《數(shù)學(xué)歸納法》第2課時(shí)示范課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)】

1、數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題2通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，體會(huì)從特殊到一般的思想方法教學(xué)重難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)歷試值、猜想、歸納、證明的過(guò)程來(lái)解決問(wèn)題. 課前準(zhǔn)備 PPT課件教學(xué)過(guò)程【新課導(dǎo)入】問(wèn)題1：閱讀課本第4750頁(yè)，回答下列問(wèn)題：（1）本節(jié)將要探究哪類問(wèn)題？（2）本節(jié)探究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問(wèn)題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應(yīng)問(wèn)題預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法（2）前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)了數(shù)學(xué)歸納法本節(jié)課在

2、上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?、?xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)問(wèn)題2：什么叫數(shù)學(xué)歸納法？一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)（）時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）以“當(dāng)n=k（，k）時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.特別地，當(dāng)時(shí)，命題就對(duì)從1開始的正整數(shù)成立，也就是對(duì)所有正整數(shù)都成立. 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法

3、的定義，溫故知新，引入新課 【探究新知】知識(shí)點(diǎn)1利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題首先，數(shù)學(xué)歸納法用來(lái)證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，證明的時(shí)候需要兩個(gè)步驟：一是證明當(dāng)時(shí)命題成立，它為后續(xù)的證明奠定了基礎(chǔ)，故稱之為歸納奠基；二是假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)也成立，也就是要證明一個(gè)遞推關(guān)系，故稱這一步為歸納遞推.這兩個(gè)步驟缺一不可，最終證明對(duì)所有正整數(shù)n，命題都成立.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)一步說(shuō)明可用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)有關(guān)的命題發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)思考：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：下面的證明過(guò)程是否正確，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由并給出正確解法證

4、明：（i）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，命題成立（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，則當(dāng)時(shí)，命題也成立根據(jù)（i）（ii）可以斷定，對(duì)任何都成立師生活動(dòng)：讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟來(lái)回答本題預(yù)設(shè)的答案：不正確沒有用上“歸納假設(shè)”，此法不是數(shù)學(xué)歸納法需要將“則當(dāng)時(shí)，”后面改為如下過(guò)程：，等式也成立說(shuō)明：缺了第（ii）步，就沒有了歸納遞推的過(guò)程；在證明時(shí)命題也成立的過(guò)程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了強(qiáng)調(diào)：第（i）步成立是推理的基礎(chǔ)，第（ii）步是推理的依據(jù)，結(jié)論使整個(gè)數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)程順利完成，所以“兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論”缺一不可教師總結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，“兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論”缺一不可.即遞推

5、基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)該題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟【鞏固練習(xí)】例1. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意正整數(shù)n成立師生活動(dòng)：讓學(xué)生板演，讓學(xué)生修改，教師點(diǎn)評(píng)完善預(yù)設(shè)的答案：證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊=右邊，命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即當(dāng)時(shí)，左邊右邊因此，若時(shí)命題成立，可推出時(shí)命題成立綜合（1）（2）步，可知命題對(duì)任意正整數(shù)n成立設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，模仿格式規(guī)范證明，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納法步驟掌握情況，在證明過(guò)程中，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理能力例2 已知數(shù)列an滿足a1=0, 2an+1-anan+1=1(nN*),試猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸

6、納法加以證明師生活動(dòng)：先將數(shù)列an的遞推關(guān)系2an+1-anan+1=1化為（nN*).讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算a2,a3,a4,a5的值，歸納共性并作出猜想，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想預(yù)設(shè)的答案：由2an+1-anan+1=1,可得(nN*).由a1=0,可得,同理可得, ,歸納上述結(jié)果，猜想(nN*). = 1 * GB3 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想（1)當(dāng)n=1時(shí)， = 1 * GB3 式左邊a1=0,右邊,猜想成立（2)假設(shè)當(dāng)n=k(k N*)時(shí)， = 1 * GB3 式成立，即,那么,即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立由（1)(2)可知，猜想對(duì)任何nN*都成立設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)該典型例題，讓學(xué)生明白可以

