

6、點(diǎn)？8/12/2022183、利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行線性相關(guān)性的檢驗(yàn) 例3、煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過(guò)程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系。如果已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水的含碳量x與冶煉時(shí)間y（從爐料熔化完畢到出剛的時(shí)間）的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：x（0.01%）104180190177147134150191204121y（min）100200210185155135170205235125（1）y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（3）預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為160個(gè)0.01%時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？8/12/202219(

7、1)列出下表,并計(jì)算i12345678910 xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi104003600039900327452278518090255003915547940151258/12/202220所以回歸直線的方程為 =1.267x-30.51(3)當(dāng)x=160時(shí), 1.267.160-30.51=172(2)設(shè)所求的回歸方程為8/12/202221例題4 從某大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表：編號(hào)12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172的女大學(xué)生的體重。8/12/202222分析：由于問(wèn)題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量2.回歸方程：1. 散點(diǎn)圖；8/12/202223相關(guān)系數(shù)正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常，r0.75，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的相關(guān)性本例中,由上面公式r=0.7980.758/12/202224探究？身高為172的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是,其原因是什么?8/12/202225如何描述兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？ 在數(shù)學(xué)3中