7、利用歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明來(lái)探求一類數(shù)列的通項(xiàng)公式發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)例3 設(shè)x為正實(shí)數(shù)，n為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列1, 1+x, (1+x)2,(1+x) n-1,.的前n項(xiàng)和為Sn,試比較Sn與n的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，派代表發(fā)言，教師完善預(yù)設(shè)的答案：解法1:由已知可得Sn=1+ (1+x) + (1+x) 2 + (1+x) n-1.當(dāng)n=2時(shí)，S2=1+(1+x)=2+x,由x0,可得S2 2;當(dāng)n=3時(shí)，S3=1+(1+x)+(1+x)2=3+3x+x2,由x0,可得S3 3.由此，我們猜想，當(dāng)x R*, nN*且n1時(shí)

8、，Snn.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想（1)當(dāng)n=2時(shí)，由上述過(guò)程知，不等式成立（2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且k2)時(shí)，不等式成立，即Sk k,由x0,可得1+x1,所以（1+x) k 1.于是Sk+1= Sk + (1+x) k k+ (1+x) k k+1,所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立由（1)(2)可知，不等式Snn對(duì)任何大于1的正整數(shù)n都成立解法2:顯然，所給數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1+x,于是Sn=1+ (1+x) + (1+x) 2+ (1+x) n-1當(dāng)n=2時(shí)，S2= =x+2,由x0,可得S2 2;當(dāng)n=3時(shí)，S3=x2+3x+3,由x0,可得S3 3.由此，我們猜想，當(dāng)x

9、0, nN*,且n1時(shí)，都有Snn.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想（1)當(dāng)n=2時(shí)，由上述過(guò)程知，不等式成立（2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,且k2)時(shí)，不等式Skk成立，即由x0,知.所以Sk+1=1+ (1+x) + (1+x) 2+ (1+x) k 1xk+k+1.又x0,所以Sk+1 k+1.所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立由（1)(2)可知，不等式Snn對(duì)任何大于1的正整數(shù)n都成立設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式命題發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)方法總結(jié)：該問(wèn)題中涉及兩個(gè)字母x和n,x是正實(shí)數(shù)，n是大于1的正整數(shù)一種思路是不求和，而直

10、接通過(guò)n取特殊值比較Sn與n的大小關(guān)系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出Sn,再通過(guò)n取特殊值比較Sn與n的大小關(guān)系后作出猜想兩種做法都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明得到的猜想例4 是否存在常數(shù)使得等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論師生活動(dòng)：教師先分析，然后學(xué)生分組討論，派代表發(fā)言，教師進(jìn)一步完善預(yù)設(shè)的答案：假設(shè)存在符合條件的常數(shù)，則將代入得，于是對(duì)于，有下證上述等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立：當(dāng)n=1時(shí)，由上述知等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊 即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立；由得，等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立，即存在常數(shù)使得等式成立.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題，幫助學(xué)生掌握

11、數(shù)學(xué)歸納法在證明關(guān)于正整數(shù)有關(guān)的命題發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)方法總結(jié)：對(duì)于探索性命題，一般是先假設(shè)存在，按條件求解，求得出來(lái)就存在，求不出來(lái)就不存在練習(xí)：教科書P51 練習(xí)1 、2、3、4設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng) 【課堂總結(jié)】1板書設(shè)計(jì)：4. 4數(shù)學(xué)歸納法（2）一、探索新知二、初步應(yīng)用1數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例1知識(shí)講解1：例2例3例42總結(jié)概括：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)：?jiǎn)栴}1. 你能說(shuō)出數(shù)學(xué)歸納法的步驟有哪些？問(wèn)題2. 如何用數(shù)學(xué)歸納法探求數(shù)列的通項(xiàng)公式？問(wèn)題3. 如何用數(shù)學(xué)歸納法處理與正整數(shù)有

12、關(guān)的不等式的證明問(wèn)題？師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.設(shè)計(jì)意圖：利用問(wèn)題串，幫助學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)要點(diǎn)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力3課堂作業(yè)：教科書P51 習(xí)題4.4 3 、4、5【目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)】1用數(shù)學(xué)歸納法證明（，）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證（ ）ABCD設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的步驟；同時(shí)，在證明過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力2證明：“對(duì)任意的正整數(shù)n成立”設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟；在證明過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力3已知數(shù)列中，（1）求，的值；（2）猜測(cè)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固用歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明來(lái)探求一類數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法和步驟；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)